2025千題百煉-高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題（二）：第60煉 三視圖-幾何體的面積問題含答案

2025千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題（二）：第60煉三視圖——幾何體的面積問題含答案第60煉三視圖——幾何體的面積問題一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、常見幾何體的表面積計(jì)算：（1）三角形面積：設(shè)的底為，高為，則（2）圓形面積：設(shè)圓的半徑為，則（3）圓柱的側(cè)面積：設(shè)圓柱底面半徑為，高為，則側(cè)面積為（4）圓錐的側(cè)面積：設(shè)圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則側(cè)面積為（5）圓臺(tái)的側(cè)面積：設(shè)圓臺(tái)上下底面半徑分別為，母線長(zhǎng)為，則側(cè)面積為（6）棱柱（棱錐，棱臺(tái)）的側(cè)面積：只需求出每個(gè)側(cè)面的面積并加在一起（7）球的面積：設(shè)球的半徑為，則球的表面積為2、軸截面：對(duì)于旋轉(zhuǎn)體（圓柱，圓錐，圓臺(tái)），用軸所在的平面去截幾何體，得到的截面稱為軸截面，軸截面的邊角關(guān)系與幾何體的一些要素向?qū)?yīng)。（1）圓柱：軸截面為矩形，其中矩形的長(zhǎng)對(duì)應(yīng)圓柱的底面直徑，矩形的高對(duì)應(yīng)橢圓的高（2）圓錐：軸截面為等腰三角形，其中等腰三角形的底對(duì)應(yīng)圓錐的底面直徑，高對(duì)應(yīng)圓錐的高，腰對(duì)應(yīng)圓錐的母線長(zhǎng)（3）圓臺(tái)：軸截面為等腰梯形，其中上底對(duì)應(yīng)圓臺(tái)上底面直徑，下底對(duì)應(yīng)下底面直徑，高對(duì)應(yīng)圓臺(tái)的高，腰對(duì)應(yīng)圓臺(tái)的母線3、三視圖解面積的步驟：（1）分析出所圍成的幾何體的特征（柱，錐，臺(tái)還是組合體）（2）確定所求幾何體由哪些面組成（3）根據(jù)圍成的面的特點(diǎn)，尋找可求出面積的要素，進(jìn)而求出面積（4）將各部分面積求和即可得到幾何體的表面積4、求表面積要注意的幾點(diǎn)：（1）三視圖中側(cè)面的高通常與某個(gè)視圖的邊相對(duì)應(yīng)。（2）圓錐和圓柱可利用軸截面的特點(diǎn)求出相關(guān)要素，例如已知圓錐的高和底面半徑，通過軸截面可求出圓錐的母線長(zhǎng)（3）當(dāng)幾何體被切割時(shí)，要注意截面也算在表面積之列。（4）如果幾何體是由多個(gè)簡(jiǎn)單幾何體拼接而成，要注意哪些面因拼接而含在幾何體之中，進(jìn)而在求表面積時(shí)不予考慮。二、典型例題：例1：一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸(單位：cm)，如圖所示，則該幾何體的側(cè)面積為_cm思路：通過三視圖可判斷出該幾何體為正四棱錐，所以只需計(jì)算出一個(gè)側(cè)面三角形的面積，乘4即為側(cè)面積。通過三視圖可得側(cè)面三角形的底為8（由俯視圖可得），高為5（左側(cè)面的高即為正視圖中三角形左腰的長(zhǎng)度），所以面積為，所以側(cè)面積為答案：80例2：一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為．思路：由三視圖可得該幾何體由一個(gè)半球和一個(gè)圓錐組成，其表面積為半球面積和圓錐側(cè)面積的和。球的半徑為3，所以半球的面積，圓錐的底面半徑為3，母線長(zhǎng)為5，所以圓錐的側(cè)面積為，所以表面積為答案：例3：已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于________．思路：可初步判斷出該幾何體可由正方體截得一部分而構(gòu)成。從三視圖中可得去掉的一角為側(cè)棱長(zhǎng)為1，且兩兩垂直的三棱錐（如圖所示），可得為邊長(zhǎng)是的等邊三角形。所以，其余的面中有三個(gè)面是正方形的面積減去一個(gè)邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形的面積，即，另外三個(gè)面為完整的正方形，即，所以表面積答案：例4：某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（）A.B.C.D.思路：由三視圖可判斷出該幾何體為一個(gè)正四棱柱，所以表面積由側(cè)面的四個(gè)矩形，還有上下兩個(gè)底面（直角梯形）的面積組成。由俯視圖可得梯形的上下底分別為，高為1，所以梯形面積，四個(gè)側(cè)面的底分別為，高為，所以側(cè)面面積為，從而表面積答案：B例5：如圖，一個(gè)空間幾何體的正視圖，側(cè)視圖都是面積為，一個(gè)內(nèi)角為的菱形，俯視圖為正方形，那么這個(gè)幾何體的表面積為（）A.B.C.D.思路：由三視圖可得，該幾何體為兩個(gè)正四棱錐上下拼接而成，其表面積為8個(gè)側(cè)面三角形面積的和。首先計(jì)算正視圖中菱形的邊長(zhǎng)。圖中的菱形被分成2個(gè)全等的等邊三角形，設(shè)邊長(zhǎng)為，則有，解得答案：D例6：某幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積為（）A.B.C.D.思路：由正視圖與側(cè)視圖可判斷出幾何體為錐體，再由俯視圖能夠判定該幾何體為圓錐的一半，且底面向上放置。所以表面積由底面半圓，側(cè)面的一半，和軸截面的面積組成。由俯視圖可得底面半圓半徑，所以底面半圓面積幾何體的側(cè)面為圓錐側(cè)面的一半，由正視圖可得圓錐的母線，所以側(cè)面面積，軸截面為三角形，底為2（側(cè)視圖），高為2（正視圖）所以可得面積，所以該幾何體的表面積為答案：A例7：如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則此三視圖所描述幾何體的表面積為（）A.B.C.D.思路：從三視圖中可判斷出幾何體為一個(gè)圓錐和圓柱拼接而成，所圍成的表面積為圓錐的側(cè)面，圓柱的側(cè)面和圓柱的一個(gè)底面。圓錐的底面半徑為2，高為，可由軸截面求出母線的長(zhǎng)度為，所以圓錐側(cè)面，圓柱的高，底面半徑，所以圓柱的側(cè)面面積，圓柱底面面積，所以幾何體的表面積為答案：B例8：某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的表面積為________思路：由正視圖和側(cè)視圖可判斷出幾何體為錐體，結(jié)合俯視圖可得該幾何體為圓錐的一部分。其表面積由底面扇形，圓錐側(cè)面的一部分和兩個(gè)三角形截面組成，首先通過正視圖線段的長(zhǎng)度可得扇形的圓心角為，所以扇形面積，由側(cè)視圖可得圓錐的母線長(zhǎng)，由底面扇形所占底面圓形的可得圓錐部分側(cè)面面積也是圓錐側(cè)面面積的，即由正視圖可得兩個(gè)三角形的底為2，高為4，所以三角形面積為，所以幾何體的表面積為答案：例9：一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為___________思路：由三視圖可知該幾何體為四棱錐，且頂點(diǎn)在底面的投影為底邊的中點(diǎn)，可嘗試作出四棱錐的直觀圖。底面為邊長(zhǎng)為2的正方形，所以面積，的底為2，高為（正視圖的左側(cè)直角邊），所以。的底為2，高為2（側(cè)視圖的左右邊），所以，的底為2，高，所以，所以棱錐的表面積答案：小煉有話說：在求棱錐的側(cè)面面積時(shí)，底可以考慮底面的邊長(zhǎng)，高則可從正視圖與側(cè)視圖三角形的左右兩邊尋找，其邊長(zhǎng)分別對(duì)應(yīng)側(cè)面三角形的高例10：圓柱被過軸一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為）組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖與俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為，則（）A.B.C.D.思路：總體想法是用表示出幾何體的表面積，在結(jié)合已知列出方程求解。由條件可知該幾何體的表面積由一個(gè)半球，圓柱的半個(gè)底面，半球截面的一半（半圓），圓柱的半個(gè)側(cè)面和圓柱的軸截面的面積組成。半球的面積為，半球截面的一半，圓柱半個(gè)底面面積為，圓柱半個(gè)側(cè)面面積為，軸截面為矩形，底為，高為，所以面積為。進(jìn)而表面積，所以，可解得答案：B小煉有話說：本題在分析表面積構(gòu)成時(shí)要注意細(xì)節(jié)的處理，例如在正視圖中的圓有一條分割線，這就體現(xiàn)了半球下圓柱被截的情況。所以半球的底面只有一部分與圓柱重合，露出的部分還應(yīng)計(jì)在表面積之中第61煉三視圖——幾何體的體積問題一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、常見幾何體的體積公式：（底面積，高）（1）柱體：（2）錐體：（3）臺(tái)體：，其中為上底面面積，為下底面面積（4）球：2、求幾何體體積要注意的幾點(diǎn)（1）對(duì)于多面體和旋轉(zhuǎn)體：一方面要判定幾何體的類型（柱，錐，臺(tái)），另一方面要看好該幾何體擺放的位置是否是底面著地。對(duì)于擺放“規(guī)矩”的幾何體（底面著地），通常只需通過俯視圖看底面面積，正視圖（或側(cè)視圖）確定高，即可求出體積。（2）對(duì)于組合體，首先要判斷是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的，或是以哪個(gè)幾何體為基礎(chǔ)切掉了一部分。然后再尋找相關(guān)要素（3）在三視圖中，每個(gè)圖各條線段的長(zhǎng)度不會(huì)一一給出，但可通過三個(gè)圖之間的聯(lián)系進(jìn)行推斷，推斷的口訣為“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”，即正視圖的左右間距與俯視圖的左右間距相等，正視圖的上下間距與側(cè)視圖的上下間距相等，側(cè)視圖的左右間距與俯視圖的上下間距相等。二、典型例題：例1：已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_________思路：從正視圖，側(cè)視圖可判斷出幾何體與錐體相關(guān)（帶尖兒），從俯視圖中可看出并非圓錐和棱錐，而是兩者的一個(gè)組合體（一半圓錐三棱錐），所以，錐體的高計(jì)算可得（利用正視圖），底面積半圓的半徑為，三角形底邊為，高為（俯視圖看出），所以，，則，，所以答案：例2：已知一棱錐的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，正視圖為直角梯形，則該棱錐的體積為.思路：觀察可發(fā)現(xiàn)這個(gè)棱錐是將一個(gè)側(cè)面擺在地面上，而棱錐的真正底面體現(xiàn)在正視圖（梯形）中，所以，而棱錐的高為側(cè)視圖的左右間距，即，所以答案：例3：若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積是________．思路：該幾何體可拆為兩個(gè)四棱柱，這兩個(gè)四棱柱的高均為4（俯視圖得到），其中一個(gè)四棱柱底面為正方形，邊長(zhǎng)為2（正視圖得到），所以，另一個(gè)四棱柱底面為梯形，上下底分別為，所以，。故幾何體的體積為答案：例4：如下圖是一個(gè)組合幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是___________思路：從三視圖中觀察可得該組合體是由一個(gè)圓柱與一個(gè)躺倒的三棱錐拼接而成，對(duì)于圓柱可得其底面半徑為（正視圖），高為（正視圖），所以，而棱柱底面為底是（俯視圖），高為（正視圖）的三角形，棱柱的高為（俯視圖），所以可得，所以組合體的體積為答案：例5：某幾何體三視圖如圖所示（正方形邊長(zhǎng)為），則該幾何體的體積為.思路：由正視圖與側(cè)視圖可得該幾何體的輪廓為一個(gè)棱柱，從俯視圖中可確定該組合體為正方體截掉了兩部分，且這兩部分剛好都是個(gè)圓柱，可拼成個(gè)圓柱。所以先計(jì)算出正方體的體積，而圓柱的底面半徑為，高為，所以，所以組合體的體積為答案：例6：某個(gè)長(zhǎng)方體被一個(gè)平面所截，得到的幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為()A．4B．2C．D．8答案：D思路：由于長(zhǎng)方體被平面所截，所以很難直接求出幾何體的體積，可以考慮沿著截面再接上一個(gè)一模一樣的幾何體，從而拼成了一個(gè)長(zhǎng)方體，因?yàn)殚L(zhǎng)方體由兩個(gè)完全一樣的幾何體拼成，所以所求體積為長(zhǎng)方體體積的一半。從圖上可得長(zhǎng)方體的底面為正方形，且邊長(zhǎng)為，長(zhǎng)方體的高為，所以，所以例7：一空間幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為__________思路：由主視圖觀察下方有圓弧形，所以判斷有旋轉(zhuǎn)體，結(jié)合側(cè)視圖與俯視圖可判斷出幾何體下部為一個(gè)圓柱（圓柱體的一半），且圓柱的上方摞著一個(gè)長(zhǎng)方體。所以，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為2,2,4，則，圓柱體的高為4（側(cè)視圖看出），底面半徑為2（由主視圖看出），則，所以答案：例8：已知四棱錐的直觀圖和三視圖如圖所示，則三棱錐的體積為__________思路：要求三棱錐的體積，則要確定棱錐的高（到底面的距離）和的面積，從主視圖中可判斷出棱錐的高，俯視圖體現(xiàn)出四邊形為矩形，所以的面積為，所以答案：例9：一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為_______思路：從俯視圖可判斷出該幾何體的基礎(chǔ)應(yīng)為直三棱柱，但從側(cè)視圖與正視圖可以看出幾何體是直三棱柱切掉了一部分，其中側(cè)視圖體現(xiàn)出三棱柱從上底面一直切到下底面，而正視圖中的線恰好是截面與側(cè)面形成的棱（切痕），進(jìn)而可作出直觀圖，從圖中可看出剩余的幾何體為一個(gè)四棱錐（頂點(diǎn)為，所以，棱錐的高是（側(cè)視圖的左右間距），四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形（由正視圖看出），所以，所以答案：例10：如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形邊長(zhǎng)為1，粗線是一個(gè)棱錐的三視圖，則此棱錐的體積為(