考研數(shù)學(xué)二分類模擬題87

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題87一、填空題1.

函數(shù)y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex-xy2=0所確定，則正確答案：．[解析]等式sin(x2+y2)+ex-xy2=0兩邊對x求導(dǎo)得

2cos(x2+y2)(x+yy')+ex-y2-2xyy'=0，

則

2.

設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程ln(x2+y)=x3y+sinx確定，則正確答案：1．[解析]兩邊同時對x求導(dǎo)，并將x=0代入求導(dǎo)所得式子即可．

由原方程知，x=0時，y=1，代入上式，得y'|x=0=1．

3.

設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程2xy=x+y所確定，則dy|x=0=______．正確答案：(ln2-1)dx．[解析]等式兩邊同時求微分得

2xy(ydx+xdy)ln2=dx+dy．

由原方程知，當x=0時，y=1，并代入上式得

ln2dx-dx=dy，

即dy|x=0=(ln2-1)dx．

也可先求出y'|x=0(原方程兩邊對x求導(dǎo))．

4.

設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程y=1-xey確定，則正確答案：-e．[解析]將x=0代入方程y=1-xey可得y=1．等式兩端對x求導(dǎo)得

y'=-ey-xeyy'，

將x=0，y=1代入上式，得

5.

設(shè)y=y(x)是由方程xy+ey=x+1確定的隱函數(shù)，則正確答案：-3．[解析]當x=0時，由原方程得y(0)=0．在方程xy+ey=x+1兩邊對x求導(dǎo)得

y+xy'+eyy'=1，

①

代入x=0，y(0)=0，便有y'(0)=1．

在①式兩邊再次對x求導(dǎo)，得

2y'+xy"+eyy"+ey(y')2=0，

代入x=0，y(0)=0，y'(0)=1，得y"(0)=-3．

6.

設(shè)y=y(x)是由方程x2-y+1=ey所確定的隱函數(shù)，則正確答案：1．[解析]將x=0代入x2-y+1=ey，可得到y(tǒng)|x=0=0．

在x2-y+1=ey兩邊對x求導(dǎo)，得

①

將x=0，y=0代入上式，可得

在①式兩邊再對x求導(dǎo)，得

將x=0，y=0，代入上式，則可解得

7.

設(shè)函數(shù)，則y=f(x)的反函數(shù)x=f-1(y)在y=0處的導(dǎo)數(shù)=______．正確答案：．[解析]由題設(shè)，可得x|y=0=-1．

根據(jù)反函數(shù)求導(dǎo)法則，有

8.

設(shè)其中f可導(dǎo)，且f'(0)≠0，則正確答案：3．[解析]

9.

設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程所確定，則正確答案：．[解析]

10.

設(shè)正確答案：48．[解析]由參數(shù)式求導(dǎo)法

再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得

11.

y=2x的麥克勞林公式中xn項的系數(shù)是______．正確答案：．[解析]解法1

(2x)(n)|x=0=2x(ln2)n|x=0=(ln2)n，于是所求系數(shù)為．

解法2

利用泰勒展開

12.

設(shè)函數(shù)，則y(n)(0)=______．正確答案：．[解析]解法1

解法2

利用泰勒展開由泰勒展開系數(shù)的唯一性，得．

13.

函數(shù)y=ln(1-2x)在x=0處的n階導(dǎo)數(shù)y(n)(0)=______．正確答案：-2n(n-1)!．[解析]解法1

由于

一般地有y(n)=-2n(n-1)!(1-2x)-n，

所以

y(n)(0)=-2n(n-1)!．

解法2

利用泰勒展開，由泰勒展開系數(shù)的唯一性，得，故．

14.

函數(shù)f(x)=x22x在x=0處的n階導(dǎo)數(shù)f(n)(0)=______．正確答案：n(n-1)(ln2)n-2(n=1，2，3，…)．[解析]解法1

用求函數(shù)乘積的n階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式．

其中．注意(x2)(k)|x=0=0(k≠2)，，于是

f'(0)=0，

因此f(n)(0)=n(n-1)(ln2)n-2(n=1，2，3，…)．

解法2

利用泰勒展開，由泰勒展開系數(shù)的唯一性，得，故，n=2，3，…．

二、解答題1.

求由方程2y-x=(x-y)ln(x-y)所確定的函數(shù)y=y(x)的微分dy．正確答案：解

對方程兩邊求微分，

結(jié)合題中所給方程，可得

2.

設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程y=xey=1所確定，求的值．正確答案：解

方程兩邊對x求導(dǎo)得

y'ey-xeyy'=0，

上式兩邊再對x求導(dǎo)得

y"-eyy'-(eyy'+xeyy'2+xeyy")=0．

由題設(shè)知x=0時y=1，代入上面兩式解得y'(0)=e，y"(0)=2e2，

即

3.

設(shè)y=f(x+y)，其中f具有二階導(dǎo)數(shù)，且其一階導(dǎo)數(shù)不等于1，求．正確答案：解

y'=(1+y')f'，故，y"(1+y')2f"+y"f'，

所以

4.

設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程xef(y)=ey確定，其中f具有二階導(dǎo)數(shù)，且f'≠1，求．正確答案：解

方程兩邊取對數(shù)，得lnx+f(y)=y，從而求得

5.

已知函數(shù)f(u)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f'(0)=1，函數(shù)y=y(x)由方程y-xey-1=1所確定．設(shè)z=f(lny-sinx)，求正確答案：解

在y-xey-1=1中，令x=0，得y=1．

在y-xey-1=1兩邊對x求導(dǎo)，得

因為

故

又

所以

6.

設(shè)函數(shù)y=y(x)在(-∞，+∞)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù)．

試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程；正確答案：解

代入原方程，得

y"-y=sinx．

7.

設(shè)正確答案：解

因，故

8.

已知正確答案：解

因為，所以

9.

設(shè)正確答案：解

10.

設(shè)其中f(u)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(u)≠0，求．正確答案：解

因為，所以

11.

設(shè)函數(shù)y=y(x)由所確定，求．正確答案：解

由

因而

12.

設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程所確定，求正確答案：解

由

得

所以

當x=9時，由x=1+2t2及t＞1得t=2，故

13.

設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程確定，其中x(t)是初值問題的解，求．正確答案：解

由得exdx=2tdt，積分并由條件x|t=0=0，得ex=1+t2，即x=ln(1+t2)．

設(shè)函數(shù)14.

寫出f(x)的反函數(shù)g(x)的表達式；正確答案：解

15.

g(x)是否有間斷點、不可導(dǎo)點?若有，指出這些點．正確答案：解

g(x)在(-∞，+∞)內(nèi)處處連續(xù)，沒有間斷點．利用導(dǎo)數(shù)的定義容易驗證，g(x)的不可導(dǎo)點是x=0及x=-1．

16.

設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，，且(A為常數(shù))，求φ'(x)并討論φ'(x)在x=0處的連續(xù)性．正確答案：解

由題設(shè)，知f(0)=0，φ(0)=0．令u=xt，得

從而

由導(dǎo)數(shù)定義有

由于

從而知φ'(x)在點x=0處連續(xù)．[解析]通過變換將φ(x)化為積分上限函數(shù)的形式，此時x≠0，但根據(jù)知f(0)=0，從而，由此，利用積分上限函數(shù)的求導(dǎo)法則、導(dǎo)數(shù)在一點處的定義以及函數(shù)連續(xù)的定義來判定φ'(x)在x=0處的連續(xù)性．

本題是一道綜合性試題，主要涉及變限積分函數(shù)求導(dǎo)、分段函數(shù)求導(dǎo)及連續(xù)性的判定(極限值等于函數(shù)值)，不少考生不能正確表達出φ(x)的表達式，尤其是