考研數(shù)學(xué)二分類模擬193

考研數(shù)學(xué)二分類模擬193一、選擇題1.

設(shè)x→0時(shí)，(1+sinx)x-1是比xtanxn低階的無(wú)窮小，而xtanxn是比(esin2x-1)ln(1+x2)低階的無(wú)窮小，則正整數(shù)n等于______A.（江南博哥）1B.2C.3D.4正確答案：B[解析]當(dāng)x→0時(shí)，有

(1+sinx)x-1=exln(1+sinx)-1～xln(1+sinx)～xsinx～x2，

(esin2x-1)ln(1+x2)～sin2x·x2～x4，

而xtanxn～x·xn=xn+1。因此2＜n+1＜4，則正整數(shù)n=2。故選B。

2.

設(shè)當(dāng)x→0時(shí)，(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高階的無(wú)窮小，而xsinxn是比(ex2-1)高階的無(wú)窮小，則正整數(shù)n等于______A.1B.2C.3D.4正確答案：B[解析]當(dāng)x→0時(shí)，有

故有

由(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高階的無(wú)窮小可知4＞n+1，即n＜3；由xsinxn是比(ex2-1)高階的無(wú)窮小可知n+1＞2，即n＞1。

因此正整數(shù)n=2。故選B。

3.

當(dāng)x→0時(shí)，ex-(ax2+bx+1)是比x2高階的無(wú)窮小，則______

A．

B．a(chǎn)=1，b=1。

C．

D．a(chǎn)=-1，b=1。正確答案：A[解析]因故

顯然要使上式是比x2高階的無(wú)窮小(x→0時(shí))，只要

故選A。

4.

當(dāng)x→0時(shí)，f(x)=x-sinax與g(x)=x2ln(1-bx)是等價(jià)無(wú)窮小，則______

A．

B．

C．

D．正確答案：A[解析]由常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小替換公式以及常見(jiàn)函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)式可知：

當(dāng)x→0時(shí)，

g(x)=x2ln(1-bx)～-bx3，

要使得f(x)和g(x)等價(jià)，則必有1-a=0，即a=1，故選A。

要熟記常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小替換公式以及常見(jiàn)函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)式。

5.

當(dāng)x→0時(shí)，f(x)=3sinx-sin3x與cxk是等價(jià)無(wú)窮小，則______A.k=1，c=4B.k=1，c=-4C.k=3，c=4D.k=3，c=-4正確答案：C[解析]由麥克勞林展開(kāi)式可得

由此可得k=3，c=4。故選C。

6.

設(shè)x→a時(shí)，f(x)與g(x)分別是x-a的n階與m階無(wú)窮小，則下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是______

①f(x)g(x)是x-a的n+m階無(wú)窮?。?/p>

②若n＞m，則是x-a的n-m階無(wú)窮??；

③若n≤m，則f(x)+g(x)是x-a的n階無(wú)窮小。A.1B.2C.3D.0正確答案：B[解析]此類問(wèn)題按無(wú)窮小階的定義逐一分析。

命題①：

x→a時(shí)，f(x)g(x)是x-a的n+m階無(wú)窮小。

命題②：

若n＞m，有

x→a時(shí)，f(x)/g(x)是x-a的n-m階無(wú)窮小。

命題③：

例如，x→0時(shí)，sinx與-x均是x的一階無(wú)窮小，但

即sinx+(-x)是x的三階無(wú)窮小。

因此①、②正確，③錯(cuò)誤。故選B。

7.

設(shè)其中a2+c2≠0，則必有______A.b=4dB.b=-4dC.a=4cD.a=-4c正確答案：D[解析]當(dāng)x→0時(shí)，由帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式可知，tanx，ln(1-2x)均為x的一階無(wú)窮小；而1-cosx，1-e-x2均為x的二階無(wú)窮小，因此有

有即a=-4c。故選D。

8.

設(shè)則當(dāng)x→0時(shí)，α(x)是β(x)的______A.高階無(wú)窮小B.低階無(wú)窮小C.同階但不等價(jià)的無(wú)窮小D.等價(jià)無(wú)窮小正確答案：C[解析]當(dāng)x→0時(shí)有，

所以，當(dāng)x→0時(shí)，α(x)是β(x)的同階但不等價(jià)的無(wú)窮小。

當(dāng)極限式中出現(xiàn)了變上限積分時(shí)，一般的思路是通過(guò)洛必達(dá)法則計(jì)算。

9.

設(shè)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，且f(x)在x0間斷，則在點(diǎn)x0處必定間斷的函數(shù)是______A.f(x)sinxB.f(x)+sinxC.f2(x)D.|f(x)|正確答案：B[解析]方法一：若f(x)+sinx在x=x0處連續(xù)，則f(x)=[f(x)+sinx]-sinx在x=x0連續(xù)，與已知矛盾。因此f(x)+sinx在點(diǎn)x0處必間斷。故選B。

方法二：借助極限的四則運(yùn)算性質(zhì)即可直接得出結(jié)論，連續(xù)×間斷=?，間斷×間斷=?，連續(xù)+間斷=間斷。故選B。

二、填空題1.

正確答案：[解析]

其中

因此原式=

對(duì)于1∞型的極限[假設(shè)為1∞型，即]的計(jì)算方法總結(jié)如下：

注意到因此

考試時(shí)，該公式可以直接被使用，但現(xiàn)在，還是建議寫出中間過(guò)程．熟悉基本的處理方法。

2.

則a=______。正確答案：ln2[解析]即a=ln2。

3.

正確答案：[解析]利用等價(jià)無(wú)窮小，當(dāng)n→∞時(shí)，有

所以

由麥克勞林展開(kāi)式得

4.

[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則正確答案：2[解析]因?yàn)樗援?dāng)x＞0時(shí)，當(dāng)x＜0時(shí)，又由利用夾逼準(zhǔn)則可知，

5.

若在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，則a=______。正確答案：0[解析]因?yàn)閒(x)在(-∞，0)及(0，+∞)內(nèi)連續(xù)，所以需要確定參數(shù)a，使f(x)在x=0處連續(xù)。

當(dāng)時(shí)，f(x)在x=0處連續(xù)，所以當(dāng)a=0時(shí)，f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)。

三、解答題1.

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)若x→0時(shí)，f(x)-a與xk是同階無(wú)窮小，求常數(shù)k的值。正確答案：解：(Ⅰ)即a=1。

(Ⅱ)當(dāng)x→0時(shí)，有

又因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，x→sinx與是等價(jià)無(wú)窮小，故

由題設(shè)，x→0時(shí)，f(x)-a與xk是同階無(wú)窮小，所以k=1。

2.

設(shè)函數(shù)f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx3。若f(x)與g(x)在x→0時(shí)是等價(jià)無(wú)窮小，求a，b，k的值。正確答案：解：使用泰勒公式

所以1+a=0，故a=-1，[解析]本題已知兩個(gè)函數(shù)是等價(jià)無(wú)窮小，解決這種題的方法有兩種：一種是利用泰勒展開(kāi)式將分子展成和分母次數(shù)相等的多項(xiàng)式之后化簡(jiǎn)求未知數(shù)；另一種是利用洛必達(dá)法則，將分子分母降冪，結(jié)合極限值求未知量。

3.

正確答案：解：該極限式為1∞型未定式，可直接利用重要極限公式進(jìn)行計(jì)算，則而

故原式=

4.

正確答案：解：該極限式為1∞型未定式，可直接利用重要極限公式進(jìn)行計(jì)算，則有

又有

故原式=

5.