（全國版）高考數(shù)學一輪復習第8章81空間幾何體及其表面積與體積講義文

§8.1空間幾何體及其表面積與體積

【考試要求】1.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實

生活中簡單物體的結構.2.能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等簡易組合）

的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖.3.了解

球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式.

■落實主干知識

【知識梳理】

1.多面體的結構特征

名稱棱柱棱錐棱臺

D'E忠O，

圖形忠

ABABAB

底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似

側棱平行且相等相交于二息但不一定相等延長線交于二A

側面形狀平行四邊形三角形蜒

名稱圓柱圓錐圓臺球

國息

圖形A?

互相平行且相等，垂延長線交于

母線相交于一點

直于底面~,A

全等的等腰三全等的等腰

軸截面全等的矩形圓面

角形梯形

側面展

矩形扇形扇環(huán)

開圖

三視圖畫法規(guī)則：長對正、高平齊、寬相等

直觀圖

斜二測畫法：（1）原圖形中A?軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中V軸、/

軸的夾角為45°或135。，z'軸與V軸和軸所在平面垂直.

（2）原圖形中平行于坐標軸的線段在直觀圖中仍平行于坐標軸,平行于“軸

和z軸的線段在直觀圖中保持原長度丕變，平行于y軸的線段在直觀圖中長

度為原來的一半.

4.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式

圓柱圓錐圓臺

，八

.,c

您?。?/p>

側面展開圖鏟

側面積公式S陽柱一=2又rlSm—一=nrlSin8何=n（八十/）1

5.柱、錐、臺、球的表面積和體積

名稱

表面積體積

幾何

柱體（棱柱和圓柱）5冬而稅=5的+25底V=Sh

中

錐體（棱錐和圓錐）S表面枳=SM+S底

P=；（S上+S下+低M）力

臺體（棱臺和圓臺）S&前史=S*j+S上+S卜

4

球S=4JI-右兵

【常用結論】

1.在繪制三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示

出來，即“眼見為實、不見為虛”.在三視圖的判斷與識別中要特別注意其中的虛線.

2.直觀圖與原平面圖形面枳間關系朦圖形.

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

（1）有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.（X）

（2）用一個平行于底面的平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺.（J）

⑶菱形的直觀圖仍是菱形.（X）

（4）兩個球的體積之比等于它們的半徑比的平方.（X）

【教材改編題】

1.如圖，長方體極力一『B'C夕被截去一部分，其中仍，〃/〃，剩下的幾何體是（

D'HC

A.棱臺B.四棱柱

C.五棱柱D.六棱柱

答案C

2.已知圓錐的表面積等于12ncd,其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為（）

A.1cmB.2cm

答案B

解析設圓錐的底面圓的半徑為n母線長為因為側面展開圖是一個半圓，所以”/=2兀r,

即7=2r,所以兀產+nr7=n產+nr?2r=3nr=12丸,解得T=2.

3.如圖，將一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平面截出一個棱錐，則該棱錐的體積與剩下

的幾何體體積的比為.

答案1：47

解析設長方體的相鄰三條棱長分別為&b,c,它截出的棱錐的體積為

〈c=±abc,剩下的幾何體的體積V2=abc—^abc=^abc,所以%：%=1：47.

核心題型

題型一空間幾何體

命題點1三視圖

例1（2021?全國甲卷）在一個正方體中，過頂點力的三條棱的中點分別為其F,&該正方

體截去三棱錐4一的后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應的側視圖是（）

□正視圖

答案D

解析根據(jù)題目條件以及正視圖可以得到該幾何體的直觀圖，如圖,

結合選項可知該幾何體的側視圖為D.

命題點2直觀圖

例2有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所

示），N48c=45°,AB=AD=ltDC1BC,則這塊菜地的面積為.

答案2+勺

解析DC=ABsin45°=乎，

BC=ABcos45°+力。=平+1,

S梯形彳解=5（力。1~￡。,DC

梯形身m=2

命題點3展開圖

例3（2021?新高考全國I）已知圓錐的底面半徑為蛆，其側面展開圖為一個半圓，則該圓

錐的母線長為（）

A.2B.2^2C.4D.4^2

答案B

解析設圓錐的母線長為L因為該圓錐的底面半徑為啦，所以2n乂\歷=n/,解得7=2^2.

【教師備選】

1.如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體

是（）

:正視圖二蒯視圖

■■??????JUJ-LJ-LJ_J

iIiiiiiIiaiiiiei

+++-H-HH

Y-4

??aII???

TTT-「「-rVI

儲視圖X-K.J.U

A.三棱錐B.三棱柱

C.四棱錐D.四棱柱

答案B

解析由題意知，該幾何體的三視圖為一個三角形、兩個四邊形，經分析可知該幾何體為三

棱柱.

2.（2022?益陽調研）如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45°的等腰梯

形，已知直觀圖勿'B'C'的面積為4,則該平面圖形的面積為（）

A.事B.4^/2C.8A/2D.24

答案C

解析由S照圖形=2y[2S史雙圖?得S束圖形=2y[2X4=8y[2.

3.如圖所示的扇形是某個圓錐的側面展開圖，已知扇形所在圓的半徑Q乖，扇形弧長/=

4n,則該圓錐的表面積為（）

A.2n

B.（4+2-75）Ji

C.（3+?。﹏

D.8n4-^/5

答案B

解析設圓錐底面圓的半徑為八則2/不=4兀，解得二=2,

???圓錐的表面積S^=S底面回+S值=JI步+：〃>=JTX22+：X4nX小=（4+24）冗.

乙乙

思維升華（1）由幾何體求三視圖，要注意觀察的方向，掌握“長對正、高平齊、寬相等”的

基本要求，由三視圖推測幾何體，可以先利用俯視圖推測底面，然后結合正視圖、側視圖推

測兒何體的可能形式.

（2）①在斜二測畫法中，平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性

不變，長度減半.②S直觀圖=乎5用圖形.

跟蹤訓練1（1）（2021?浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單

位：媼）是（）

f+Lf1-

正視圖側視圖

俯視圖

A.1B.3C.平I）.3m

答案A

解析方法一由三視圖可知，該幾何體是一個底面為等腰梯形的直四棱柱，其中底面等腰

梯形的底邊長分別為鏡，2位，高為平，該四棱柱的高為1,所以該幾何體的體積K=1x他

+2-72）X^X1=1

方法二由三視圖可知，該幾何體是由底面為等腰直角三角形（腰長為2）的直三棱柱截去一

個底面為等腰直角三角形（腰長為D的直三棱柱后得到的，所以該幾何體的體積K=1X22X1

123

--X12X1=-

（2）（2022?中衛(wèi)模擬）已知水平放置的△/1比按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中

B'O'=C0'=1,*0,=乎，那么△?!%是一個（）

A.等邊三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.鈍角三角形

答案A

解析根據(jù)斜二測畫法還原在直角坐標系中的圖形，如圖,

則C=2,

A0=2ArO'=73,

AC=AB=yj^32+l2=2,

所以△力比是一個等邊三角形.

（3）（2022?曲靖模擬）如圖，在水平地面上的圓錐形物體的母線長為12,底面圓的半徑等于4,

一只小蟲從圓錐的底面圓上的點尸出發(fā)，繞圓錐側面爬行一周后回到點尸處，則小蟲爬行的

最短路程為（）

解析如圖，設圓錐側面展開扇形的圓心角為

則由題意可得2丸X4=128,

2n

則夕=丁,

O

在中，OP=OP'=12,

則小蟲爬行的最短路程為

題型二表面積與體積

命題點1表面積

例4（1）（2022?成都調研）如圖，四面體的各個面都是邊長為1的正三角形，其三個頂點在

一個圓柱的下底面圓周上，另一個頂點是上底面的圓心，則圓柱的表面積是（）

A.佇2口

o

2啦+1Ji

C，3

答案C

解析如圖所示，過點尸作皿平面力比；￡為垂足，點￡為等邊三角形4町的中心，連接

力￡并延長，交比1于點。

AE=,AD,4g雪,

O4

:.￡￡=、/*一力也2=幸.

設圓柱底面半徑為人則r=熊善,

圓柱的側面積S=2nr?PE=2nX乎X坐"

ooo

底面積S=nr2X2=nxf^^X2=;y-,

,,2\/2n2n

；?圓柱的表面積S=$+S=QH

<5<5

2/+1Ji

3

(2)在梯形力犯9中，ZABC=^,AD//BC,G24?=2力劭及笫繞力。所在的直線旋轉一周而形

成的曲面所圍成的幾何體的表面積為()

A.(5+m)nB.(4+隹)冗

C.(54-2^2)nD.(3+^2)n

答案A

解析???在梯形力"9中，/ABC=9AD//BC,BC=2AD=2AB=2f

C

2

B

???將梯形力四繞川9所在的宜線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個底面半徑為47

=1,高為優(yōu)=2的圓柱挖去一個底面半徑為49=1,高為比一力片2—1=1的圓錐，

，該幾何體的表面積5=KX12+2HX1X2+nX1X^/l2+l2=(5+^2)n.

【教師備選】

有一塔形幾何體由3個正方體構成，構成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下

層正方體上底面各邊的中點.已知最底層正方體的棱長為2,則該塔形幾何體的表面積為

答案36

解析易知由下向上三個正方體的棱長依次為2,/，1,

AS?=2X22+4X[22+(V2)2+12]=36.

???該幾何體的表面積為36.

思維升華(1)多面體的表面積是各個面的面積之和.

(2)旋轉體的表面積是將其展開后，展開圖的面積與底面面積之和.

(3)組合體的表面積求解時注意對銜接部分的處理.

命題點2體積

例5(1)(2021?新高考全國H)正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側棱長為2,則

其體積為()

A.20+12/B.284

竺空也

答案D

解析作出圖形，連接該正四棱臺上、下底面的中心，如圖,

因為該四樓臺上、下底面的邊長分別為2,4,側棱長為2,

所以該棱臺的高力=*_2小甘2=卷

下底面面積S=16,上底面面積S=4,

所以該棱臺的體積-J力（S+S+JMG）=1X?72X（16+4+洞）=嶺但.

JJJ

（2）（2020?新高考全國II）棱長為2的正方體4%力一48G〃中，機N分別為棱能，的中

點，則三棱錐4一〃覷V的體積為.

答案1

解析如圖，由正方體棱長為2,

113

得S^AMN=2X2-2X-X2X1--X1X1=-,

又易知為三棱錐〃-4WV的高，

=

且DiAi2t

■V=V

..V、_DMNvD-AMN

1ll

1c13

SMMN?44=5X5X2=1.

3

（3）（2022?大同模擬）《九章算術》是我國古代的數(shù)學巨著，其卷第五“商功”有如下的問題：

“今有芻要，下廣三丈，袤四丈，上袤一丈，無廣，高一丈.問積幾何？”意思為：今有底

面為矩形的屋脊形狀的多面體（如圖），下底面寬4g3丈，長4?=4丈，上棱牙*=2丈，EF

與平面力靦平行，）與平面18。的距離為1丈，則它的體積是（）

A.4立方丈B.5立方丈

C.6立方丈D.8立方丈

答案B

解析如圖，過E作￡G_L平面45W,垂足為G,過尸作/WJ_平面垂足為"過G作

PQ//AD,交力8于Q,交,CD千P,過H作MN〃BC,交AB于M交切于機由圖形的對稱性可

知，AQ=BN=\,。的=2,且四邊形U與四邊形刖%V都是矩形.

則它的體積

?￡6?S矩形附付+Suw?A^+1?FH?S矩形般“=Jx1X1X3+1x3X1X2+1x1X1X3=

*5JJ乙J

5（立方丈）.

r教師備選，（2022?佛山模擬）加圖所示，在直徑AB=4的半圓。內作一個內接直角三角形

ABC,使N物a30°,將圖中陰影部分，以為旋轉軸旋轉180°形成一個幾何體，則該幾

何體的體積為_____.

心生10

答案TH

解析如圖，過點C作⑺_L/出于點〃

在Rt△力勿中，

AC=ABcos300=2y[3,

CD=^AC=y[3,

乙

AD=ACcos300=3,BD=AB~AD=\,

將圖中陰影部分，以48為旋轉軸旋轉180。形成一個幾何體，該兒何體是以48為直徑的半

個球中間挖去兩個同底的半圓錐，

故所求幾何體的體積為

1「4O1廠2

V=-X-JTX23--XJIXJ32X3+1

NJJ

思維升華求空間幾何體的體積的常用方法

公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式

把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)

等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積

跟蹤訓練2（1）（2022?武漢質檢）等腰直角三角形的直角邊長為1,現(xiàn)將該三角形繞其某一

邊旋轉一周，則所形成的幾何體的表面積為（）

A.^2JtB.(1+^/2)n

C.2y[2nD.^/2n或(1+4)n

答案D

解析如果是繞直角邊旋轉，則形成圓錐，圓錐底面半徑為1,高為1，母線就是直角三角形

的斜邊，長為明，所以所形成的幾何體的表面積5=丸XlX/+nX『=（*+［）兀；如果

繞斜邊旋轉，則形成的是上、下兩個圓錐.圓錐的半徑是直角三角形斜邊上的高，所以圓錐

的半徑為平，兩個圓錐的母線都是直角三角形的直角邊，母線長是1,所以形成的幾何體的

表面積S'=2X無X乎綜上可知，形成幾何體的表面積是IT或隹Ji.

4

⑵（2022?天津和平區(qū)模擬）已知正方體ABCD-ABC業(yè)的棱長為2,則三棱錐/1一6。的體

積為（）

48

A-B-C.4D.6

JJ

答案B

解析如圖，三棱錐力一名制是臼正方體4%〃一4AG〃截去四個小三棱錐A-AM,C-

BCDi,ABC,D\—ACDy

48

所以V=8—4X—=—

川小°33°

課時精練

E基礎保分練

1.下列說法不正確的是（）

A.圓柱的每個軸截面都是全等的矩形

B.棱柱的兩個互相平行的面一定是棱柱的底面

C.棱臺的側面是梯形

D.用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓面

答案B

解析B不正確，例如六棱柱的相對側面也互相平行.

2.（2022?梧州調研）在我國古代數(shù)學名著《數(shù)學九章》中有這樣一個句題：“今有木長二丈

四尺，圍之五尺.葛生其下，纏本兩周，上與木齊，問葛長幾何？”意思是“圓木長2丈4

尺，圓周長為5尺，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，

問葛藤最少長多少尺？”（注：1文等于10尺），則這個問題中，葛藤長的最小值為（）

A.2丈4尺B.2丈5尺

C.2丈6尺D.2丈8尺

答案C

解析如圖，由題意，圓柱的側面展開圖是矩形，一條直角邊（即圓木的高）長24尺，另一條

直角邊長5X2=10（尺），因此葛滕長的最小值為啊的=26（尺），即為2丈6尺.

3.（2021?北京）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（）

俯視圖

A.B.4C.34-^3D.2

答案A

解析根據(jù)一視圖可得如圖所示的幾何體一正三棱錐O-ABC,

其側面為等腰直角三角形，底面為等邊三角形，

由三視圖可得該正三棱錐的側棱長為1,

故其表面積為3X3XIX1+乎X（鏡）2=3^/^

4.（2022?蘭州模擬）玉琮是一種內圓外方的筒型玉器，它與玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥

被稱為“六器”，是占人用于祭祀神祇的一種禮器.《周禮》中載有“以玉作六器，以禮天地

四方，以蒼璧禮天，以黃琮禮地”等文.如圖為齊家文化玉琮，該玉琮中方內空，形狀對稱,

圓筒內徑2.0cm,外徑2.4cm,筒高6.0cm,方高4.0cm,則其體積約為（單位：cmJ）（）

A.23.04-3.92n

C.34.56-3.12n

答案D

解析由題圖可知，組合體由圓柱、長方體構成，

組合體的體積為r=2XnX,2）））'+4X2.4X2.4—nX12X6=23.04-3.12n.

5.（2022?商洛模擬）正多面體被古希臘圣哲認為是構成宇宙的基本元素，加上它們的多種變

體，一直是科學、藝術、哲學靈感的源泉之一.如圖，該幾何體是一個棱長為2的正八面體,

則此正八面體的體積與表面積之比為（）

A必R近「班D必

189123

答案B

解析取a'的中點G,連接班,BD,取物的中點0,連接￡0,如圖，由棱長為2,可得正

八面體上半部分的斜高為EG=72T=4,高為止肝M=木,

則正八面體的體積為V=2”?f笆=2義2乂2：木=平,

JJJ

其表面積為S=8X竺產=8X”警=84，

乙乙

???此正八面體的體積與表面積之比為坐.

6.如圖，在正四棱柱力及笫一466。中，AB=\,44=小,點E為48上的動點，則從E+CE

的最小值為（）

A.2^2B.^io

C.7S+lD.2+啦

答案B

解析如圖，連接力〃，陽分別延長至尸，G,使得/Jg/fF,BC=BG,連接晶，F(xiàn)G,

*/四棱柱ABCD-ABCD為正四棱柱,

."8_1平面/1能4,力從L平面比'G兒

:"BLAF,ABLBG,

又AB=AD=AF,

???四邊形/成尸為正方形，

:.EG=7BE+BG=7BE+Bd=CE,

???〃￡'+龍的最小值為〃G,

又以G=7隊戶+苒=婀1=瓜,

???〃￡+〃的最小值為皿.

7.已知圓柱的上、下底面的中心分別為Q,a,過直線aa的平面截該圓柱所得的截面是面

積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）

A.12y[2nB.12n

C.8yf2nI）.10Ji

答案B

解析設圓柱的軸截面的邊長為乂則由J=8,得x=2啦，???S螭表=2S?+S偈=2XnX（^2）2

+2%Xyf2X2yf2=l2n.

8.（2022?邯鄲模擬）攢尖是我國百代建筑中屋頂?shù)囊环N結構形式，宋代稱為最尖，清代稱攢

尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣

式建筑、園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四

棱錐.已知此正四棱錐的側面與底面所成的銳二面角為。，這個角接近30°,若取，=30°,

側棱長為?米，則（）

A.正四棱錐的底面邊長為4米

B.正四棱錐的底面邊長為3米

C.正四棱錐的側面積為24m平方米

D.正四棱錐的側面積為124平方米

答案C

解析如圖，在正四棱錐S一力"力中，。為正方形力時的中心，〃為48的中點，

則SH1AB,

設底面邊長為2a.

因為N5i%?=30°,

所以0H=AH=a,0S={a,SH=^-a.

oJ

在口△%〃中,

解得a=3,所以正四棱錐的底面邊長為6米，側面積為S=Jx6X2小X4=24，5(平方米).

ABCO,在平面史角坐標系也加中，點8的坐標為(2,2),則由斜二測畫法畫出的正方形的直觀

圖中，頂點加到/軸的距離為一

解析利用斜二測畫法作正方形48C0的直觀圖如圖,

在坐標系0'X，/中，B'C=1,N/CB'=45°.

過點夕作V軸的垂線，垂足為點。'.

在RtZk6'〃C中，

B1D'=B'Csin45。=1X3=乎.

10.在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱的底面直徑為40cm,母線長最短50cm,最長80cm,

則斜截圓柱的側面面積S=cm2.

答案2600n

解析將題圖所示的相同的兩個幾何體對接為圓柱，則圓柱的側面展開圖為矩形.由題意得

所求側面展開圖的面積5=1X(JTX40)X(50+80)=2600n(cm2).

11.(2020?江蘇)如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的.已知螺帽的

底面正六邊形邊長為2cm,高為2cm,內孔半徑為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是

答案12^3-y

解析螺帽的底面正六邊形的面積

5=6x1x22Xsin60°=673(cm2),

正六棱柱的體積K=6^3X2=12^3(cm3),

圓柱的體積K2X2=-^-(cm3),

所以此六角螺帽毛坯的體積

(12/一5卜」.

V=Vx-V2=

12.(2022?佛山質檢)已知圓錐的頂點為S,底面圓周上的兩點48滿足△煙為等邊三角

形，且面積為又知圓錐軸截面的面積為8,則圓錐的側面積為.

答案8如

解析設圓錐的母線長為由△弘8為等邊三角形，且面積為4小，

所以^/sin-y=4^3,

解得7=4；

又設圓錐底面半徑為八高為力，

則由軸截面的面積為8,得2啥=8；

又/+02=16,

解得r=h=2@,所以圓錐的側面積S=nrl=nX2^2X4=8^2n.

E技能提升練

13.（2021?全國乙卷）以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，

組成某個三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為________（寫出符合要求的一

組答案即可.）

圖④圖⑤

答案③④（答案不唯一，②?也可）

解析根據(jù)“長對正、高平齊、寬相等”及圖中數(shù)據(jù)，可知圖②③只能是側視圖，圖④⑤只

能是俯視圖，則組成某個三棱錐的三視圖，所選側視圖和俯視圖的編號依次是③④或②⑤.

若是③④，則原幾何體如圖1所示；若是②⑤，則原幾何體如圖2所示.

14.（2022?南京模擬）小張周末準備去探望奶奶，到商店買了一盒點心，為了美觀起見，售

貨員用彩繩對點心盒做了一個捆扎（如圖①所示），并在角上配了一個花結.彩繩與長方體點

心盒均相交于棱的四等分點處.設這種捆扎方法所用繩長為一般的十字捆扎（如圖②所

示）所用繩長為k.若點心盒的長、寬、高之比為2：2：1,則J的值為________.

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圖①圖②

答案坐

解析,??點心盒的長、寬、高之比是2：2：1,

???設點心盒的長、寬、高分別為4a,4a,2a,

由題意可得71=4X4X2^2<i=1272a,

y2=4X4a+4X2a=24a,

.A_12y/2a_y[2

-I：24a