考研數(shù)學二分類模擬249

考研數(shù)學二分類模擬249解答題1.

設，求f'(1)．正確答案：解：令，則

故g'(1)=0．

故

．

從而．[考點]連續(xù)、導數(shù)、微分(Ⅰ)

2.

設函數(shù)x=f(y)的反函數(shù)f-1(x)以及f'[f-1(x)]，f"[f-1(x)]都存在，且f'[f-1(x)]≠0．證明：．正確答案：證明：由已知有y=f-1(x)．對x=f(y)兩邊關于x求導，得

所以．兩邊再對x求導，得

[考點]一元函數(shù)微積分

3.

正確答案：解：

注若進一步利用公式，則本題最終的結果可表示為．[考點]一元函數(shù)微積分

求下列極限：4.

；正確答案：解：當n＞2時，有

于是

所以．[考點]極限、連續(xù)及其應用

5.

．正確答案：解：因為0＜α＜1，所以

0＜(n+1)α-nα=(n+1)·(n+1)α-1-nα＜(n+1)·nα-1-nα=nα-1

由于，因此．[考點]極限、連續(xù)及其應用

6.

設|x|＜1，求．正確答案：解：

(1-x)(1+x)(1+x2)(1+x4)…(1+x2n)

=(1-x2)(1+x2)(1+x4)…(1+x2n)

=1-x2n+1

則

[考點]函數(shù)、極限

設A，B均為n階方陣，且E-AB可逆．7.

證明E-BA可逆；正確答案：證明：反證法．若E-BA不可逆，則存在非零向量x，使

(E-BA)x=0，即x=BAx

令y=Ax，則有x=By．由x≠0，可知y≠0．

于是

(E-AB)y=y-ABy=Ax-Ax=0

這與E-AB可逆矛盾．[考點]矩陣、向量、方程組

8.

求E-BA的逆陣．正確答案：解：設C為E-AB的逆，則(E-AB)C=E，即C-ABC=E．

上式兩端左乘B，右乘A，得

BCA-BABCA=BA

即

(E-BA)BCA=BA

從而

(E-BA)BCA+E-BA=E

故

(E-BA)(BCA+E)=E

于是

(E-BA)-1=BCA+E=B(E-AB)-1A+E[考點]矩陣、向量、方程組

9.

已知，求An．正確答案：解：

其中．

則

由于

故Bk=0，k≥3，所以

[考點]矩陣、向量、方程組

10.

設f(x)是周期為4的可導的奇函數(shù)，且f'(x)=2(x-1)，x∈[0，2]，求f(7)．正確答案：解：因f'(x)=2(x-1)，故f(x)=x2-2x+C，x∈[0，2]．又f(x)是奇函數(shù)，則f(0)=0，故C=0．所以f(x)=x2-2x，x∈[0，2]．又因f(x)的周期為4，故

f(7)=f(3)=f(-1)=-f(1)=1[考點]連續(xù)、導數(shù)、微分(Ⅰ)

11.

設f(x)，g(x)和它們的平方在[a，b]上可積，證明施瓦茲(Schwarz)不等式

正確答案：證1：令，則當t≥a時

由此可知F(t)單調(diào)不減，又F(a)=0，所以F(b)≥F(a)=0，即證

證2：對任意的實數(shù)t，有

考慮以t為自變量的一元二次函數(shù)h(t)，有

所以

于是

[考點]一元函數(shù)微積分

12.

設，求F'(0)．正確答案：解：設，由，因此可在t=0處補充定義f(0)=0，使得f(t)為[-1，1]上的連續(xù)函數(shù)，則

所以F'(0)=0．[考點]一元函數(shù)微積分

13.

A是三階矩陣，已知Aξi=iξi(i=1，2，3)，其中ξ1=(1，0，0)T，ξ2=(1，1，0)T，ξ3=(1，1，1)T，求矩陣A.正確答案：解1：由題設Aξi=iξi(i=1，2，3)知，三階矩陣A有三個互不相同的特征值，所以A可以相似于對角矩陣，且ξ1，ξ2，ξ3是三個線性無關的特征向量，故存在可逆矩陣P=(ξ1，ξ2，ξ3)，使得，故

解2：由題設條件Aξi=iξi(i=1，2，3)，合并成矩陣形式，得

(Aξ1，Aξ2，Aξ3)=A(ξ1，ξ2，ξ3)=(ξ1，2ξ2，3ξ3)

兩端右乘(ξ1，ξ2，ξ3)-1，得

[考點]特征值、特征向量及二次型

14.

設f(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)三階可導，且，f(2)=6．證明：存在ξ∈(0，2)，使得f"'(ξ)=9．正確答案：解：由，得f(0)=0，f'(0)=2．

作多項式P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，使得P(0)=0，P'(0)=2，P(1)=1，P(2)=6，解得

令

則φ(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)可導，且

φ(0)=φ(1)=φ(2)=0

因此φ(x)在[0，1]和[1，2]上滿足羅爾定理條件，則存在ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)，使得φ'(ξ1)=φ'(ξ2)=0．

又φ'(0)=0，由羅爾定理，存在η1∈(0，ξ1)，η2∈(ξ1，ξ2)，使得

φ"(η1)=φ"(η2)=0

再由羅爾定理，存在，使得φ"'(ξ)=0．而φ"'(x)=f"'(x)-9，所以f"'(ξ)=9．[考點]一元函數(shù)微積分

15.

．正確答案：解：設

由于待定系數(shù)較多，可同時使用賦值法和比較系數(shù)法(即比較等式兩端x的同次冪的系數(shù))，從而減少計算量．通分后應有

1≡A(x+2)2(x+3)3+B(x+1)(x+2)(x+3)3+

C(x+1)(x+3)3+D(x+1)(x+2)2(x+3)2+

E(x+1)(x+2)2(x+3)+F(x+1)(x+2)2

在這個恒等式中，令x=-1，得1=8A，即；令x=-2，得1=-C，即C=-1；令x=-3，得1=-2F，即．比較x5，x4及x3的系數(shù)，得

由此，B=2，．于是

[考點]一元函數(shù)微積分

16.

設y'(4)是否存在?并求y(x)的最大值．正確答案：解：

所以y'(4)存在．

當0≤x≤4時

所以

當x＞4時，y'(x)=-1＜0，所以y(x)在(4，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，故y(x)＜y(4)=2．

綜上，y(x)在[0，+∞)上的最大值為．[考點]一元函數(shù)微積分

17.

求．正確答案：解：

而

．[考點]函數(shù)、極限

18.

設f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)有二階導數(shù)，試證：存在c∈(a，b)，使

正確答案：證明：令

由拉格朗日中值定理，存在，使得

在閉區(qū)間上再次應用拉格朗日中值定理，存在，使得

由式②，有

比較③④兩式，即得式①．[考點]連續(xù)、導數(shù)、微分(Ⅱ)

19.

求．正確答案：解：令，則

從而

[考點]一元函數(shù)微積分

20.

設n為正整數(shù)，試證：當t≤n時，．正確答案：解：原式等價于

故只要證明

證1：令

先考慮n≥2的情況

故t=1是g(t)的唯一極小值點，于是有

從而當n≥2時，g(t)＞0，故f(t)關于t遞增，f(t)≥f(0)=0．

當n=1時，f(t)=t2-[1-(1-t)et]=t2+(1-t)et-1，顯然當t≤0時，f(t)≥0．

當t＞0時，f'(t)=t(2-et)，令f'(