考研數(shù)學(xué)二分類模擬題21

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題21解答題1.

證明：正確答案：[證明]令f(0)=0．

方法一

由得則x=0為f(x)的最小值點，而最小值為f(0)=0，故f(x)≥0，即

方法二令，得x=0，因為，所以x=0為f(x)的最小值點，最小值為f(0)=0，所以有

2.

證明方程x+p+qcosx=0有且僅有一個實根，其中p，q為常數(shù)，且0＜q＜1．正確答案：[證明]令f(x)=x+p+qcosx，因為f'(x)=1-qsinx＞0，所以f(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)增加，又因為，所以f(x)有且僅有一個零點，即原方程有且僅有一個實根．

3.

證明方程內(nèi)有且僅有兩個根．正確答案：[證明]，令，令，得x=e，因為，所以為f(x)的最大值，又因為，，所以f(x)=0在(0，+∞)內(nèi)有且僅有兩個實根．

4.

設(shè)k＞0，討論常數(shù)k的取值，使f(x)=xlnx+k在其定義域內(nèi)沒有零點、有一個零點及兩個零點．正確答案：[解]f(x)的定義域為(0，+∞)，

由f'(x)=lnx+1=0，得駐點為，由，得為f(x)的極小值點，也為最小值點，最小值為

(1)當(dāng)時，函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)沒有零點；

(2)當(dāng)時，函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)有唯一零點；

(3)當(dāng)時，函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)有兩個零點，分別位于與內(nèi)．

5.

設(shè)，討論f(x)的單調(diào)性，凹凸性，拐點，水平漸近線．正確答案：[證明]因為，所以f(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)增加．

因為，當(dāng)x＜0時，f"(x)＞0；當(dāng)x＞0時，f"(x)＜0，則y=f(x)在(-∞，0)的圖形是凹的，y=f(x)在(0，+∞)內(nèi)是凸的，(0，0)為y=f(x)的拐點．

因為f(-x)=-f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)．

由得與為曲線y=f(x)的兩條水平漸近線．

6.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(a＞0)，且f(a)=0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得正確答案：[證明]令φ(x)=(b-x)af(x)，顯然φ(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，因為φ(a)=φ(b)=0，所以由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ'(ξ)=0，

由φ'(x)=(b-x)a-1[(b-x)f'(x)-af(x)]得(b-ξ)a-1[(b-ξ)f'(ξ)-af(ξ)]且(b-ξ)a-1≠0，故

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，證明：7.

存在ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)=2ξf(ξ)．正確答案：[證明]令φ(x)=e-x2f(x)，因為f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，

由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ'(ξ)=0，

而φ'(x)=e-x2[f'(x)-2xf(x)]且e-x2≠0，故f'(ξ)=2ξf(ξ)．

8.

存在η∈(a，b)，使得ηf'(η)+f(η)=0．正確答案：令φ(x)=xf(x)，因為f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，

由羅爾定理，存在η∈(a，b)，使得φ'(η)=0，

而φ'(x)=xf'(x)+f(x)，故ηf'(η)+f(η)=0．

9.

設(shè)f(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在ξ∈(1，2)，使得ξf'(ξ)-f(ξ)=f(2)-2f(1)．正確答案：[證明]令

則φ(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，且φ(1)=φ(2)=f(2)-f(1)，

由羅爾定理，存在ξ∈(1，2)，使得φ'(ξ)=0，

而，故ξf'(ξ)-f(ξ)=f(2)-2f(1)．[解析]由xf'(x)-f(x)=f(2)-2f(1)得，從而，輔助函數(shù)為

10.

設(shè)f(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，且f'(x)≠0，證明：存在ξ，η，ζ∈(1，2)，使得正確答案：[證明]令F(x)=lnx，，由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得即

由拉格朗日中值定理得，其中η∈(1，2)，f(2)-f(1)=f'(ζ)(2-1)=f'(ζ)，其中ζ∈(1，2)，

故．

11.

證明：當(dāng)x＞1時，正確答案：[證明]令f(x)=(1+x)ln(1+x)-xlnx，f(1)=2ln2＞0，

因為

所以f(x)在[1，+∞)上單調(diào)增加，

再由f(1)=2ln2＞0得當(dāng)x＞1時，f(x)＞0，即[解析]當(dāng)x＞1時，等價于(1+x)ln(1+x)-xlnx＞0．

12.

證明：當(dāng)x＞0時，正確答案：[證明]令

因為，所以f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，

又因為，所以，即

13.

證明：當(dāng)0＜x＜1時，正確答案：[證明]令，f(0)=0，

，

由得當(dāng)0＜x＜1時，f(x)＞0，故．[解析]等價于，

14.

當(dāng)時，證明：正確答案：[證明]令f(x)=x-sinx，f(0)=0．

f'(x)=1-cosx＞0，

由得

，即當(dāng)時，sinx＜x；

令，g(0)=0，．

由得g(x)在內(nèi)為凸函數(shù)．

由得

，即當(dāng)時，，故當(dāng)時，．

15.

設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(x)＜1，證明：在(0，1)有且僅有一個根．正確答案：[證明]令，φ(0)=-1，，

因為f(x)＜1，所以，從而φ(0)φ(1)＜0，由零點定理，存在c∈(0，1)，使得φ(c)=0．

因為φ'(x)=2-f(x)＞0，所以φ(x)在[0，1]上單調(diào)增加，故方程有且僅有一個根．

16.

求曲線的上凸區(qū)間．正確答案：[解]，

，

由y"＜0得(x-3)2-1＜0，解得2＜x＜4，

故曲線的上凸區(qū)間為(2，4)．

17.

求曲線的斜漸近線．正確答案：[解]得

曲線的斜漸近線為y=2x-11．

18.

求的漸近線．正確答案：[解]因為，所以y=f(x)沒有水平漸近線，

由得x=0為鉛直漸近線，

由得x=2為鉛直漸近線，

由，

得y=x+3為斜漸近線．

19.

證明：當(dāng)x＞0時，正確答案：[證明]令φ(t)=ln(x+t)，由拉格朗日中值定理得

由得．

20.

設(shè)0＜a＜1，證明：方程arctan=ax在(0，+∞)內(nèi)有且僅有一個實根．正確答案：[證明]令f(x)=arctanx-ax，由得，

由得為f(x)的最大點，

由，f(0)=0得方程arctanx=ax在(0，+∞)內(nèi)有且僅有唯一實根，位于內(nèi)．

21.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(a＞0)，證明：存在ξ∈(a，b)，使得

正確答案：[證明]令F(x)=lnx，，

由柯西中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得，

即，整理得．

22.

設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，證明：存在ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)+f(ξ)g'(ξ)=0．正確答案：[證明]令φ(x)=f(x)eg(x)，

由f(a)=f(b)=0得φ(a)=φ(b)=0，則存在ξ∈(a，b)，使得φ'(ξ)=0，

因為φ'(x)=eg(x)[f'(x)+f(x)g'(x)]且eg(x)≠0，所以f'(ξ)+f(ξ)g'(ξ)=0．

設(shè)f(x)在[0，3]上連續(xù)，在(0，3)內(nèi)二階可導(dǎo)，且

證明：23.

ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f'(ξ1)=f'(ξ2)=0．正確答案：[證明]令，F(xiàn)'(x)=f(x)，，其中0＜c＜2．

因為f(x)在[2，3]上連續(xù)，所以f(x)在[2，3]上取到最小值m和最大值M，，

由介值定理，存在x0∈[2，3]，使得，即f(2)+f(3)=2f(x0)，于是f(0)=f(c)=f(x0)，

由羅爾定理，存在，使得f'(ξ1)=f'(ξ2)=0．

24.

存在ξ∈(0，3)，使得f"(ξ)-2f'(ξ)=0．正確答案：[證明]令φ(x)=e-2xf'(x)，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，

由羅爾定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(0，3)，使得φ'(ξ)=0，而φ'(x)=e-2x[f"(x)-2f'(x)]且e-2x≠0，故f"(ξ)-2f'(ξ)=0．

設(shè)f(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)≠0(1＜x＜2)，又存在，證明：25.

存在ξ∈(1，2)，使得正確答案：[證明]令h(x)=lnx，，且F'(x)=f(x)≠0，

由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得，即

26.

存在η∈(1，2)，使得正確答案：[證明]由得f(1)=0，

由拉格朗日中值定理得f(ξ)=f(ξ)-f(1)=f'(η)(ξ-1)，其中1＜η＜ξ，

故．

27.