流體力學(xué)（清華大學(xué)張兆順54講） PPT課件 76-2-4流體力學(xué)（中）（第二章 流體運(yùn)動(dòng)學(xué)）

流體力學(xué)彭杰清華大學(xué)航天航空學(xué)院第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)采用數(shù)學(xué)分析和幾何描述的方法研究流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，不研究運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生和變化的原因2023/4/621.描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法2.流場(chǎng)的幾何描述3.流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析4.流場(chǎng)的旋度5.給定流場(chǎng)散度和旋度求速度場(chǎng)§2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法在流體力學(xué)中主要采用兩種方法來(lái)描述流體的運(yùn)動(dòng)拉格朗日法：

以流場(chǎng)中個(gè)別質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)作為研究出發(fā)點(diǎn)，從而進(jìn)一步研究整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)，這種方法是質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)研究方法的自然延續(xù)。歐拉法：

以流體流過空間某點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)特性作為研究的出發(fā)點(diǎn)，從而研究流體在整個(gè)空間里的運(yùn)動(dòng)情況。2023/4/63Joseph-LouisLagrangeLeonhardEuler§2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法拉格朗日法格朗日法通過兩個(gè)方面來(lái)描述流場(chǎng)：某一運(yùn)動(dòng)的流體質(zhì)點(diǎn)各種物理量隨時(shí)間的變化(時(shí)間)；相鄰質(zhì)點(diǎn)間這些物理量的變化（空間）。拉格朗日法實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵是建立識(shí)別每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)記方法。流體質(zhì)點(diǎn)初始時(shí)刻的坐標(biāo)與流體質(zhì)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)可用來(lái)標(biāo)記流體質(zhì)點(diǎn)2023/4/64§2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法2023/4/65以質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的坐標(biāo)作為標(biāo)記在時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置其中為常數(shù)，表明研究的是質(zhì)點(diǎn)§2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法2023/4/66對(duì)任意質(zhì)點(diǎn)，在任意時(shí)刻的位置其中為自變量，稱為拉格朗日變量稱為流體質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù)固定：表示某個(gè)確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡固定：表示時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)的位置§2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法2023/4/67位移函數(shù)的兩個(gè)基本性質(zhì)：1、在初始時(shí)刻，歐拉變量與拉格朗日變量的轉(zhuǎn)換2、任意時(shí)刻和是一一對(duì)應(yīng)的連續(xù)函數(shù)意義：§2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法2.歐拉法

歐拉法通過以下兩個(gè)方面來(lái)描述整個(gè)流場(chǎng)：在空間固定點(diǎn)上流體物理量隨時(shí)間的變化（時(shí)間）；在相鄰空間點(diǎn)上這些物理量的變化（空間）。 空間點(diǎn)上的物理量指占據(jù)這些位置的各個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的物理量，在不同時(shí)刻由不同流體質(zhì)點(diǎn)占據(jù)，從而引起空間點(diǎn)上物理量的變化。2023/4/68§2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法2023/4/69在歐拉法中，流動(dòng)物理量是時(shí)間和空間坐標(biāo)的函數(shù)其中為自變量，稱為歐拉變量歐拉法是一種場(chǎng)的描述方法定常流場(chǎng)：與時(shí)間無(wú)關(guān)的歐拉速度場(chǎng)§2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法2023/4/6103.歐拉描述與拉格朗日描述的相互轉(zhuǎn)換1）拉格朗日描述變?yōu)闅W拉描述

？§2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法2023/4/611例：給定拉格朗日的位移表達(dá)式其中為常數(shù)，為拉格朗日變量，求歐拉速度場(chǎng)由拉格朗日的位移表達(dá)式求拉格朗日速度表達(dá)式由位移表達(dá)式求反演代入拉格朗日速度表達(dá)式定常流動(dòng)§2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法2023/4/6122）歐拉描述變?yōu)槔窭嗜彰枋?/p>

？§2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法2023/4/613例：已知?dú)W拉速度場(chǎng)求質(zhì)點(diǎn)位移和速度的拉格朗日表達(dá)式由初始條件§2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法2023/4/6144.質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)(MaterialDerivative)定義：流體質(zhì)點(diǎn)的物理量對(duì)于時(shí)間的變化率稱作該物理量的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在拉格朗日描述中，的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)

例如：加速度是速度的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)§2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法2023/4/615在歐拉描述中時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的物理量時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的物理量時(shí)間內(nèi)該質(zhì)點(diǎn)物理量的增量的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)§2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法2023/4/616歐拉描述中物理量的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)局部導(dǎo)數(shù)，由流場(chǎng)的非定常性引起遷移導(dǎo)數(shù)，由流場(chǎng)的非均勻性引起質(zhì)點(diǎn)的加速度=局部加速度+遷移加速度第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)采用數(shù)學(xué)分析和幾何描述的方法研究流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，不研究運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生和變化的原因2023/4/6171.描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法2.流場(chǎng)的幾何描述3.流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析4.流場(chǎng)的旋度5.給定流場(chǎng)散度和旋度求速度場(chǎng)§2.2流場(chǎng)的幾何描述2023/4/6181.跡線(Pathline,Trajectory)定義：流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡稱為跡線方程：拉格朗日描述歐拉描述§2.2流場(chǎng)的幾何描述2023/4/619例：已知流體的速度場(chǎng)在直角坐標(biāo)中為求時(shí)位于的質(zhì)點(diǎn)的軌跡由初始條件跡線的參數(shù)方程或§2.2流場(chǎng)的幾何描述2023/4/6202.流線(streamline)定義：流線是速度場(chǎng)的向量線，它是某一固定時(shí)刻的空間曲線，該曲線上任意一點(diǎn)的切線方向與在該點(diǎn)的流體速度方向一致。直角坐標(biāo)系中流線方程：說明與比較：跡線是同一質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)軌跡，跡線方程中是自變量；流線是同一時(shí)刻不同質(zhì)點(diǎn)上的速度場(chǎng)向量線，流線方程中是參變量，積分時(shí)做為常數(shù)?！?.2流場(chǎng)的幾何描述2023/4/621例：已知流體的速度場(chǎng)在直角坐標(biāo)中為求時(shí)通過的流線方程所求的流線方程為§2.2流場(chǎng)的幾何描述2023/4/622流線的性質(zhì)：一般情況下流線不能相交，同一時(shí)刻通過一點(diǎn)只有一根流線； 三個(gè)例外：駐點(diǎn)（速度為零），奇點(diǎn)（速度為無(wú)限大），相切流場(chǎng)中每一點(diǎn)都有流線通過，由這些流線形成流譜；垂直于流線方向的速度分量為零；流線形狀與選定的坐標(biāo)系有關(guān)；定常流動(dòng)中，流線與跡線重合。源匯§2.2流場(chǎng)的幾何描述2023/4/623例：已知流體的速度場(chǎng)在直角坐標(biāo)中為求流線和跡線方程流線：跡線：消去：流線和跡線相同§2.2流場(chǎng)的幾何描述2023/4/624跡線：基本的拉格朗日幾何描述方法流線：基本的歐拉幾何描述方法§2.2流場(chǎng)的幾何描述2023/4/625脈線（streakline）和時(shí)間線（timeline）：實(shí)驗(yàn)上易于實(shí)現(xiàn)§2.2流場(chǎng)的幾何描述2023/4/6263.流管（stream-tube）在給定瞬時(shí)，通過任一非流線的曲線上各點(diǎn)作流線，這些流線組成的曲面稱為“流面”在給定瞬時(shí)，通過任一非流線的封閉曲線上各點(diǎn)作流線，由這些流線構(gòu)成的管狀曲面稱為“流管側(cè)面”,該曲面包圍的空間稱為“流管”流管的性質(zhì)：流管側(cè)面不可能有流體通過；流管不可能在流場(chǎng)內(nèi)部中斷：流管只能始于或終于流場(chǎng)邊界、或成環(huán)形、或伸展到無(wú)窮遠(yuǎn)處§2.2流場(chǎng)的幾何描述2023/4/6274.光滑流體線與光滑流體面的保持性流體線：同一時(shí)刻由確定的一組連續(xù)排列的流體質(zhì)點(diǎn)所組成的線，稱為流體線處處連續(xù)且可微的流體線稱為光滑流體線。流體面：同一時(shí)刻由確定的一組連續(xù)排列的流體質(zhì)點(diǎn)所組成的面，稱為流體面處處連續(xù)且可微的流體面稱為光滑流體面。光滑流體線（面）的保持性：光滑流體線（面）在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持為光滑流體線（面），且其上流體質(zhì)點(diǎn)的排列順序不隨時(shí)間變化，因此處于流體線兩端的流體質(zhì)點(diǎn)始終處于兩端，處于流體面邊界上的流體質(zhì)點(diǎn)始終位于流體面邊界上?！?.2流場(chǎng)的幾何描述2023/4/628數(shù)學(xué)描述：設(shè)光滑流體界面的方程為由于流體運(yùn)動(dòng)，界面也隨之運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻，它的方程為因?yàn)樗枪饣黧w面且具有保持性，對(duì)上式進(jìn)行Taylor展開第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)采用數(shù)學(xué)分析和幾何描述的方法研究流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，不研究運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生和變化的原因2023/4/6291.描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法2.流場(chǎng)的幾何描述3.流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析4.流場(chǎng)的旋度5.給定流場(chǎng)散度和旋度求速度場(chǎng)§2.3流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析2023/4/6301.幾何分析正交微元六面體經(jīng)過微小時(shí)間間隔將變成斜平行六面體平行移動(dòng)：六面體整體平移到新位置；線變形：六面體經(jīng)過O點(diǎn)的三條正交流體線伸長(zhǎng)或縮短，引起六面體體積膨脹或壓縮；角變形：過O點(diǎn)有三個(gè)正交流體面，每個(gè)正交流體面的兩正交流體線之間角度的變化，引起六面體形狀變化；轉(zhuǎn)動(dòng)：六面體象剛體一樣轉(zhuǎn)動(dòng)?！?.3流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析2023/4/6312.線變形率單位時(shí)間內(nèi)流體線的相對(duì)伸長(zhǎng)，稱為線變形速率流體微團(tuán)的體積在單位時(shí)間內(nèi)的相對(duì)變化，稱為流體微團(tuán)體積膨脹速率流體微團(tuán)體積膨脹速率=三個(gè)方向線變形速率之和

=流體散度不可壓縮流體§2.3流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析2023/4/6323.流體旋轉(zhuǎn)角速度過同一點(diǎn)的任意兩條正交微元流體線，在它們所在的平面上的旋轉(zhuǎn)角速度的平均值，稱為該點(diǎn)流體的旋轉(zhuǎn)角速度在垂直該平面方向的分量§2.3流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析2023/4/6334.角變形率微元平面上兩垂直線段夾角在單位時(shí)間內(nèi)減小量之半稱為該面的角變形率，用表示，下標(biāo)表示線段所在的平面?！?.3流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析2023/4/634線變形率角變形率旋轉(zhuǎn)角速度上述物理量是相互獨(dú)立的，從中可以有如下9個(gè)獨(dú)立控制量§2.3流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析2023/4/6355.流體的速度梯度張量流體微團(tuán)上任一點(diǎn)的速度由參考點(diǎn)的速度和線變形率、角變形率以及旋轉(zhuǎn)角速度控制流體的速度梯度張量（二階張量）§2.3流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析2023/4/636流體的速度梯度張量(二階張量)可分解為一個(gè)對(duì)稱張量和一個(gè)反對(duì)稱張量變形率張量二階對(duì)稱張量，6個(gè)獨(dú)立分量旋轉(zhuǎn)張量二階反對(duì)稱張量，3個(gè)獨(dú)立分量§2.3流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析2023/4/6376.海姆霍茲速度分解定理某參考點(diǎn)附近任一點(diǎn)上的速度可以分為三個(gè)部分與參考點(diǎn)相同的平移速度；變形在該點(diǎn)引起的速度；繞參考點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)在該點(diǎn)引起的速度。有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)流動(dòng)無(wú)旋流動(dòng)有旋流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)=平動(dòng)+變形+轉(zhuǎn)動(dòng)有旋與無(wú)旋分開聯(lián)系變形率與應(yīng)力§2.3流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析2023/4/638流動(dòng)有旋：流體微團(tuán)自身旋轉(zhuǎn)例：分別求以下兩個(gè)流場(chǎng)中流體質(zhì)點(diǎn)的跡線和準(zhǔn)剛體旋轉(zhuǎn)的角速度流場(chǎng)定常，流線和跡線重合(a)(b)第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)采用數(shù)學(xué)分析和幾何描述的方法研究流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，不研究運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生和變化的原因2023/4/6391.描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法2.流場(chǎng)的幾何描述3.流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析4.流場(chǎng)的旋度5.給定流場(chǎng)散度和旋度求速度場(chǎng)§2.4流場(chǎng)的旋度2023/4/640渦量場(chǎng)的向量線稱為渦線；給定瞬間，通過某一曲線（非渦線）的所有渦線構(gòu)成的曲面稱為渦面；

渦面對(duì)于渦量具有不可穿透性管狀渦面的內(nèi)域稱為渦管。1.渦量場(chǎng)及其性質(zhì)定義：速度場(chǎng)的旋度稱為渦量。性質(zhì)：渦量場(chǎng)是管式場(chǎng)（散度為零）。渦線、渦面和渦管§2.4流場(chǎng)的旋度2023/4/641通過某一開口曲面的渦量總和稱為渦通量在給定瞬間，沿渦管各截面上的渦通量大小相等，并將該渦通量的絕對(duì)值稱為渦管強(qiáng)度渦通量和渦管強(qiáng)度推論：在流場(chǎng)中渦管不能消失，只能兩端延伸到無(wú)窮遠(yuǎn)、或形成封閉渦環(huán)、或中止于物面及其它邊界上§2.4流場(chǎng)的旋度2023/4/6422.速度環(huán)量定義：在速度場(chǎng)中，速度沿封閉周線的線積分稱為繞該周線的速度環(huán)量定理：速度環(huán)量等于張?jiān)诜忾]周線上任意曲面的渦通量，其中曲面法向與的方向由右手規(guī)則確定對(duì)于無(wú)旋流動(dòng),一定存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，使得,稱為速度勢(shì)3.無(wú)旋流動(dòng)和速度勢(shì)流動(dòng)無(wú)旋速度有勢(shì)2023/4/643引入流線坐標(biāo)系，流線單位矢導(dǎo)數(shù)流動(dòng)沿密切面而行，渦量在副法線方向投影渦量在流動(dòng)密切面法向分量的分解2023/4/644曲率渦量和切變渦量從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度，流線彎曲和速度切變梯度是出現(xiàn)渦量的兩要素渦量在流動(dòng)密切面法向分量的分解2023/4/645例3

平面泊肅葉流,流線是直線

與例1相同

與例1大小相等，符號(hào)相反

渦量在流動(dòng)密切面法向分量的分解第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)采用數(shù)學(xué)分析和幾何描述的方法研究流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，不研究運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生和變化的原因2023/4/6461.描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法2.流場(chǎng)的幾何描述3.流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析4.流場(chǎng)的旋度5.給定流場(chǎng)散度和旋度求速度場(chǎng)§2.5給定流場(chǎng)散度和旋度求速度場(chǎng)2023/4/6471.由速度場(chǎng)的散度和旋度確定速度場(chǎng)的唯一性定理定理：已知域內(nèi)速度場(chǎng)的散度和旋度以及邊界上的法向速度，則可唯一確定域內(nèi)的速度場(chǎng)。給定則的解是唯一的。速度場(chǎng)的求解可分為三個(gè)部分：

是無(wú)旋有散的一個(gè)解

是無(wú)散有旋的一個(gè)解

是無(wú)散無(wú)旋滿足邊界條件的一個(gè)解§2.5給定流場(chǎng)散度和旋度求速度場(chǎng)2023/4/6482.由速度場(chǎng)的散度求速度場(chǎng)§2.5給定流場(chǎng)散度和旋度求速度場(chǎng)2023/4/649設(shè)速度場(chǎng)的散度為函數(shù)例：點(diǎn)源誘導(dǎo)的速度場(chǎng)為包含的任意體積點(diǎn)源球坐標(biāo)中§2.5給定流場(chǎng)散度和旋度求速度場(chǎng)2023/4/6503.由速度場(chǎng)的旋度求速度場(chǎng)散度方程自動(dòng)滿足令1）若選擇使得，則畢奧-薩法爾公式（渦誘導(dǎo)速度公式）§2.5給