考研數學二分類模擬206

考研數學二分類模擬206一、選擇題1.

設函數u(x，y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，在D的內部具有二階連續(xù)偏導數，且滿足則______A.u(x，y)的最大值和最小值都在D的邊界上取得B.u(x，y)的最大值和最小值都在D的內部取得C.u(x，y)的最大值在D的內部取得，最小值在D的邊界上取得D.u(x，y)的最小值在D的內部取得，最大值在D的邊界上取得正確答案：A[解析]記則由已知，B≠0，A，C互為相反數，則Δ=AC-B2＜0，所以u(x，y)在D內無極值，則最值在邊界處取得。故選A。

本題討論函數u(x，y)在有界閉區(qū)域D上的極值是在D的內部取到還是在D的邊界上取到。最值如果在區(qū)域內部取到，則一定是極值，將題目中的條件與無條件極值的充分條件聯系起來，先判斷函數是否可能取到極值。

2.

設f(x，y)與φ(x，y)均為可微函數，且φ'y(x，y)≠0。已知(x0，y0)是f(x，y)在約束條件φ(x，y)=0下的一個極值點，下列選項正確的是______A.若f'x(x0，y0)=0，則f'y(x0，y0)=0B.若f'x(x0，y0)=0，則0f'y(x0，y0)≠0C.若f'x(x0，y0)≠0，則f'y(x0，y0)=0D.若f'x(x0，y0)≠0，則f'y(x0，y0)≠0正確答案：D[解析]令F=f(x，y)+λφ(x，y)，

若f'x(x0，y0)=0，由(1)式得λ=0或φ'x(x0，y0)=0。當λ=0時，由(2)式得f'y(x0，y0)=0，但λ≠0時，由(2)式及φ'y(x0，y0)≠0得f'y(x0，y0)≠0。

若f'x(x0，y0)≠0，由(1)式，則λ≠0，再由(2)式及φ'y(x0，y0)≠0，則f'y(x0，y0)≠0。故選D。

3.

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]結合二重積分的定義可得

故選D。

4.

設其中D={(x，y)|x2+y2≤1}，則______A.I3＞I2＞I1B.I1＞I2＞I3C.I2＞I1＞I3D.I3＞I1＞I2正確答案：A[解析]在區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤1}上，有0≤x2+y2≤1，從而有

已知函數cosx在上為單調減函數，于是

因此

故選A。

5.

設平面D由，x+y=1及兩條坐標軸圍成，則______A.I1＜I2＜I3B.I3＜I1＜I2C.I1＜I3＜I2D.I3＜I2＜I1正確答案：C[解析]顯然在D上，則ln(x+y)3≤0，0＜sin(x+y)3＜(x+y)3，從而有

故選C。

6.

設D為單位圓x2+y2≤1，則______A.I1＜I2＜I3B.I3＜I1＜I2C.I3＜I2＜I1D.I1＜I3＜I2正確答案：D[解析]由于積分域D關于兩個坐標軸都對稱，而x3是x的奇函數，y3是y的奇函數，則

積分區(qū)域關于y=x對稱，從而由輪換對稱性可知

由于在D內|x|≤1，|y|≤1，則x6+y6≤x4+y4，則

從而有I1＜I3＜I2。故選D。

7.

設Dk是圓域D={(x，y)|x2+y2≤1}位于第k象限的部分，記，則______A.I1＞0B.I2＞0C.I3＞0D.I4＞0正確答案：B[考點]本題考查的是二重積分的性質。[解析]根據極坐標系下二重積分的計算可知

所以I1=I3=0，故選B。

有兩種方法可以求解：一是計算每一個積分區(qū)域上的二重積分，再比較大??；二是通過觀察被積函數y-x在D2，D4的符號，再結合對稱性化簡之后再進行比較。

8.

設f(x，y)在D：x2+y2≤a2上連續(xù)，則

A．不一定存在

B．存在且等于f(0，0)

C．存在且等于πf(0，0)

D．存在且等于正確答案：C[解析]由積分中值定理知

故選C。

二、填空題1.

設則df(x，y，z)|(1,1,1)=______。正確答案：dx-dy[解析]由有

兩邊分別對x，y，z求偏導，得

代入點(1，1，1)，得

f'x=1，f'y=-1，f'z=0，

故df(x，y，z)|(1,1,1)=dx-dy。

2.

設z=xf(u)+g(u)，且f(u)及g(u)具有二階連續(xù)導數，則正確答案：0[解析]由復合函數求導法則

因此

3.

設，f，φ具有二階連續(xù)導數，則正確答案：yf"(xy)+φ'(x+y)+yφ"(x+y)[解析]由題干可得

4.

設z=xg(x+y)+yφ(xy)，其中g，φ具有二階連續(xù)導數，則正確答案：g'(x+y)+xg"(x+y)+2yφ'(xy)+xy2φ"(xy)[解析]由題干可知

5.

設函數f(u，v)具有二階連續(xù)偏導數z=f(x，xy)，則正確答案：xf"12+f'2+xyf"22[解析]由題干可知

6.

設函數f(u，v)由關系式f[xg(y)，y]=x+g(y)確定，其中函數g(y)可微，且g(y)≠0，則正確答案：[解析]令u=xg(y)，v=y，則所以

7.

二元函數f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的極小值為______。正確答案：[解析]由題干可知

f'x=2x(2+y2)，f'y=2x2y+lny+1。

由

又有

所以則A＞0。

故是f(x，y)的極小值，且

8.

設且z(1，y)=siny，則z(x，y)=______。正確答案：[解析]由有

又根據已知可得

所以

從而

三、解答題1.

求曲線x3-xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的點到坐標原點的最長距離與最短距離。正確答案：解：構造函數

L(x，y)=x2+y2+λ(x3-xy+y3-1)，

且令

得唯一駐點x=1，y=1，即M1(1，1)。

考慮邊界上的點，M2(0，1)，M3(1，0)，距離函數在三點的取值分別為f(0，1)=1，f(1，0)=1，因此可知最長距離為，最短距離為1。[解析](1)在計算的時候，本題把目標函數由變成了x2+y2，這是由于x2+y2更便于計算導數，同時與x2+y2取最大值和最小值的點是完全一樣的。很多時候，為了計算的簡便，都需要對目標函數作平方或是取對數的變化，然后再使用拉格朗日乘數法。

(2)在使用拉格朗日乘數法時要記住“所求即所得”的原則，解出極值點之后無需討論是極大值還是極小值，如果題目中要求的是最大值，那么所有點中函數值最大的就是最大值，要求最小值亦然。這里求解的關鍵是要保證求出所有的極值點，這要求在對方程進行變形時必須注意，避免丟根。

2.

求函數u=x2+y2+z2在約束條件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值與最小值。正確答案：解：方法一：可以利用拉格朗日乘數法求極值，兩個約束條件的情況下，作拉格朗日函數

F(x，y，z，λ，μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2-z)+μ(x+y+z-4)，

且令

解方程組得

(x1，y1，z1)=(1，1，2)，(x2，y2，z2)=(-2，-2，8)。

代入原函數，求得最大值為72，最小值為6。

方法二：問題可轉化為一個約束函數的情況，求u=x2+y2+x4+2x2y2+y4在條件x+y+x2+y2=4下的最值，設

F(x，y，λ)=u=x4+y4+2x2y2+x2+y2+λ(x+y+x2+y2-4)，

目令

解得(x1，y1)=(1，1)，(x2，y2)=(-2，-2)，代入z=x2+y2，得z1=2，z2=8。

同理可得原函數最大值為72，最小值為6。

3.

求|z|在約束條件下的最大值與最小值。正確答案：解：|z|的最值點與z2的最值點一致，用拉格朗日乘數法，令

F(x，y，z，λ，μ)=z2+λ(x2+9y2-2z2)+μ(x+3y+3z-5)。

且令

解得

所以當x=1，時，|z|=1最?。划攛=-5，時，|z|=5最大。

4.

求原點到曲面(x-y)2+z2=1的最短距離。正確答案：解：根據題意，要求曲面上的點(x，y，z)到原點的距離在條件(x-y)2+z2=1下達到最小值，運用拉格朗日乘數法。令

F(x，y，z，λ)=x2+y2+z2+λ(x-y)2+λz2-λ，

則有

即得

由(3)式，若λ=-1，代入(1)式和(2)式得解得x=0，y=0。代入曲面方程(x-y)2+z2=1，得到z2=1，d=1。

若λ≠-1，由(3)式解得z=0。由(1)式和(2)式得到x=-y。代入曲面方程(x-y)2+z2=1，得到

故所求的最短距離為

5.

求二元函數z=f(x，y)=x2y(4-x-y)在直線x+y=6，x軸與y軸圍成的閉區(qū)域D上的最大值與最小值。正確答案：解：先求在D內的駐點，即

解得

因此在D內只有駐點相應的函數值為f(2，1)=4。

再求f(x，y)在D邊界上的最值：

①在x軸上y=0，所以f(x，0)=0；

②在y軸上x=0，所以f(0，y)=0；

③在x+y=6上，將y=6-x代入f(x，y)中，得

f(x，y)=2x2(x-6)，

因此f'x=6x2-24x=0，得x=0(舍)，x=4。所以y=6-x=2。

于是得駐點相應的函數值f(4，2)=x2y(4-x-y)|(4,2)=-64。

綜上所述，最大值為f(2，1)=4，最小值為f(4，2)=-64。

6.

已知函數z=f(x，y)的全微分dz=2xdx-2ydy，并且f(1，1)=2。求f(x，y)在橢圓域上的最大值和最小值。正確答案：解：根據題意可知于是f(x，y)=x2+C(y)，且C'(y)=-2y，因此有C(y)=-y2+C，由f(1，1)=2，得C=2，故f(x，y)=x2-y2+2。

令得可能極值點為x=0，y=0。且

Δ=B2-AC=4＞0，所以點(0，0)不是極值點，也不可能是最值點。

下面討論其邊界曲線上的情形，令拉格朗日函數為

求解

得可能極值點x=0，y=2，λ=4；x=0，y=-2，λ=4；x=1，y=0，λ=-1；x=-1，y=0，λ=-1。

將其分別代入f(x，y)得，f(0，±2)=-2，f(±1，0)=3，因此z=f(x，y)在區(qū)域D={(x，y)|x2+≤1}內的最大值為3，最小值為-2。[解析]在求邊界上的條件極值點時，可以使用拉格朗日乘數法，如果邊界曲線比較簡單，也可以將邊界的方程直接代入目標函數，將其化簡為一元函數再求最大值和最小值。

7.

設平面區(qū)域D由直線x=3y，y=3x及x+y=8圍成。計算正確答案：解：根據已知

則有

[解析]直角坐標下選擇積分次序的基本原則：一看區(qū)域，選擇更便于定限的積分次序，盡量避免分類討論；二看被積函數，評估計算量，選擇使得第一步的積分更簡單的積分次序。

8.

計算其中D是由y=-x，所圍成的平面區(qū)域。正確答案：解：x2-2x+y2=0(x-1)2+y2=1；

y=-x與x2+y2=4的交點為；

y=-x與x2-2x+y2=0的交點為(0，0)和(1，-1)；

x2+y2=4與x2-2x+y2=0的交點為(2，0)。

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