2025千題百煉-高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題（一）：第32煉 解三角形中的不等問題含答案

2025千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題（一）：第32煉解三角形中的不等問題含答案第32煉解三角形中的不等問題一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、正弦定理：，其中為外接圓的半徑正弦定理的主要作用是方程和分式中的邊角互化。其原則為關(guān)于邊，或是角的正弦值是否具備齊次的特征。如果齊次則可直接進(jìn)行邊化角或是角化邊，否則不可行例如：（1）（2）（恒等式）（3）2、余弦定理：變式：此公式在已知的情況下，配合均值不等式可得到和的最值3、三角形面積公式：（1）（為三角形的底，為對(duì)應(yīng)的高）（2）（3）（其中為外接圓半徑）4、三角形內(nèi)角和：，從而可得到：（1）正余弦關(guān)系式：（2）在已知一角的情況下，可用另一個(gè)角表示第三個(gè)角，達(dá)到消元的目的5、兩角和差的正余弦公式：6、輔助角公式：，其中7、三角形中的不等關(guān)系（1）任意兩邊之和大于第三邊：在判定是否構(gòu)成三角形時(shí)，只需驗(yàn)證較小的兩邊之和是否比第三邊大即可。由于不存在等號(hào)成立的條件，在求最值時(shí)使用較少（2）在三角形中，邊角以及角的三角函數(shù)值存在等價(jià)關(guān)系：其中由利用的是余弦函數(shù)單調(diào)性，而僅在一個(gè)三角形內(nèi)有效。8、解三角形中處理不等關(guān)系的幾種方法（1）轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)變量的函數(shù)：通過邊角互化和代入消元，將多變量表達(dá)式轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)，從而將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域（2）利用均值不等式求得最值二、例題精析：例1：△各角的對(duì)應(yīng)邊分別為，滿足，則角的范圍是A． B． C． D．思路：從所給條件入手，進(jìn)行不等式化簡(jiǎn)：，觀察到余弦定理公式特征，進(jìn)而利用余弦定理表示：，可解得：答案：A例2：在中，角所對(duì)的邊分別為，已知（1）求的大?。?）若，求的取值范圍 解：（1）由條件可考慮使用正弦定理，將分子進(jìn)行“邊化角”（2）思路：考慮在中，已經(jīng)已知，從而可求出外接圓半徑，進(jìn)而與也可進(jìn)行邊角互化。若從邊的角度考慮，則能夠使用的不等關(guān)系只有“兩邊之和大于第三邊”，但不易利用這個(gè)條件，考慮利用角來解決解：例3：在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，且（1）求角（2）求的取值范圍解：（1）方法一：使用余弦定理由余弦定理得：方法二：觀察等式齊次，考慮使用正弦定理（2）為銳角三角形小煉有話說：要注意對(duì)銳角三角形條件的運(yùn)用：三個(gè)角均為銳角，而用代換，所以滿足銳角的條件也由來承擔(dān)，這也是在利用等式消元時(shí)所要注意的一點(diǎn)：若被消去的元帶有范圍，則這個(gè)范圍由主元承擔(dān)。例4：在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，且（1）當(dāng)時(shí)，求的值（2）若角為銳角，求的取值范圍解：（1）或（2）思路：以“角為銳角”為突破口，聯(lián)想到余弦定理，而也剛好得到與的關(guān)系式，再由可解得的范圍解：考慮余弦定理為銳角，例5：若的內(nèi)角滿足，則的最小值是思路：所求的最值可想到余弦定理用邊進(jìn)行表示，，考慮角化邊得到：，進(jìn)而消去計(jì)算表達(dá)式的最值即可解：由可得：答案：例6：在銳角中、的對(duì)邊長(zhǎng)分別是、,則的取值范圍是()A．B．C．D．思路：本題所給條件為角的關(guān)系，不易從邊入手，所以將所求進(jìn)行邊化角：，只需求出的范圍即可。條件所給的是關(guān)系，從而，利用減少角的個(gè)數(shù)：，代入可得：，根據(jù)銳角三角形求出的范圍即可。解：由因?yàn)闉殇J角三角形解得：答案：B小煉有話說：本題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)，一個(gè)是解題系統(tǒng)的確定，由于題目中沒有涉及到邊的關(guān)系，只是給了角的條件，所以優(yōu)先選擇角的系統(tǒng)，從而進(jìn)行角化邊的處理，并進(jìn)行了一個(gè)分式的常見變形，將變量集中在分母上。另一個(gè)就是主元的確定：本題的主元是，所以在求表達(dá)式范圍時(shí)將均用來進(jìn)行表示，以便于求得值域。例7：已知的角所對(duì)的邊分別是，且，若的外接圓半徑為，則面積的最大值為__________思路：由可聯(lián)想到余弦定理求，所以，從而，所求面積可表示為，則只需解出的最大值即可。由外接圓半徑及可得：，所以，而，所以有，所以答案：小煉有話說：本題的入手點(diǎn)來自于條件中對(duì)余弦定理的暗示，從而解出，在計(jì)算面積時(shí)有三組邊角可供選擇：，通常是“依角而選”，從而把目標(biāo)轉(zhuǎn)向求的最值。要注意到余弦定理本身含有平方和與乘積項(xiàng)，再配上均值不等式往往可以找到最值。例8：設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊為，若成等比數(shù)列，則的取值范圍是______________思路：由成等比數(shù)列可得：，也可視為，所求表達(dá)式也可視為。如果從角入手，則無法與聯(lián)系。所以考慮從邊入手。由可得：，在中，若，則，所以，即，同理，若，則，解得：。綜上答案：例9：已知△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為，且BC邊上的高為，則的取值范圍為______．思路：一方面由所求出發(fā)，可用均值不等式得到，驗(yàn)證時(shí)存在這樣的三角形，得到最小值；再從另一個(gè)角度入手可聯(lián)想到余弦定理，而由題目中的底和高可得，所以有：，只需求得的范圍即可，考慮，，所以，綜上：答案：小煉有話說：（1）在解三角形中，能夠從所給式子中發(fā)現(xiàn)定理的影子，可幫助你迅速確定解題方向，本題沒有選擇邊化角，而是抓住余弦定理的影子為突破口，然后再去尋找條件能否把多余的元消去（比如本題中的），從而整理出一個(gè)可操作的表達(dá)式（2）最后運(yùn)用輔角公式時(shí)，輔助角并不是特殊角。這種情況下可用代替俯角，并用的一個(gè)三角函數(shù)值刻畫其大小。本題可通過作圖大致觀察到的范圍，從而確定的范圍能經(jīng)過，所以能夠取到例10：（2014，重慶）已知的內(nèi)角滿足，面積滿足，記分別是所對(duì)的邊，則下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.思路：本題需判斷的式子比較多，先從條件出發(fā)向所求靠攏?；?jiǎn)已知條件可得，即，聯(lián)想到面積公式及可得：，從而可用進(jìn)行表示求出范圍，另一方面可由，利用不等式的傳遞性即可求出的范圍解：即由正弦定理可得：所以由可得：，所以均不正確正確同理，不正確三、近年好題精選1、（2016，上海十校聯(lián)考）設(shè)銳角的三內(nèi)角所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，且，則的取值范圍為（）A.B.C.D.2、（2016江蘇高三第一次聯(lián)考）在中，是的中點(diǎn)，邊（含端點(diǎn)）上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是_______3、（2015，新課標(biāo)I）在平行四邊形中，，，則的取值范圍是_______4、（2016，哈爾濱六中上學(xué)期期末考試）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則的面積最大值為_________5、（2014，新課標(biāo)全國(guó)卷I）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，則面積的最大值為_______6、（2016，洛陽12月月考）在的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則下列命題正確的是________①若，則②若，則③若，則為銳角三角形④若，則7、（2014，陜西）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為（1）若成等差數(shù)列，證明：（2）若成等比數(shù)列，求的最小值8、設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為且.（1）求角的大?。唬?）若，求的周長(zhǎng)的取值范圍.9、已知和滿足：（1）求證：是鈍角三角形，并求最大角的度數(shù)（2）求的最小值10、（2016，安徽六校聯(lián)考）已知函數(shù).（1）求的對(duì)稱中心（2）若銳角中角所對(duì)的邊分別為，且，求的取值范圍習(xí)題答案：1、答案：A解析：由銳角可知：，解得，所以，從而2、答案：解析：方法一：若存在點(diǎn)，使得，則為銳角或直角在中代入，可得：方法二（向量法）以為原點(diǎn)，直線為軸建系，則，設(shè)，由和可得3、答案：解析：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則在中，設(shè)，則由正弦定理可得設(shè)，則由正弦定理：可得：，整理后可得：，所以，由可知，所以4、答案：解析：由余弦定理可得：，代入可得：，即，所以有：所以當(dāng)時(shí)，有最大值為5、答案：解析：由正弦定理可得：且即6、答案：①②③解析：①由正弦定理可知：，由余弦定理可得，整理可得：，所以②從而，從而③，所以，即，則，所以最大角為銳角。即是銳角三角形④取滿足，則，不符題意7、解析：（1）成等差數(shù)列，由正弦定理可得：（2）成等比數(shù)列由余弦定理可得：等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)?shù)淖钚≈禐?、解析：（1）（2）解得：9、解析：（1）不妨設(shè)，由可得：若，則，三式相加可得：，等式顯然不成立若，則，顯然不成立，此時(shí)，三式相加可得：，解得：（2）由（1）可得：且（在處取得）10、解析：（1）對(duì)稱中心為：對(duì)稱中心為：（2）由已知可得：（舍）或因?yàn)闉殇J角三角形第67煉圓錐曲線的性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識(shí)（一）橢圓：1、定義和標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和為定值（定值大于）的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓，其中稱為橢圓的焦點(diǎn)，稱為橢圓的焦距（2）標(biāo)準(zhǔn)方程：①焦點(diǎn)在軸上的橢圓：設(shè)橢圓上一點(diǎn)，，設(shè)距離和，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其中②焦點(diǎn)在軸上的橢圓：設(shè)橢圓上一點(diǎn)，，設(shè)距離和，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其中焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，則標(biāo)準(zhǔn)方程中哪個(gè)字母的分母更大2、橢圓的性質(zhì)：以焦點(diǎn)在軸的橢圓為例：（1）：與長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)有關(guān)：，稱為長(zhǎng)軸長(zhǎng)：與短軸的頂點(diǎn)有關(guān)：，稱為短軸長(zhǎng)：與焦點(diǎn)有關(guān)：，稱為焦距（2）對(duì)稱性：橢圓關(guān)于軸，軸對(duì)稱，且關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱（3）橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)范圍：設(shè)，則（4）通徑：焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的最小值①焦點(diǎn)弦：橢圓中過焦點(diǎn)的弦②過焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦說明：假設(shè)過，且與長(zhǎng)軸垂直，則，所以，可得。則（5）離心率：，因?yàn)椋裕?）焦半徑公式：稱到焦點(diǎn)的距離為橢圓的焦半徑①設(shè)橢圓上一點(diǎn)，則（可記為“左加右減”）②焦半徑的最值：由焦半徑公式可得：焦半徑的最大值為，最小值為（7）焦點(diǎn)三角形面積：（其中）證明：且因?yàn)?，所以，由此得到的推論：①的大小與之間可相互求出②的最大值：最大最大最大為短軸頂點(diǎn)（二）雙曲線：1、定義：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)距離差的絕對(duì)值為一個(gè)常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線，其中稱為橢圓的焦點(diǎn)，稱為橢圓的焦距；如果只是到兩個(gè)定點(diǎn)距離差為一個(gè)常數(shù)，則軌跡為雙曲線的一支2、標(biāo)準(zhǔn)方程：①焦點(diǎn)在軸：設(shè)雙曲線上一點(diǎn)，，設(shè)距離差的絕對(duì)值，則雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其中②焦點(diǎn)在軸：設(shè)雙曲線上一點(diǎn)，，設(shè)距離差的絕對(duì)值，則雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其中焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，則對(duì)應(yīng)字母作為被減數(shù)2、雙曲線的性質(zhì)：以焦點(diǎn)在軸的雙曲線為例：（1）：與實(shí)軸的頂點(diǎn)有關(guān)：，稱為實(shí)軸長(zhǎng)：與虛軸的頂點(diǎn)有關(guān)：，稱為虛軸長(zhǎng)：與焦點(diǎn)有關(guān)：，稱為焦距（2）對(duì)稱性：雙曲線關(guān)于軸，軸對(duì)稱，且關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱（3）雙曲線上點(diǎn)坐標(biāo)的范圍：設(shè)，則有或，（4）離心率：，因?yàn)椋裕?）漸近線：當(dāng)或時(shí)，雙曲線在向兩方無限延伸時(shí)，會(huì)向某條直線無限靠近，但不相交，則稱這條直線為曲線的漸近線。①雙曲線漸近線的求法：無論雙曲線的焦點(diǎn)位于哪條軸上，只需讓右側(cè)的1變?yōu)?，再解出關(guān)于的直線即可。例如在中，求漸近線即解：，變形為，所以即為雙曲線的漸近線②漸近線的幾何特點(diǎn)：直線所圍成的矩形，其對(duì)角線即為雙曲線的漸近線③漸近線的作用：一是可以輔助作出雙曲線的圖像；二是漸近線的斜率也能體現(xiàn)的關(guān)系。（6）通徑：①內(nèi)弦：雙曲線同一支上的兩點(diǎn)連成的線段外弦：雙曲線兩支上各取一點(diǎn)連成的線段②通徑：過雙曲線焦點(diǎn)的內(nèi)弦中長(zhǎng)度的最小值，此時(shí)弦軸，（7）焦半徑公式：設(shè)雙曲線上一點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為，則①（可記為“左加右減”）②由焦半徑公式可得：雙曲線上距離焦點(diǎn)最近的點(diǎn)為雙曲線的頂點(diǎn)，距離為（8）焦點(diǎn)三角形面積：設(shè)雙曲線上一點(diǎn)，則（其中）（三）拋物線：1、定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于到一條定直線（定點(diǎn)不在定直線上）的距離的點(diǎn)的軌跡為拋物線2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)位置：（1）焦點(diǎn)在軸正半軸：，焦點(diǎn)坐標(biāo)（2）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸：，焦點(diǎn)坐標(biāo)（3）焦點(diǎn)在軸正半軸：，焦點(diǎn)坐標(biāo)（4）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸：，焦點(diǎn)坐標(biāo)小結(jié)：通過方程即可判斷出焦點(diǎn)的位置與坐標(biāo)：那個(gè)字母是一次項(xiàng)，則焦點(diǎn)在哪條軸上；其坐標(biāo)為一次項(xiàng)系數(shù)除以4，例如：，則焦點(diǎn)在軸上，且坐標(biāo)為3、焦半徑公式：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，，則4、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，則（，再由焦半徑公式即可得到）二、典型例題：例1：已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于（）A.B.C.D.思路：先從常系數(shù)方程入手，拋物線的焦點(diǎn)為，即雙曲線中的，所以，從而雙曲線方程為：，其漸近線方程：，由對(duì)稱性可得焦點(diǎn)到兩漸近線的距離相等，不妨選擇，右焦點(diǎn)，所以答案：A小煉有話說：（1）一道題含多個(gè)圓錐曲線方程，往往以某些特殊點(diǎn)（焦點(diǎn)，頂點(diǎn)）為橋梁聯(lián)接這些方程，在處理時(shí)通常以其中一個(gè)曲線方程（不含參）為入手點(diǎn)，確定特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而解出其他圓錐曲線的要素答案：A例2：已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，直線與拋物線相切且與雙曲線的一條漸近線平行，則（）A.B.C.D.思路：本題涉及圓錐曲線和字母較多，所以首先要確定核心變量，從所求出發(fā)可嘗試以作為核心變量，拋物線的焦點(diǎn)為，所以可得，因?yàn)椋噪p曲線方程為，可求得漸近線方程為，不妨設(shè)與平行，則有。從相切可想到與拋物線聯(lián)立消元后的方程：，所以解得答案：A例3：如圖，是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，將的離心率分別記為，點(diǎn)是在第一象限的公共點(diǎn)，若的一條漸近線是線段的中垂線，則（）A.B.C.D.思路：橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，所以有，所求表達(dá)式，本題與焦半徑相關(guān)，所以考慮。結(jié)合的中點(diǎn)與的中點(diǎn)可得雙曲線的漸近線與平行，從而，所以有，聯(lián)系上面條件可得：，所以答案：A例4：已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，的一條漸近線與以的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于兩點(diǎn)，若恰好將線段三等分，則（）A.B.C.D.思路：因?yàn)橛泄步裹c(diǎn)，所以通過可得，從而，圓的直徑為，所以截橢圓的弦長(zhǎng)為。由雙曲線得，進(jìn)而與橢圓方程聯(lián)立，再利用弦長(zhǎng)公式即可得到關(guān)于（或）的方程，解方程即可解：通過可得，不妨設(shè)，則，所以利用弦長(zhǎng)公式可得又因?yàn)榻獾茫?，故選C答案：C例5：（2014，山東，10）已知，橢圓的方程為，雙曲線的方程是，與的離心率之積為，則的漸近線方程為（）A.B.C.D.思路：要想求漸近線方程，關(guān)鍵在的比值，所以將兩個(gè)離心率均用表示，再利用乘積為即可得到關(guān)系，進(jìn)而求出漸近線方程解：設(shè)曲線的離心率分別為，則即因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為：，代入可得：答案：A小煉有話說：本題在設(shè)計(jì)上利用橢圓和雙曲線中的求法不同，從而使得兩條曲線在相同的情況下，離心率的乘積中含有平方差公式的特點(diǎn)，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算，較易得出關(guān)系例6：橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)為，是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，那么的值是（）A.B.C.D.思路：所求既是橢圓的焦半徑，又是雙曲線的焦半徑。所以由橢圓和雙曲線定義可得：，，由此聯(lián)想到兩個(gè)式子的完全平方公式，進(jìn)而可求出，則答案：B例7：已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上且，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A.B.C.D.思路：因?yàn)閮蓷l曲線的焦點(diǎn)重合，所以可用雙曲線計(jì)算出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，所以，進(jìn)而可確定拋物線方程：，以及準(zhǔn)線方程：。所以，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則，所以，由焦半徑公式可得：，所以，即，可解得：答案：B例8：設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，在軸上點(diǎn)的右側(cè)有一點(diǎn)，以