考研數(shù)學(xué)二分類模擬題17

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題17一、填空題1.

設(shè)y=x5+5x-tan(x2+1)，則y'=______．正確答案：5x4+5xln5-2xsec2(x2+1)．[解析]y'=5x4+5xln5-2（江南博哥）xsec2(x2+1)．

2.

，則y'=______．正確答案：[解析]

3.

f(sinx)=cos2x+3x+2，則f'(x)=______．正確答案：[解析]由f(sinx)=cos2x+3x+2，得f(sinx)=1-2sin2x+3x+2，

f(x)=1-2x2+3arcsinx+2，

4.

y=xsin2(2x+1)，則y'=______．正確答案：[解析]，則

5.

xy=yx，則y'=______．正確答案：[解析]由xy=yx，得ylnx=xlny，兩邊求導(dǎo)數(shù)得解得．

6.

設(shè)f(x)一階可導(dǎo)，且f(x)=f'(x)=1，則正確答案：2[解析]

7.

設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程xy+2lnx=y4所確定，則曲線y=f(x)在(1，1)處的法線方程為______．正確答案：y=-x+2[解析]xy+2lnx=y4兩邊對(duì)x求導(dǎo)得，

將x=1，y=1代入得，

故曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，1)處的法線為y-1=-(x-1)，即．y=-x+2．

8.

正確答案：[解析]由得

9.

設(shè)周期為4的函數(shù)f(x)處處可導(dǎo)，且，則曲線y=f(x)在(-3，f(-3))處的切線為______．正確答案：y=-2x+4[解析]由得f(1)=2，

再由得f'(1)=-2，

又f(-3)=f(-4+1)=f(1)=2，f'(-3)=f'(-4+1)=f'(1)=-2，

故曲線y=f(x)在點(diǎn)(-3，f(-3))處的切線為y-2=-2(x+3)，即y=-2x-4．

10.

設(shè)f(x)為偶函數(shù)，且f'(-1)=2，則正確答案：-8[解析]因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f'(x)為奇函數(shù)，于是f'(1)=-2，

11.

設(shè)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則正確答案：2f(a)×5'f(a)=10f(a)f'(a)[解析]因?yàn)閒(x)在x=a處可導(dǎo)，所以f(x)在x=a處連續(xù)，于是

12.

設(shè)f'(a)存在且不等于零，則正確答案：[解析]

13.

設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且f'(1)=2，則正確答案：6[解析]因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f'(x)為偶函數(shù)，

由得

14.

設(shè)，且f'(0)存在，則a=______，b=______，c=______．正確答案：2

-2

2[解析]f(0)=2，f(0-0)=c，

因?yàn)閒(x)在x=0處連續(xù)，所以f(0+0)=f(0)=f(0-0)，

從而a=2，c=2，即

因?yàn)閒(x)在x=0處可導(dǎo)，即f'+(0)=f'-(0)，故b=-2．

15.

設(shè)f(x)在x=2處可導(dǎo)，且，則f(2)=______，f'(2)=______．正確答案：0，8[解析]因?yàn)?，所以，再由f(x)在x=2處的連續(xù)性得f(2)=0．

由，得f'(2)=8．

16.

設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且，f"(0)=e，則正確答案：[解析]由得f(0)=0，f'(0)=1，

于是

17.

設(shè)f(u)可導(dǎo)，y=f(x2)在x0=-1處取得增量Δx=0.05時(shí)，函數(shù)增量Δy的線性部分為0.15，則f'(1)=______．正確答案：[解析]由dy=2xf'(x2)Δx得dy|x=-1=-2f'(1)×0.05=-0.1f'(1)，

因?yàn)棣的線性部分為dy，由-0.1f'(1)=0.15得．

18.

設(shè)，則正確答案：[解析]

19.

設(shè)則正確答案：[解析]

20.

設(shè)曲線y=lnx與相切，則公共切線為______．正確答案：[解析]設(shè)當(dāng)x=a時(shí)，兩條曲線相切，由得a=e2．兩條曲線的公共切線為，整理得切線為．

21.

曲線在點(diǎn)(0，1)處的法線方程為______．正確答案：y=-2x+1[解析]在點(diǎn)(0，1)處t=0，

，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)處法線的斜率為-2，

所以法線方程為y-1=-2(x-0)，即y=-2x+1．

22.

曲線r=eθ在處的切線方程為______．正確答案：[解析]當(dāng)時(shí)，x=0，

，所求切線方程為．

23.

設(shè)，則t=0對(duì)應(yīng)的曲線上點(diǎn)處的法線為______．正確答案：y=-2x[解析]t=0對(duì)應(yīng)的曲線上點(diǎn)為(0，0)，

又，切線斜率為，

故法線方程為y-0=-2(x-0)，即y=-2x．

24.

設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程ex+y+cos(xy)=0確定，則正確答案：[解析]方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得

，解得．

25.

設(shè)，f(n)(x)=______．正確答案：[解析]令，解得A=3，B=-2，即，于是．

26.

設(shè)f(x)=ln(2x2-x-1)，則f(n)(x)=______．正確答案：[解析]f(x)=ln[2x+1)(x-1]=ln(2x+1)+ln(x-1)，，

27.

設(shè)，其中f連續(xù)，則φ"(x)=______．正確答案：[解析]

28.

設(shè)f(x)連續(xù)，則正確答案：f(x)[解析]

于是，故．

29.

曲線的斜漸近線為______．正確答案：y=x+3[解析]

則斜漸近線為y=x+3．

30.

曲線的斜漸近線為______．正確答案：y=x[解析]由，得曲線的．

斜漸近線為y=x．

31.

y=ex在x=0處的曲率半徑為R=______．正確答案：[解析]y'(0)=1，y"=1，則曲線y=ex在x=0處的曲率為，則曲率半徑為．

二、選擇題1.

曲線的漸近線有______．A.1條B.2條C.3條D.4條正確答案：B[解析]得x=0為鉛直漸近線；由得為水平漸近線，顯然該曲線沒有斜漸近線，又因?yàn)閤→1及x→-2時(shí)，函數(shù)值不趨于無窮大，故共有兩條漸近線，應(yīng)選B．

2.

函數(shù)f(x)=x3-3x+k只有一個(gè)零點(diǎn)，則k的范圍為______．A.|k|＜1B.|k|＞1C.|k|＞2D.k＜2正確答案：C[解析]

令f'(x)=3x2-3=0，得x=±1，f"(x)=6x，

由f"(-1)=-6＜0，得x=-1為函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為f(-1)=2+k，

由f"(1)=6＞0，得x=1為函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為f(1)=-2+k，

因?yàn)閒(x)=x3-3x+k只有一個(gè)零點(diǎn)，所以2+k＜0或-2+k＞0，故|k|＞2，選C．

3.

設(shè)f(x)在x=0的鄰域內(nèi)有定義，f(0)=1，且，則f(x)在x=0處______．A.可導(dǎo)，且f'(0)=0B.可導(dǎo)，且f'(0)=-1C.可導(dǎo)，且f'(0)=2D.不可導(dǎo)正確答案：B[解析]

而

所以，選B．

4.

設(shè)，則在x=a處______．A.f(x)在x=a處可導(dǎo)且f'(a)≠0B.f(a)為f(x)的極大值C.f(a)不是f(x)的極值D.f(x)在x=a處不可導(dǎo)正確答案：B[解析]由，根據(jù)極限的保號(hào)性，存在δ＞0，當(dāng)0＜|x-a|＜δ時(shí)，有，從而有f(x)＜f(a)，于是f(a)為f(x)的極大值，選B．

5.

設(shè)函數(shù)f(x)在|x|＜δ內(nèi)有定義且|f(x)|≤x2，則f(x)在x=0處______．A.不連續(xù)B.連續(xù)但不可微C.可微且f'(0)=0D.可微但f'(0)≠0正確答案：C[解析]顯然f(0)=0，且，所以f(x)在x=0處連續(xù)．

又由得，根據(jù)夾逼定理得，即f'(0)=0，選C．

6.

設(shè)，其中g(shù)(x)為有界函數(shù)，則f(x)在x=0處______．A.極限不存在B.極限存在，但不連續(xù)C.連續(xù)，但不可導(dǎo)D.可導(dǎo)正確答案：D[解析]因?yàn)椋?，所以f(x)在x=0處連續(xù)；

，即f'+(0)=0，

，即f'-(0)=0，

因?yàn)閒'+(0)=f'-(0)=0，所以f(x)在x=0處可導(dǎo)，應(yīng)選D．

7.

設(shè)f(x)連續(xù)，且，則______．A.f(x)在x=0處不可導(dǎo)B.f(x)在x=0處可導(dǎo)且f'(0)≠0C.f(x)在x=0處取極小值D.f(x)在x=0處取極大值正確答案：D[解析]由得f(0)=1，

由極限的保號(hào)性，存在δ＞0，當(dāng)0＜|x|＜δ時(shí)，，即f(x)＜1=f(0)，

故x=0為f(x)的極大點(diǎn)，應(yīng)選D．

8.

設(shè)f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則______．A.x=1為f(x)的極大點(diǎn)B.x=1為f(x)的極小點(diǎn)C.(1，f(1))為y=f(x)的拐點(diǎn)D.x=1不是f(x)的極值點(diǎn)，(1，f(1))也不是y=f(x)的拐點(diǎn)正確答案：C[解析]由及f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)得f"(1)=0；

因?yàn)?，所以由極限保號(hào)性，存在δ＞0，當(dāng)0＜|x-1|＜δ時(shí)，，從而

故(1，f(1))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，應(yīng)選C．

9.

設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，f'(0)=0，且，則______．A.x=0為f(x)的極大點(diǎn)B.x=