考研數(shù)學(xué)二模擬389

考研數(shù)學(xué)二模擬389一、選擇題每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.

設(shè)是正整數(shù)，則A.F(x)是奇函數(shù)．B.F(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)遞增．C.F(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)遞減．D.F(x)是以2π為周期的函數(shù)．正確答案：D[解析一]已知f(x)在[-a，s]連續(xù)為奇函數(shù)，則在[-a，a]為偶函數(shù)．

于是

為偶函數(shù)．

F'(x)=sin2n+1x在(-∞，+∞)變號(hào)，因而F(x)在(-∞，+∞)不單調(diào)．

選項(xiàng)A、B、C被排除，選D．

[解析二]已知：f(x)在(-∞，+∞)連續(xù)，以T為周期，

則以T為周期

這里f(x)=sin2n+1x連續(xù)，以2π為周期，

因此以2π為周期．

2.

由下列四個(gè)條件

①f(x)=(x-a)φ(x)，其中φ(x)在x=a連續(xù)．

②f(x)=|x-a|φ(x)，其中φ(x)在x=a連續(xù)且φ(a)≠0.

③存在δ＞0，使對(duì)任意x∈(a-δ，a+δ)，有|f(x)|≤L|x-a|λ，其中λ＞1為常數(shù)．

④存在．

能分別推出f'(a)存在的條件是A.①，④．B.①，③．C.①，③，④．D.①，②，③，④．正確答案：B[解析]由①可推出f'(a)存在，因?yàn)橛散儆校?/p>

故f'(a)=φ(a)．

由②不能推出f'(a)存在，由導(dǎo)數(shù)定義可得：

f'+(a)=φ(a)，f'-(a)=-φ(a)．

因?yàn)棣?a)≠0，所以有f'+(a)≠f'-(a)，故f'(a)不存在．

由③可推出f'(a)存在，因?yàn)樵诓坏仁街腥=a，知f(a)=0，故當(dāng)λ＞1時(shí)，有

于是即f'(a)=0.

由④不能推出f'(a)存在，例如：則f(x)在x=0處不連續(xù)，因此f(x)在x=0不可導(dǎo)，

但是存在．故應(yīng)選B．

3.

把當(dāng)x→0時(shí)的無(wú)窮小量α=4x2+5x3-x5，β=ln(1+x3)-ln(1-x3)，排列起來(lái)，使排在后面的是前一個(gè)的高階無(wú)窮小，則正確的排列次序是A.γ，α，β．B.α，β，γ．C.α，γ，β．D.γ，β，α．正確答案：B[解析]我們分別確定當(dāng)x→0時(shí)α，β，γ分別是x的幾階無(wú)窮?。?dāng)x→0時(shí)

因此α，β，γ當(dāng)x→0時(shí)分別2，3，4階無(wú)窮小，正確的排列次序是B．

選B．

①x→a時(shí)α，β分別是x-a的n階與m階無(wú)窮小，n＜m，則α+β是x-a的n階無(wú)窮小，若n=m，則α+β是x-a的n階或高于n階的無(wú)窮小，如x→0時(shí)，x，sinx均是x的一階無(wú)窮小，但x-sinx是x的3階無(wú)窮?。?/p>

②ln(1+x3)與ln(1-x3)均是x的3階無(wú)窮小，我們不能立即看出

β=ln(1+x3)-ln(1-x3)

是x的幾階無(wú)窮?。松鲜鼋夥ㄍ猓覀円部捎锰├展絹?lái)確定β的階：

β=[1+x3+o(x3)]-[1-x3+o(x3)]=2x3+o(x3)～2x3即β是x的3階無(wú)窮?。?/p>

③x→0時(shí)

④當(dāng)然我們也可把無(wú)窮小α，β，γ兩兩進(jìn)行比較，看誰(shuí)的階高．如

若判斷出β比α高階后，去比較α與γ：

比α高階．此時(shí)還須比較γ與β．

因此解這類題目，還是分別確定無(wú)窮小α，β，γ的階數(shù)更方便些．

4.

下列函數(shù)中在區(qū)間[-2，3]上不存在原函數(shù)的是

A．

B．f(x)=max{|x|，1}．

C．

D．正確答案：C[解析一]我們知道連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)，若這四個(gè)函數(shù)中有三個(gè)是連續(xù)的，則剩下的一個(gè)就被選中．

A項(xiàng)存在原函數(shù)．顯然，x≠0時(shí)f(x)連續(xù)，又因

在x=0連續(xù)．因此f(x)在[-2，3]上連續(xù)，故存在原函數(shù)．

B項(xiàng)存在原函數(shù)．因?yàn)?/p>

在[-2，3]連續(xù)，故存在原函數(shù)．

D項(xiàng)存在原函數(shù)．因?yàn)間(x)在[-2，3]有界，除x=1外連續(xù)

在[-2，3]可積在[-2，3]連續(xù)

在原函數(shù)．因此選C．

[解析二]直接證明C項(xiàng)不原函數(shù)．

顯然，x≠0時(shí)f(x)連續(xù)．由

是f(x)的第一類間斷點(diǎn)在[-2，3]不原函數(shù)．因此應(yīng)選C．

f(x)在[a，b]連續(xù)在[a，b]一定原函數(shù)．若f(x)在[a，b]有不連續(xù)點(diǎn)，f(x)在[a，b]不一定原函數(shù)．但是，若c∈(a，b)，f(x)在[a，b]除x=c外連續(xù)，x=c是f(x)的第一類間斷點(diǎn)，則f(x)在[a，b]不原函數(shù)．

5.

設(shè)α＞0是常數(shù)，則f(x)在(0，π)A.無(wú)零點(diǎn)．B.只有一個(gè)零點(diǎn)．C.恰有兩個(gè)零點(diǎn)．D.零點(diǎn)的個(gè)數(shù)隨a取值不同而變化．正確答案：B[解析]顯然，f(x)在(0，π)連續(xù)．先考察

及

由連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理在(0，π)存在零點(diǎn)．

再求

在(0，π)單調(diào)下降．因此f(x)在(0，π)只有一個(gè)零點(diǎn)．選B．

6.

點(diǎn)(0，0)是f(x，y)=x3-4x2+2xy-y2在區(qū)域D={(x，y)|-2≤x≤4，-1≤y≤1}內(nèi)的唯一駐點(diǎn)A.但不是極值點(diǎn)．B.且是極小值點(diǎn)．C.且是極大值點(diǎn)，但不是D的最大值點(diǎn)．D.且是極大值點(diǎn)，也是D的最大值點(diǎn)．正確答案：C[解析]先求駐點(diǎn)，解方程組

得(x，y)=(0，0)，(2，2)，點(diǎn)(2，2)不屬于D，因而(0，0)是f(x，y)在D內(nèi)唯一駐點(diǎn)．

再看(0，0)是否極值點(diǎn)，求

在(0，0)處

AC-B2＞0，A＜0

是極大值點(diǎn)，

f(4，1)=43-4·42+2·4·1-12=7＞f(0，0)=0

不是f(x，y)在區(qū)域D的最大值點(diǎn)．

因此選C

①此例說(shuō)明多元函數(shù)與一元函數(shù)的一個(gè)區(qū)別：對(duì)于連續(xù)的多元函數(shù)的唯一的極值點(diǎn)不一定是最值點(diǎn)．

②在解多元函數(shù)應(yīng)用型最值問(wèn)題時(shí)，求得駐點(diǎn)后不必判斷該駐點(diǎn)是否極值點(diǎn)．

7.

設(shè)

則不能相似于對(duì)角矩陣的是A.A．B.B．C.C．D.D．正確答案：D[解析]C是對(duì)稱矩陣必和對(duì)角矩陣相似．

矩陣A的特征值是1，2，3，有3個(gè)不同的特征值必和對(duì)角矩陣相似．

矩陣B的特征值是3，3，-1，特征值有重根，但λ=3有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故和對(duì)角矩陣相似．

矩陣D的特征值是2，0，0，特征值有重根，但λ=0時(shí)(0E-D)x=0只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，

亦即λ=0只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故D不能相似對(duì)角化．

8.

已知多項(xiàng)式，則其x4的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)依次為A.1，40.B.0，40.C.0，-40.D.1，-40.正確答案：C[解析]由于行列式是不同行不同列元素乘積的代數(shù)和，現(xiàn)在第四行元素中沒有x項(xiàng)，因此多項(xiàng)式f(x)中不存在x4項(xiàng)，其系數(shù)必為0.

而常數(shù)項(xiàng)是由不含x的項(xiàng)所得，故令x=0，有

二、填空題1.

數(shù)列極限正確答案：[解析]求轉(zhuǎn)化為求

2.

函數(shù)的麥克勞林公式中x4項(xiàng)的系數(shù)是______．正確答案：-2[解析一]先作分解與恒等變形將y化簡(jiǎn)，則有

由得

y=1+(2x+2x2)[1-x3+o(x3)]=1+2x+2x2-2x4+o(x4)

于是x4項(xiàng)的系數(shù)是-2.

[解析二]利用的泰勒公式，將y按變量x的正整數(shù)冪展開到含x4項(xiàng)為此，則有

于是x4項(xiàng)的系數(shù)是-2.

[解析三]的麥克勞林公式中x4項(xiàng)的系數(shù)等同于的麥克勞林公式中x3項(xiàng)的系數(shù)．可利用求乘積的n階導(dǎo)數(shù)公式，求出g(3)(0)，然后求得x3項(xiàng)系數(shù)．

因此g(x)的麥克勞林公式中x3項(xiàng)即y的麥克勞林公式中x4項(xiàng)的系數(shù)是-2.

3.

設(shè)質(zhì)點(diǎn)P在直角坐標(biāo)系oxy的y軸上作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為c，定點(diǎn)A在x軸上x=a＞0處，記AP之長(zhǎng)為l，則直線段AP的角速度與l2之積為______．正確答案：ca．[解析]令P的坐標(biāo)為(0，y)，直線段AP與x軸夾角為θ，則

兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)得

因此

4.

設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，則F'(3)=______．正確答案：6f(3)[解析]是變限積分，被積函數(shù)含有參變量t且還是變限積分，不能直接用變限積分函數(shù)求導(dǎo)公式，要設(shè)法轉(zhuǎn)化為純變限積分函數(shù)的求導(dǎo)．

分析一

(交換積分順序)

設(shè)t＞1.F(t)是某區(qū)域D上xf(x)的二重積分的一個(gè)累次積分：

由累次積分限知，D：1≤y≤t，y≤x≤t(t＞1為常數(shù))，

如圖所示，現(xiàn)改為先y后x的積分順序

分析二

(分部積分法)

5.

微分方程xdy-ydx=y2eydy的通解是______．正確答案：x=Cy-yey[解析]對(duì)x是一次的，改寫成

以y為自變量，這是一階線性的，兩邊乘，得

積分得

通解為x=Cy-yey．

6.

設(shè)α=(1，0，1)T，β=(0，1，-1)T，，A=P-1αβTP，則A2017=______．正確答案：[解析]

又B2=(αβT)(αβT)=α(βTα)βT=-αβT=-B

遞推地，B2017=(-1)2016B=B

故A2017=(P-1BP)2017=PQB2017P=P-1BP

注意

是初等矩陣，關(guān)于初等矩陣注意左乘右乘，以及其逆矩陣的公式．

三、解答題15～23小題，共94分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．設(shè)1.

求f(x)的表達(dá)式．正確答案：[解]由定積分的幾何意義知

用分段積分法求f(x)表達(dá)式中的另一積分．

當(dāng)0＜x＜1時(shí)

當(dāng)x≥1時(shí)

于是

2.

求f(x)在(0，+∞)的最小值點(diǎn)．正確答案：[解]為求f(x)在(0，+∞)上的最小值點(diǎn)，先求f'(x)．

在在在(0，+∞)的最小值點(diǎn)是

3.

f(x)在(0，+∞)有無(wú)最大值?為什么?正確答案：[解]當(dāng)x＞1時(shí)于是

所以f(x)在(0，+∞)不存在最大值．

設(shè)f(x)在(-∞，+∞)連續(xù)，且求證：4.

F(x)在(-∞，+∞)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)；正確答案：[證明]改寫

由變限積分的性質(zhì)，可導(dǎo)性及連續(xù)性運(yùn)算法則可知，當(dāng)x≠0則

連續(xù)．又

即F(x)在x=0連續(xù)．

在x=0連續(xù)．

因此，F(xiàn)'(x)在(-∞，+∞)連續(xù)．

5.

若f(x)在(-∞，+∞)單調(diào)遞增，則F(x)在(-∞，0]單調(diào)遞增，在[0，+∞)單調(diào)遞減．正確答案：[證明]由題(Ⅰ)，x≠0時(shí)

其中

于是

F'(x)＜0(x＞0)，F(xiàn)'(x)＞0(x＜0)，F(xiàn)'(0)=0.

因此，F(xiàn)(x)在[解析]證明F'(x)在x=0連續(xù)時(shí)用了如下結(jié)論：設(shè)F(x)在x=x0連續(xù)，在x=x0空心鄰域可導(dǎo)且

則F'(x0)=A(F'(x)在x=x0也就連續(xù)了)．

因此我們?cè)谠擃}中先證F(x)在x=0連續(xù)，又求得

從而F'(0)=0，F(xiàn)'(x)在x=0連續(xù)．

當(dāng)然，我們也可以先求

然后再求得

同樣證得F'(x)在x=0連續(xù)．

設(shè)曲線(正整數(shù)n≥1)在第一象限與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積為I(n)，證明：6.

正確答案：[證明]曲線表為，按面積公式得

令則x=t2n，于是

7.

正確答案：[證明]對(duì)上式中的I(n)表達(dá)式，令t=sinθ，則有

由連續(xù)函數(shù)定積分比較性質(zhì)可得

設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)8.

求初值問(wèn)題的解y=φ(x)；正確答案：[解]特征方程λ2+4=0的特征根是的通解是

y=C1cos2x+C2sin2x．

由

由

因此該初值問(wèn)題的解

9.

求證是初值問(wèn)題的解；正確答案：[解]將代入y(x)表達(dá)式得

下證y(x)滿足方程與初值，就要計(jì)算y'(x)與y"(x)、y(x)是由變限積分定義的函數(shù)，由于被積函數(shù)含參變量x，故先作變量替換

雖然其中被積函數(shù)還含參變量x，但含于正弦函數(shù)中，可將它展開后，含參變量x的函數(shù)可提出積分號(hào)外

現(xiàn)可用變限積分求導(dǎo)法得

將①式與③式兩式相加得

y"+4y=(sin22x+cos22x)f(x)=f(x)

在①，②式中令x=0，得

y(0)=0，y'(0)=0.

10.

求y"+4y=f(x)的通解．正確答案：[解]由二階線性非齊次方程通解的結(jié)構(gòu)，并由題(Ⅰ)與題(Ⅱ)知，y"+4y=f(x)的通解是

證明下列結(jié)論：11.

設(shè)f(x，y)定義在全平面上，且則f(x，y)恒為常數(shù)．正確答案：[證明]即證轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的相應(yīng)問(wèn)題．由于

因此即f(x，y)恒為常數(shù)．

12.

設(shè)u(x，y)，v(x，y)定義在全平面上，且滿足

則u(x，y)，v(x，y)恒為常數(shù)．正確答案：[證明]由所給條件，我們將證明

由

將代入上式

作為的方程組，其系數(shù)行列式

若若為常數(shù)．

同理可證v(x，y)為常數(shù)．

13.

計(jì)算二重積分

其中積分區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤1}．正確答案：[解]被積函數(shù)分塊表示：

要用分塊積分法，將D分為兩塊D1與D2：

(因?yàn)辄c(diǎn)至原點(diǎn)的距離所以圓域全在區(qū)域D內(nèi))

D2=D\D1，于是D=D1∪D2，

D2上積分不易計(jì)算，將它轉(zhuǎn)化為求D與D1上積分之差，

代入上式得

其中

D1是圓域：作平移變換

則

再作極坐標(biāo)變換：

(D關(guān)于x，y軸均對(duì)稱，而x與y都是奇函數(shù)，故)

因此

14.

求證：(n＞1為自然數(shù))．正確答案：[證明]把證明數(shù)列不等式轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)不等式，可以用微分學(xué)的方法．

令則

為了確定f'(x)的符號(hào)，考察

于是

因此f(n)＞0(n＞1)，即

15.

已知α1，α2，β1，β2均是3維向量，且α1，α2線性無(wú)關(guān)，β1，β2線性無(wú)關(guān)，證明存在非零向量γ，使得γ既可由α1，α2線性表出，又可由β1，β2線性表出．

當(dāng)時(shí)，求出所有的向量γ．正確答案：[證]4個(gè)3維向量α1，α2，β1，β2必線性相關(guān)，故不全為0的k1，k2，l1，l2使