第四章 專題復習 一線三等角相似模型教案 2024-2025學年北師大版數(shù)學九年級上冊

一線三等角相似模型學情分析九年級學生學習數(shù)學熱情較高，樂觀向上，有較好的合作精神。學生在學習本節(jié)課之前已經(jīng)學習了相似三角形相關的基礎知識，對于相似三角形的判定有了一定的了解和認識。在課堂中，充分調(diào)動學生的積極性，為學生營造一個良好的學習氛圍，積極引導學生自主學習、探究發(fā)現(xiàn)、合作交流。學生雖然對相似三角形等知識有了一定的感性認識，但是更多的是在特定的范圍內(nèi)研究的，對于相似形的工具性作用，學生還不能合理運用。特別是相似三角形和其他知識的緊密結合，對學生來講還是有一定難度的。因此在教學中，我采取從特殊到一般，再由一般到特殊的方式。從學生已有的認知入手，通過提出關鍵性問題，師生交流討論、質(zhì)疑，釋疑，逐步使學生思維走向深刻，幫助學生感悟“一線三等角”相似模型在相似三角形判定中的重要作用。教材分析《圖形的相似》這一章的內(nèi)容有很重要的實用價值，它與人類的生產(chǎn)和生活有著廣泛的聯(lián)系，如測量、繪圖、電影、照相等都涉及相似形的知識。從研究圖形的全等發(fā)展到研究圖形的相似，用幾何變換的觀點來看，就是從研究圖形的保距變換發(fā)展到研究圖形的保角變換，從研究線段的相等發(fā)展到研究線段的比，這是認識上的一次深化。學生在學習了三角形和四邊形之后，進一步學習相似形的知識，是對于直線形研究的繼續(xù)。相似形與前面學習的全等形之間既有密切的聯(lián)系，又有明顯的區(qū)別。全等形是相似形的特殊情況，相似形比全等形更具有一般性。所以，這一章所研究的知識實際上是前面學習的全等形問題的發(fā)展和拓廣。相似形與后續(xù)的“解直角三角形”和“圓”的內(nèi)容有著密切的聯(lián)系，在研究三角函數(shù)的定義、與圓有關的比例線段時都要依賴相似形的知識。同時，有了全等形和相似形的知識，又可大大充實和豐富圓的研究內(nèi)容。所以，相似形在學習平面幾何中起著承上啟下的作用。幾何教學有三種不同形式的語言，即圖形語言、文字語言和符號語言。其中圖形語言形象、直觀，能幫助學生更好地認識問題和理解問題。圖形在幾何教學中有著不可忽視的作用。幾何問題的解決在很大程度上依賴于幾何圖形。準確的圖形可以開拓一個人的解題思路，為解決問題的思考過程提供很大的幫助。還可以幫助學生更好地理解圖形的基本性質(zhì)、位置關系，建立幾何直觀。在相似三角形的判定中“兩角分別相等的兩個三角形相似”，這一判定定理應用特別多。而“一線三等角”這種相似模型，正是因為存在兩角分別相等才會一定出現(xiàn)相似三角形。在不同背景中，特別是“一線三直角”即“K型”相似這種情況在矩形、直角梯形、以及平面直角坐標系中的應用都比較廣泛。所以把握住基本圖形對于學生在復雜的圖形中迅速準確的解決問題起到了關鍵的作用。教學目標1、學生會運用兩組對應角分別相等的兩個三角形為相似三角形的判定方法證明兩個三角形相似。（核心素養(yǎng)：邏輯推理）2、讓學生經(jīng)歷觀察、比較、歸納的學習過程，總結出“一線三等角”圖形的基本特征，并且能夠在不同的背景中認識和把握基本模型。（核心素養(yǎng)：數(shù)學建模）3、學生在學習過程中感受幾何直觀圖形對幾何學習的重要性。通過問題的解決，體驗探究問題成功的樂趣，積極探索，提高學習幾何的興趣。（核心素養(yǎng)：幾何直觀）教學重點運用判定方法解決“一線三等角”的相關計算與證明教學難點在不同背景的圖形中識別“一線三等角”基本模型教學方法教師主導與學生合作探究相結合課時安排1課時教學過程教師活動學生活動設計過程意圖一、基礎回顧：在證明三角形相似中，我們總結了一些常用的基本模型，這些基本模型對學生學習起到了很大的幫助作用。1.A型相似：由圖可知，兩個三角形存在公共角相等，只需再找一對等角，即可證明兩三角形相似。1.通過基礎知識回顧引發(fā)學生思考。在證明三角形相似的過程中，一能復習相似三角形的判定方法，二則引出本節(jié)課所講的內(nèi)容：“一線三等角”；2.通過復習A型相似、8型相似、K型相似讓學生體會在學習相似中，總結基本模型的重要性，對我們做題有很大幫助；3.讓學生說出每一個問題的證明過程是必要的，使學生的“直觀經(jīng)驗”由“量”變產(chǎn)生“質(zhì)“變。從問題和模型引入本專題，使學生對產(chǎn)生模型有個感性的認識，為下一環(huán)節(jié)抽象模型打好鋪墊。1.請同學們考慮證明三角形相似中有哪些常用的基本模型？2.思考不能類型的基本模型，各自的證明思路是什么？3.教師引導學生從“K型”相似引出“一線三等角”模型。1.入手淺顯易懂，激發(fā)學生的思考，消除學生畏難情緒，使學生盡快盡快融入本節(jié)課；2.學生觀察三種基本模型，思考各種的條件，口述證明理由。2.8型相似：由圖可知，兩個三角形存在對頂角相等，只需再找一對等角，即可證明兩三角形相似。3．K型相似：由圖可知，兩個三角形存在一對直角相等，只需再找一對相等的銳角，即可證明兩直角三角形相似。二、新知探索：1.我們來證明“K型”相似.如圖，已知∠B=∠E=∠ACD=90°，求證:通過證明“K型”相似，不僅讓學生熟悉相似三角形判定一：兩角分別相等的兩個三角形相似，而且給學生也提供了一種證明的思路，即通過同角的余角相等來找出相等的銳角，為后續(xù)證明做好鋪墊。教師演示“K型”相似的分析過程，提供思路，為下一步的證明作方法上的準備；學生自主完成這道題，建立信心。2.由特殊到一般，當三個等角為銳角的時候，我們來證明剛才的兩個三角形相似依然成立。如圖，已知∠B=∠E=∠ACD，且為銳角，求證:1.圖形的變化讓學生考慮在運動變化中結論是否會發(fā)生改變？以便在運動變化中突出圖形所體現(xiàn)的特殊特征。從而進一步歸納出兩個圖形具有的共同點；2.圖形的變化體現(xiàn)了由特殊到一般的認識過程。1.引導學生觀察圖形，理順已知和要證明的問題，應用上面的方法可以順利得以證明；2.教師要給學生點名，此問題證明方法不唯一，用三角形外角思路，也是很不錯的方法，擴展學生的視野。學生通過“K型”相似的證明思路，橫向遷移，可以解決本題。3.當三個等角為鈍角的時候，我們來證明剛才的兩個三角形相似依然成立。如圖，已知∠B=∠E=∠ACD，且為鈍角，求證:三等角是銳角的情況已經(jīng)嚴格證明，此時，當三等角為鈍角的情況，證明思路完全一致，學生可以自行完成；抽象模型，揭示實質(zhì)“一線三等角”是一個常見的相似模型，指的是有三個等角的頂點在同一條直線上構成的相似圖形，這個角可以是直角，也可以是銳角或鈍角。特殊地，當這三個等角為直角的時候，就是我們以前學習的“K型”相似。1.通過前面的嚴格證明，得出“一線三等角”的定義，嚴格的定義是數(shù)學的基礎；2.帶領學生提煉模型的特征，點名對應點，這也是學生做題中的易錯點，課堂上應該重視；3.在學生熟悉“一線三等角”的基本模型后，將“一線三等角”基本圖形由一般再轉(zhuǎn)為特殊，當三等角為直角時，即就是以前的“K型”相似。讓學生新舊知識建立聯(lián)系，融會貫通。教師引導學生總結“一線三等角”基本模型。學生思考，可以在和同學交流，說出自己對“一線三等角”的理解和認識，互相學習，加深理解。典例解析綜合運用例：如圖，已知△ABC和△ADE均為等邊三角形，點D在BC上，DE與AC交于F，AB=9,BD=3,求CF長.分析：本題難點在于學生從原圖中分離出“一線三等角”基本模型，教師可以從已知兩個等邊三角形入手，提示學生圖中有很多60°角，啟發(fā)學生找出模型，得出，進而通過已知量求出CF長借助此例題，讓學生感受在等邊三角形中，因為三個角均為60°的特點，容易和“一線三等角”基本模型建立聯(lián)系；在不同背景中學生體會“一線三等角”基本圖形的作用。通過“一線三等角”中的等角找到這個基本模型的生長點；3.板書完整的解題步驟對學生全面掌握此題有很大幫助，同時也讓學生養(yǎng)成良好的解題習慣。教師引導學生觀察圖形，找基本圖形。師生共同完成，學生完成證明過程。思維開放提高升華從復雜圖形中分離出基本模型，對解決問題有化繁為簡的效果。一線三等角模型在解題中，可以幫助我們快速找到解決問題的突破口。希望這個模型能起到拋磚引玉的作用，讓我們平時多總結多歸納，出現(xiàn)更多的好方法！幫助學生學會在復雜背景圖形中按照模型的特點快速的分離出模型。教師鼓勵學生遇到問題主動探索，不畏艱難，與同學合作交流，共同解決問題，通過例題的解答，學生深入了解相似模型的構造，并掌握“一線三等角”的特征。作業(yè)布置練習冊：一線三等角專項練習板書設計一線三等角相似模型基礎回顧一線三等角相似模型基礎回顧二、