考研數(shù)學(xué)二分類模擬240

考研數(shù)學(xué)二分類模擬240解答題1.

設(shè)

在點(diǎn)x=0處連續(xù)，求a，b的值．正確答案：解：

因?yàn)閒(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)，所以f(0+0)=f(0)=f(0-0)，故a=1，b=-1．[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

2.

正確答案：解：

令u=x5+1，先計(jì)算上面式子的第二項(xiàng)

代入上式，得到

[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

3.

設(shè)y=f(x)為[a，b]上單調(diào)遞增的連續(xù)曲線(下圖)．試證：存在ξ∈(a，b)，使圖中兩陰影部分面積相等．

正確答案：證明：按題意，點(diǎn)ξ需滿足

引入輔助函數(shù)

易知F(t)在[a，b]上連續(xù)，且因y=f(x)單調(diào)遞增，所以有

故由零點(diǎn)定理，，使得

結(jié)論得證．[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

4.

求極限．正確答案：解：記

易見數(shù)列{an}是遞增的，且

因此，由單調(diào)有界定理知數(shù)列{an}收斂．設(shè)．

因?yàn)?/p>

所以．任意給定的正整數(shù)m，當(dāng)n＞m，有

在上面的不等式中令n→∞，得

因此，由極限的保不等式性得到e≥a，故a=e．[考點(diǎn)]極限、連續(xù)及其應(yīng)用

5.

．正確答案：解：

于是

[考點(diǎn)]不定積分、定積分、反常積分

6.

證明：任意n+1個(gè)n維向量都線性相關(guān)．正確答案：證明：任取n+1個(gè)向量：α1，α2，…，αn+1．

考慮齊次線性方程組x1α1+x2α2+…+xn+1αn+1=0，它的方程個(gè)數(shù)n小于未知量個(gè)數(shù)n+1，因此它有非零解．從而α1，α2，…，αn+1線性相關(guān)．[考點(diǎn)]向量

7.

判斷積分是否有意義．正確答案：解：

故該積分有意義．[考點(diǎn)]不定積分、定積分、反常積分

8.

設(shè)f(x)=a0+a1x+…+amxm，證明：如果λ0是n階矩陣A的一個(gè)特征值，且α是A的屬于λ0的特征向量，那么f(λ0)是矩陣f(A)的一個(gè)特征值，α是f(A)的屬于f(λ0)的一個(gè)特征向量．正確答案：證明：由已知條件得，Aα=λ0α．于是

因此f(λ0)是f(A)的一個(gè)特征值，α是f(A)的屬于f(λ0)的一個(gè)特征向量．

注本例的結(jié)論請(qǐng)讀者記住并靈活運(yùn)用．[考點(diǎn)]特征值與特征向量

設(shè)，求：9.

f(x)的定義域；正確答案：解：則f(x)的定義域?yàn)?-∞，+∞)．[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

10.

；正確答案：解：因?yàn)?/p>

所以．[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

11.

．正確答案：解：因?yàn)閤=0為f(x)的分段點(diǎn)，所以分別考慮左、右極限

因此不存在．[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

12.

設(shè)f(x)連續(xù)，任意的x＞0，f(x)＞0，且對(duì)任意的x≥0，有．當(dāng)x≥0時(shí)，求f(x)．正確答案：解：當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞0，所以，故

又因f(x)連續(xù)，所以可導(dǎo)，即f2(x)可導(dǎo)．

對(duì)兩邊求導(dǎo)，得

2f(x)f'(x)=f(x)＞0

故，即．再由f(0)=0得c=0，所以．[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

13.

若A是n階矩陣，且A2=A，證明

r(A-E)+r(A)=n正確答案：證明：由A2=A，得A(A-E)=0，故r(A)+r(A-E)≤n．

又

r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n

得證

r(A-E)+r(A)=n[考點(diǎn)]矩陣、向量、方程組

已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx，在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為，且Q的第3列為．14.

求矩陣A；正確答案：解：因?yàn)槎涡蛒TAx在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為，所以其系數(shù)1，1，0就是矩陣A的特征值，即

且矩陣Q的第3列就是屬于特征值0的特征向量．

設(shè)(x1，x2，x3)T為A屬于特征值1的特征向量，由于實(shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量是正交的，故有

即x1+x3=0，解得，ξ3=(0，1，0)T，即為屬于特征值1的兩個(gè)正交單位特征向量，以ξ2，ξ3分別為第1，2列(或第2，1列)得到

并有

從而得

[考點(diǎn)]二次型

15.

證明A+E為正定矩陣，其中E為三階單位矩陣．正確答案：證明：因A的特征值為1，1，0，所以A+E的特征值為2，2，1．又AT=A，則A+E為實(shí)對(duì)稱矩陣，故A+E為正定矩陣．[考點(diǎn)]二次型

16.

在某一人群中推廣新技術(shù)是通過其中已掌握新技術(shù)的人進(jìn)行．設(shè)該人群的總?cè)藬?shù)為N，在t=0時(shí)刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為x0．在任意時(shí)刻t已掌握新技術(shù)的人數(shù)為x(t)(將x(t)視為可微變量)，其變化率與已掌握新技術(shù)的人數(shù)和未掌握新技術(shù)的人數(shù)之積成正比，比例系數(shù)k＞0，求x(t)．正確答案：解：由題意x(t)滿足如下初值問題

分離變量得，積分得

即

故

由x(0)=x0知，故．[考點(diǎn)]常微分方程及其應(yīng)用

求下列極限：17.

；正確答案：解：

所以

[考點(diǎn)]多元函數(shù)微分學(xué)

18.

．正確答案：解：先計(jì)算取對(duì)數(shù)之后的極限

因?yàn)?/p>

故原極限=e0=1．[考點(diǎn)]多元函數(shù)微分學(xué)

19.

證明：如果A是實(shí)對(duì)稱矩陣，且A是冪零矩陣(即A2=0)，那么A=0．正確答案：證明：由于冪零矩陣的特征值有且只有0，故存在正交矩陣T，使得T-1AT=diag{0，0，…，0}．從而A=T0T-1=0．[考點(diǎn)]特征值與特征向量

20.

設(shè)，求函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)，并指出其類型．正確答案：解：因?yàn)?，所以，其定義域?yàn)閤≠kπ(k=0，±1，±2，…)，因此x=kπ(k=0，±1，±2，…)是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)．

當(dāng)k=0時(shí)，，故x=0是f(x)的第一類間斷點(diǎn)(可去間斷點(diǎn))；

當(dāng)k≠0時(shí)，不存在，故x=kπ(k=±1，±2，…)是f(x)的第二類間斷點(diǎn)．

注由于x→kπ(k≠0)時(shí)，sinx→0，因此，注意到e+∞=+∞，而e-∞=0，所以有必要做出如下更細(xì)致的討論，比如：

當(dāng)k為正奇數(shù)時(shí)，由，得；

由，得．

故此時(shí)kπ為f(x)的第二類間斷點(diǎn)．其他情況：k為負(fù)奇，k為正偶，k為負(fù)偶，均可類似判斷是kπ為第二類間斷點(diǎn)．[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

21.

計(jì)算二重積分，其中D為x2+y2≤1在第一象限的部分．正確答案：解1：極坐標(biāo)下計(jì)算．令x=rcosθ，y=rsinθ，，0≤r≤1，則

解2：直角坐標(biāo)下計(jì)算，則

[考點(diǎn)]二重積分

設(shè)有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量．22.

求a；正確答案：解：由

得矩陣A的特征值為λ1=-2，λ2=λ3=1，因?yàn)锳有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以A可以相似對(duì)角化，從而r(E-A)=1，由

得a=-1．[考點(diǎn)]特征值與特征向量

23.

求A的