考研數(shù)學(xué)二模擬416

考研數(shù)學(xué)二模擬416一、選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.

下列無窮小中階數(shù)最高的是______．

A．ex-etanx

B．INCLUDEPICTUR（江南博哥）E\d":8089/YFB12/tu/1710/yjs/ky/s2411.B3E884.jpg"INET

C．ln(1+x)-sinx

D．正確答案：B[解析]ex-etanx=etanx(ex-tanx-1)～x-tanx，

因?yàn)?/p>

2.

下列命題正確的是______．

A．若f(x)在x0處可導(dǎo)，則一定存在δ＞0，在|x-x0|＜δ內(nèi)f(x)可導(dǎo)

B．若f(x)在x0處連續(xù)，則一定存在δ＞0，在|x-x0|＜δ內(nèi)f(x)連續(xù)

C．若存在，則f(x)在x0處可導(dǎo)

D．若f(x)在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，f(x)在x0處連續(xù)，且存在，則f(x)在x0處可導(dǎo)，且正確答案：D[解析]令由得f(x)在x=0處可導(dǎo)(也連續(xù))．

對任意的a≠0，因?yàn)椴淮嬖冢詅(x)在x=a處不連續(xù)，當(dāng)然也不可導(dǎo)，即x=0是f(x)唯一的連續(xù)點(diǎn)和可導(dǎo)點(diǎn)，A，B不對；

令顯然，因?yàn)?，所以f(x)在x=0處不連續(xù)，當(dāng)然也不可導(dǎo)，C不對；

因?yàn)閒(x)在x0處連續(xù)且在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，所以由微分中值定理有f(x)-f(x0)=f'(ξ)(x-x0)或者，其中ξ介于x0與x之間，兩邊取極限得存在，即f(x)在x0處可導(dǎo)，且，選D.

3.

下列說法中正確的是______．A.若f'(x0)＜0，則f(x)在x0的鄰域內(nèi)單調(diào)減少B.若f(x)在x0取極大值，則當(dāng)x∈(x0-δ，x0)時(shí)，f(x)單調(diào)增加，當(dāng)x∈(x0，x0+δ)時(shí)，f(x)單調(diào)減少C.f(x)在x0取極值，則f(x)在x0連續(xù)D.f(x)為偶函數(shù)f"(0)≠0，則f(x)在x=0處一定取到極值正確答案：D[解析]，當(dāng)(k∈N)時(shí)，f'(x)＞0f(x)在x=0的任意鄰域內(nèi)都不單調(diào)減少，A不對；，f(x)在x=0處取得極大值，但其在x=0的任一鄰域內(nèi)皆不單調(diào)，B不對；

f(x)在x=1處取得極大值，但f(x)在x=1處不連續(xù)；

由f"(0)存在，得f'(0)存在，又f(x)為偶函數(shù)，所以f'(0)=0，所以x=0一定為f(x)的極值點(diǎn)，選D.

4.

設(shè)δ＞0，f(x)在(-δ，δ)內(nèi)恒有f"(x)＞0，且|f(x)|≤x2，記，則有______．A.I=0B.I＞0C.I＜0D.不能確定正確答案：B[解析]因?yàn)閨f(x)|≤x2，所以f(0)=0，由|f(x)|≤x2，得，由迫斂定理得f'(0)=0．

由泰勒公式得

其中ξ介于0與x之間，

因?yàn)樵?-δ，δ)內(nèi)恒有f"(x)＞0，所以，選B．

5.

設(shè)f有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且f(x+y，x-y)=4(x2-xy-y2)，則xf'x(x，y)+yf'y(x，y)為______．A.2x2-8xy-2y2B.-2x2+8xy-2y2C.2x2-8xy+2y2D.-2x2+8xy+2y2正確答案：D[解析]令x+y=u，x-y=v，則，

于是由f(x+y，x-y)=4(x2-xy-y2)，得f(u，v)=4uv-u2+v2，

故f(x，y)=4xy-x2+y2，

xf'x(x，y)+yf'y(x，y)=x(4y-2x)+y(4x+2y)=-2x2+8xy+2y2，選D．

6.

設(shè)f(x)=x3-3x+k只有一個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是______．A.|k|＜1B.|k|＞1C.|k|＞2D.k＜2正確答案：C[解析]f(x)為三次函數(shù)，至少有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)不單調(diào)，故要使函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，必須極小值大于零或極大值小于零．由f'(x)=3(x2-1)=0，得駐點(diǎn)x-±1，且由圖形可知，x=-1為極大點(diǎn)，x=1為極小點(diǎn)．故f(-1)=2+k＜0k＜-2，f(1)=-2+k＞0k＞2，所以選C.

7.

設(shè)則B等于______.

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]

選C.

8.

設(shè)A=(α1，α2，α3，α4)為四階方陣，且α1，α2，α3，α4為非零向量組，設(shè)AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為(1，0，-4，0)T，則方程組A*X=0的基礎(chǔ)解系為______．A.α1，α2，α3B.α1+α3，α3，α4C.α1，α3，α4D.α1+α2，α2+2α4，α4正確答案：D[解析]由r(A)=3得r(A*)=1，則A*X=0的基礎(chǔ)解系由3個(gè)線性無關(guān)的解向量構(gòu)成．

由α1-4α3=0得α1，α3成比例，顯然A、B、C不對，選D．

二、填空題1.

設(shè)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，且，

則a=______．正確答案：1[解析]，由微分中值定理得f(x)-f(x-1)=f'(ξ)，其中x-1＜ξ＜x，則，于是e2a=e2，a=1．

2.

設(shè)f(x，y)為連續(xù)函數(shù)，改變?yōu)闃O坐標(biāo)的累次積分為正確答案：[解析]

3.

xy"-y'=x2的通解為______．正確答案：[解析]由xy"-y'=x2，得或者，則，由y'=x2+C1x，得原方程的通解為

4.

設(shè)，且F(u，v)連續(xù)可偏導(dǎo)，則正確答案：z[解析]兩邊對x求偏導(dǎo)，得，解得；

兩邊對y求偏導(dǎo)，得，解得，于是

5.

正確答案：[解析]

6.

設(shè)A為三階矩陣，A的三個(gè)特征值為λ1=-2，λ2=1，λ3=2，A*是A的伴隨矩陣，則A11+A22+A33=______.正確答案：-4[解析]因?yàn)锳的特征值為λ1=-2，λ2=1，λ3=2，所以A*的特征值為μ1=2，μ2=-4，μ3=-2，于是A11+A22+A33=tr(A*)=μ1+μ2+μ3=2-4-2=-4.

三、解答題共94分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1.

證明：當(dāng)x＜1且x≠0時(shí)，正確答案：[解]當(dāng)x＜0時(shí)，令f(x)=x+ln(1-x)-xln(1-x)，顯然f(0)=0，因?yàn)?/p>

所以f(x)在(-∞，0)上單調(diào)減少，所以當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＞f(0)=0，即x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0，于是

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，令f(x)=x+ln(1-x)-xln(1-x)，且f(0)=0，因?yàn)?/p>

所以f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)增加，于是f(x)＞f(0)=0，故．

2.

計(jì)算正確答案：[解]令x=tant，則

3.

設(shè)f"(x)∈C[a，b]，證明：存在ξ∈(a，b)，使得

正確答案：[解]令，則F'(x)=f(x)，且F'''(x)∈C[a，b]．由泰勒公式得

兩式相減，得

因?yàn)閒"(x)∈C[a，b]，所以f"(x)∈C[ξ1，ξ2]，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值定理，f"(x)在區(qū)間[ξ1，ξ2]上取得最小和最大值，分別記為m，M，則有

再由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](a，b)，使得，從而有

4.

設(shè)f(x)在R上可微且f(0)=0，又求∫f(x)dx．正確答案：[解]令u=lnx，則于是

因?yàn)閒(0)=0，所以

當(dāng)x≤0時(shí)，；當(dāng)x＞0時(shí)，．注意到f(x)連續(xù)，由C1=4+C2，得C2=C1-4，故

5.

設(shè)f(x)在(0，+∞)內(nèi)一階連續(xù)可微，且對滿足，又f(1)=0，求f(x)．正確答案：[解]令u=xt，則原方程變換為，兩邊對x求導(dǎo)得f(x)=2f(x)+f(x)+xf'(x)+3x2，整理得．此微分方程的通解為．由f(1)=0，得，所以．

6.

一個(gè)容器的內(nèi)表面?zhèn)让嬗汕€(0≤x≤2)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成，外表面由曲線在點(diǎn)的切線位于點(diǎn)與x軸交點(diǎn)之間的部分繞x軸旋轉(zhuǎn)而成，此容器材質(zhì)的密度為μ．求此容器自身的質(zhì)量M及其內(nèi)表面的面積S．正確答案：[解]

切線方程為，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0).

切線旋轉(zhuǎn)后的旋轉(zhuǎn)體體積為，曲線旋轉(zhuǎn)后的旋轉(zhuǎn)體的體積為．

此容器的質(zhì)量為

容器內(nèi)表面積為

7.

位于上半平面的上凹曲線y=y(x)過點(diǎn)(0，2)，在該點(diǎn)處的切線水平，曲線上任一點(diǎn)(x，y)處的曲率與及1+y'2之積成反比，比例系數(shù)求y=y(x)．正確答案：[解]根據(jù)題意得

令y'=p，則有解得，因?yàn)閜(2)=0，所以C1=0，故，進(jìn)一步解得，因?yàn)閥(0)=2，所以C2=0，故曲線方程為

設(shè)A是n階矩陣，證明：8.

r(A)=1的充分必要條件是存在n維非零列向量α，β，使得A=αβT；正確答案：[解]若r(A)=1，則A為非零矩陣且A的任意兩行成比例，即

于是

令，顯然α，β都不是零向量且A=αβT；

反之，若A=αβT，其中α，β都是n維非零列向量，則r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，又因?yàn)棣粒聻榉橇懔邢蛄?，所以A為非零矩陣，從而r(A)≥1，于是r(A)=1．

9.

r(A)=1且tr(A)≠0，證明A可相似對角化．正確答案：[解]因?yàn)閞(A)=1，所以存在非零列向量α，β，使得A=αβT，顯然tr(A)=(α，β)，因?yàn)閠r(A)≠0，所以(α，β)=k≠0．

令A(yù)X=λX，因?yàn)锳2=kA，所以λ2X=kλX，或(λ2-kλ)X=0，注意到X≠0，所以矩陣A的特征值為λ=0或λ=k．

因?yàn)棣?+λ2+…+λn=tr(A)=k，所以λ1=k，λ2=λ3=…=λn=0，由r(0E-A)=r(A)=1，得A一定可以對角化．

10.

設(shè)，B為三階非零矩陣，為BX=0的解向量，且AX=α3有解．

(1)求常數(shù)a，b的值；