2.6.1余弦定理與正弦定理（第3課時）課件高一下學期數(shù)學北師大版

第二章平面向量及其應用6.1

余弦定理與正弦定理第3課時用余弦定理、正弦定理解三角形高中同步學案優(yōu)化設計GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI北師大版

數(shù)學

必修第二冊目錄索引基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗收·課堂達標檢測課程標準1.會用正弦定理、余弦定理解決與三角形有關的幾何計算問題.2.會用正弦定理、余弦定理解決與距離、高度、角度有關的實際問題.基礎落實·必備知識全過關知識點一

解三角形與三角形有關的幾何計算在三角形的三條邊和三個角這6個元素中,如果已知3個(至少含一邊長),那么由余弦定理和正弦定理,就可以求得其他3個元素.具體情形如下:情形1

已知兩個角的大小與一條邊的邊長.先由三角形內(nèi)角和等于180°求出第三個角的大小,然后依據(jù)正弦定理求得另外兩條邊的邊長.情形2

已知兩條邊的邊長及其夾角的大小.先由余弦定理求出第三條邊的邊長,然后再由余弦定理求得第二、第三個角的大小.情形3

已知三條邊的邊長.由余弦定理求出兩個角,再利用三角形內(nèi)角和等于180°求出第三個角.情形4

已知兩條邊的邊長和其中一邊對角的大小.首先,由正弦定理求出第二條邊所對角的正弦,這時,要判斷是兩解、一解還是無解.然后,根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°得到第三個角的大小.最后,由余弦定理或正弦定理求得第三條邊的邊長.名師點睛1.應用正弦定理可以解決怎樣的解三角形問題?(1)已知三角形的任意兩個角與一邊,求其他兩邊和另一角.(2)已知三角形的兩邊與其中一邊的對角,求另一邊的對角,進而計算出其他的邊和角.2.應用余弦定理可以解決哪些解三角形問題?(1)已知三角形的兩邊及其夾角,求其他的邊和角.(2)已知三角形的三邊,求三個角.過關自診1.在△ABC中,B=60°,AB=3,AC=,則BC的長為(

)A.2 B.1

C.1或2 D.無解C60°或120°知識點二

解三角形的實際應用1.實際測量中的有關名稱、術語名稱定義圖示基線在測量中,根據(jù)測量需要適當確定的線段叫作基線仰角在同一鉛垂平面內(nèi),視線在水平線上方時與水平線的夾角

俯角在同一鉛垂平面內(nèi),視線在水平線下方時與水平線的夾角

名稱定義圖示方向角從指定方向線到目標方向線的水平角(指定方向線是指正北或正南或正東或正西,方向角小于90°)南偏西60°(指以正南方向為始邊,轉向目標方向線形成的角)

方位角從正北的方向線按順時針到目標方向線所轉過的水平角

2.距離問題的基本類型及求法

類型圖形方法兩點間不可到達的距離

余弦定理兩點間可視不可到達的距離

正弦定理兩個不可到達的點之間的距離

先用正弦定理,再用余弦定理3.高度問題的基本類型及求法

類型圖形方法底部可達

測量BC和∠BCA,解直角三角形求AB底部不可達點B與C,D共線

先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值點B與C,D不共線

在△BCD中由正弦定理求得BC,再解直角三角形得AB的值過關自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)與海平面垂直的平面叫作鉛垂平面.(

)(2)仰角是視線與鉛垂線的夾角.(

)(3)高度問題大多通過正(余)弦定理構造直角三角形來解決.(

)(4)兩點間不可到達又不可視問題的測量方案實質是構造已知兩邊及夾角的三角形并求解.(

)(5)兩點間可視但不可到達問題的測量方案實質是構造已知兩角及一邊的三角形并求解.(

)√×√√√2.某同學從家出發(fā),先向東走了1000m,然后向北走了200m,你能用什么方法確定其方位?提示

方向角.3.如圖,為了在河岸AC處測量河的寬度BC,你能找一個較適宜的方法嗎?提示

測量b,α,γ,利用正弦定理可求出BC.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一與解三角形有關的幾何計算角度1.三角形中線段長度的計算【例1】

在四邊形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求BC的長.解

在△ABD中,設BD=x,由余弦定理,得BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA,即142=x2+102-2·10x·cos

60°,整理得x2-10x-96=0,解得x1=16,x2=-6(舍去),所以BD=16.規(guī)律方法

解決此類問題要處理好兩個關鍵點(1)找出含有已知邊的三角形,從中篩選出可解三角形.(2)找出要求線段所在的三角形,確定所需條件.解題時二者應結合,明確解題思路.變式訓練1在平行四邊形ABCD中,AB=4,AC=4,∠BAC=45°,則AD=

.

角度2.證明問題

規(guī)律方法

解決此類問題時,要靈活運用三角形中特有的恒等變形公式、三角形邊和角的相互轉換公式,主要是正弦定理和余弦定理,因此這類題型都可用不同的途徑求解.探究點二解三角形的實際應用角度1.測量距離問題(1)求可到達點與不可到達點之間的距離問題【例3】

如圖,一名學生在河岸緊靠岸邊筆直行走,開始在點A處,經(jīng)觀察,在河的對岸有一參照物C,與學生前進方向成30°角,學生前進200m后到達點B處,測得該參照物與前進方向成75°角.(sin105°=)(1)求點A與參照物C的距離;(2)求河的寬度.規(guī)律方法

1.測量從一個可到達的點與一個不可到達的點之間的距離問題,一般可轉化為已知兩個角和一條邊解三角形的問題,從而運用正弦定理解決.2.如圖,點B為不可到達點,求A,B間的距離的具體解題步驟:(1)取基線AC(盡量長),且使AB,AC不共線;(2)測量AC,A,C;變式訓練3如圖所示,為了測量河的寬度,在一岸邊選定兩點A,B,望對岸標記物C,測得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,則河的寬度為

m.

60解析

由題意,得∠ACB=180°-30°-75°=75°,所以△ABC為等腰三角形.因為河寬即邊AB上的高,這與邊AC上的高相等,過點B作BD⊥AC于點D,所以河寬=BD=120sin

30°=60(m).(2)求不可到達的兩點之間的距離問題【例4】

如圖,隔河看到兩個目標A,B,但不能到達,在岸邊選取相距

km的C,D兩點,并測得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面內(nèi)),求兩個目標A,B之間的距離.規(guī)律方法

測量兩個不可到達的點之間的距離問題,一般是先把求距離問題轉化為應用余弦定理求三角形的邊長的問題,再把求未知的邊長問題轉化為只有一點不能到達的兩點距離測量問題,最后運用正弦定理解決問題.變式訓練4如圖,某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°的方向上,距離為12海里,在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°的方向上,距離為8海里,貨輪由A處向正北航行到D處時,再看燈塔B在北偏東120°的方向,求:(1)A處與D處的距離;(2)燈塔C與D處的距離.角度2.測量高度問題【例5】

如圖,為了測量河對岸的塔高AB,選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C,D,測得CD=200m,在點C和點D測得塔頂A的仰角分別是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高AB.規(guī)律方法

1.在測量底部不可到達的建筑物的高度時,可以借助正弦定理或余弦定理,構造兩角(兩個仰角或兩個俯角)和一邊或三角(兩個方向角和仰角)和一邊,如圖所示.2.解決測量高度問題的一般步驟:變式訓練5如圖,在山頂鐵塔上B處測得一點A的俯角為α,在塔底C處測得A處的俯角為β.若鐵塔高BC為m米,則山高CD為

米.

角度3.測量角度問題(1)實際測量中的角度問題【例6】

地圖測繪人員在點A測得某一目標參照物P在他的北偏東30°的方向,且距離他40m,之后該測繪人員沿正北方向行走了40m,達到點B.試確定此時目標參照物P相對于他的方位角以及他與目標參照物P的距離.因為AB=40

m,所以AB=PB,所以∠APB=∠PAB=30°,所以∠PBA=120°.因此測繪人員到達點B時,目標參照物P相對于該測繪人員的方位角為180°-120°=60°,且目標參照物P與他的距離為40

m.規(guī)律方法

解決實際測量中的角度問題的基本步驟(1)找準觀測點以及參照物,根據(jù)“上北下南,左西右東”確定正北方向;(2)根據(jù)題意作出示意圖;(3)分析圖中的已知量和未知量,標出有關角和線段的大小;(4)利用正弦定理或余弦定理解三角形,求出未知量.變式訓練6如圖所示,從點A到點B,方位角是50°,距離是470m;從點B到點C,方位角是80°,距離是860m;從點C到點D,方位角是150°,距離是640m,試計算從點A到點D的方位角和距離.(方位角精確到0.1°,距離精確到1m)(2)航海與追及中的角度問題【例7】

某漁輪在航行中不幸遇險,發(fā)出呼救信號,我國海軍艦艇在A處獲悉后,立即測出該漁輪在方位角為45°,距離為10nmile的C處,并測得漁輪正沿方位角為105°的方向,以9nmile/h的速度向某小島靠攏,我國海軍艦艇立即以21nmile/h的速度前去營救,求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時間.規(guī)律方法

1.本題欲求方位角,先求邊長,而要求邊長,需先求時間.由于艦艇與漁輪同時在移動,因此相遇點不確定,即艦艇的航向不確定,解題時畫圖的關鍵是設出相遇點B,畫出可以求解的三角形.2.解決這類問題,首先明確題中所給各個角的含義,然后分析題意,根據(jù)題意畫出正確的示意圖,將實際問題轉化為數(shù)學問題,運用正弦定理或余弦定理求解.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)利用正、余弦定理求解平面幾何問題;(2)正、余弦定理與其他知識的綜合;(3)利用正、余弦定理證明有關平面幾何中的問題;(4)不可到達的距離、高度、角度等實際問題的測量方案.2.方法歸納:化歸轉化、數(shù)形結合.3.常見誤區(qū):(1)方位角是易錯點;(2)利用正弦定理進行邊和角的正弦相互轉化時易出現(xiàn)不等價變形.成果驗收·課堂達標檢測12345678910A級必備知識基礎練1.(多選)某人向正東方向走了xkm后向右轉了150°,然后沿新方向走了3km,結果離出發(fā)點恰好

km,則x的值為(

)AB

123456789102.在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,則△ABC的形狀是(

)A.鈍角三角形

B.直角三角形C.銳角三角形

D.不能確定A

123456789103.如圖,飛機飛行的航線AB和地面目標C在同一鉛直平面內(nèi),在A處測得目標C的俯角為30°,飛行10千米到達B處,測得目標C的俯角為75°,這時B處與地面目標C的距離為(

)B12345678910123456789104.如圖所示,為測一建筑物的高度,在地面上選取A,B兩點,從A,B兩點測得建筑物頂端的仰角分別為30°,45°,且A,B兩點間的距離為60m,則該建筑物的高度為(注:sin15°=)(

)A12345678910123456789105.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若A=,a2+b2-c2=ab,c=3,則角C=

,a=

.

12345678910B級關鍵能力提升練6.(多選)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若

<cosA,則△ABC不可能為(

)A.鈍角三角形

B.直角三角形C.等腰三角形

D.等邊三角形BD123456789107.如圖所示,為了測量某湖泊兩側A,B間的距離,某同學首先選定了與A,B不共線的一點C,然后給出了三種測量方案(△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別記為a,b,c):①測量A,C,b;②測量a,b,C;③測量A,B,a.一定能確定A,B間距離的所有方案的序號為(

)A.①②

B.②③C.①③

D.①②③D解析

①測量A,C,b,因為