2024-2025學年高中數學 第三章 導數及其應用 3.3 導數在研究函數中的應用 3.3.2 函數的極值與導數教案 文 新人教A版選修1-1

2024-2025學年高中數學第三章導數及其應用3.3導數在研究函數中的應用3.3.2函數的極值與導數教案文新人教A版選修1-1科目授課時間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）2024-2025學年高中數學第三章導數及其應用3.3導數在研究函數中的應用3.3.2函數的極值與導數教案文新人教A版選修1-1課程基本信息1.課程名稱：高中數學第三章導數及其應用3.3導數在研究函數中的應用3.3.2函數的極值與導數

2.教學年級和班級：高中二年級，理科班

3.授課時間：2024年11月10日，星期一，第5節(jié)

4.教學時數：45分鐘

本節(jié)課將圍繞新人教A版選修1-1教材，通過講解函數極值的概念，引導學生學會運用導數判斷函數的極值及其位置。結合實際例題，讓學生掌握利用導數求解函數極值的方法，并能夠應用于實際問題中。核心素養(yǎng)目標培養(yǎng)學生邏輯推理、數學建模及直觀想象的核心素養(yǎng)。通過本節(jié)課學習，使學生能夠：

1.理解并運用導數判斷函數的極值，培養(yǎng)邏輯推理能力；

2.建立函數極值與導數之間的關系，提高數學建模素養(yǎng)；

3.通過繪制函數圖像，觀察極值變化，增強直觀想象力；

4.能夠將所學知識應用于實際問題，培養(yǎng)解決實際問題的能力。重點難點及解決辦法重點：函數極值的定義及其與導數的關系，利用導數判斷函數極值的方法。

難點：理解并應用導數求解函數極值的過程，特別是多極值點的判斷和處理。

解決辦法及突破策略：

1.通過實際例子引入函數極值的概念，結合圖像讓學生直觀感受極值點的特點。

2.使用導數法則和性質，引導學生理解導數符號變化與函數極值的關系，強化記憶。

3.對于多極值點的情況，采用分類討論的方法，逐步引導學生掌握判斷和處理技巧。

4.設計不同難度的習題，由淺入深，讓學生在實踐中逐步突破難點，鞏固知識點。

5.引導學生總結規(guī)律，形成解題思路，提高問題解決能力。教學方法與策略1.選擇講授與討論相結合的教學方法，結合學生已有知識和邏輯推理能力，通過講解和互動引導學生深入理解函數極值的概念。

2.設計具體教學活動，包括小組合作探討導數與極值的關系，以及通過數學軟件或圖形計算器進行函數圖像的實驗操作，增強學生對極值點的直觀感知。

3.使用多媒體教學資源，如PPT展示函數圖像和動畫，幫助學生形象理解極值點的變化過程。

4.通過案例研究和問題驅動的教學方法，引導學生運用所學知識解決實際問題，提高學生的數學建模能力。教學過程首先，我會以一個簡單的實際問題引入今天的課程內容，讓學生思考如何找到一條生產線上的最大產量或最小成本等實際問題中的極值點。

1.導入新課

同學們，我們在上一節(jié)課中學習了導數在研究函數單調性中的應用。今天，我們將進一步探討導數在研究函數極值中的應用。想象一下，如果你是一名工程師，需要找到一條生產線的最大產量或最小成本，你會怎么做呢？這就需要我們今天學習的函數極值知識。

2.知識探究

（1）首先，我會請同學們翻開課本，閱讀第三章3.3.2節(jié)的內容，然后提問：“極值是什么？它和導數有什么關系？”通過學生的回答，總結出函數極值的定義及其與導數的關系。

（2）接著，我會通過一個具體的函數例子，例如f(x)=x^3-3x，來演示如何利用導數判斷函數的極值。在黑板上畫出函數圖像，引導學生觀察函數圖像與導數的關系，從而總結出判斷函數極值的方法。

（3）然后，我會組織同學們進行小組討論，探討如何解決多極值點的問題。在此過程中，我會巡回指導，幫助學生解決困惑，引導他們掌握分類討論的方法。

3.實踐應用

（1）在學生對函數極值有了基本理解之后，我會給出一些具有挑戰(zhàn)性的例題，讓學生獨立嘗試解決。在解答過程中，我會鼓勵學生展示自己的思考過程，以便大家共同學習。

（2）針對學生在解答過程中遇到的問題，我會進行針對性的講解，并指導學生總結解題規(guī)律。

4.歸納總結

（1）在本節(jié)課的最后，我會邀請幾位同學來分享一下他們對函數極值及其與導數關系的理解，以及他們在解決實際問題時的心得體會。

（2）然后，我會對同學們的分享進行點評，強調重點知識，并對本節(jié)課的內容進行總結。

5.課后作業(yè)

為了鞏固本節(jié)課所學知識，我會布置以下課后作業(yè)：

（1）課本習題3.3.2中的第1、2、3題，讓學生獨立完成，加深對函數極值概念的理解。

（2）選做課本習題3.3.2中的第4題，提高學生解決實際問題的能力。知識點梳理1.函數極值的定義：在函數的定義域內，如果存在某點c，使得在c點附近的左、右兩側，函數值都大于（或小于）f(c)，則稱f(c)為函數的極大值（或極小值）。

2.函數極值與導數的關系：

-若函數在某點c處可導，且導數f'(c)=0，則c可能是函數的極值點。

-若函數在c點附近左側導數大于0，右側導數小于0，則f(c)為極大值。

-若函數在c點附近左側導數小于0，右側導數大于0，則f(c)為極小值。

3.利用導數求解函數極值的方法：

-求導：對函數f(x)求導，得到f'(x)。

-解方程：令f'(x)=0，求出可能的極值點。

-判斷極值：通過導數的符號變化判斷極值類型（極大值或極小值）。

4.多極值點的處理方法：

-分類討論：根據導數的符號變化，將定義域分為幾個區(qū)間，分別判斷每個區(qū)間內極值的類型。

-注意端點：在閉區(qū)間上，還需要考慮端點處的極值情況。

5.函數極值的應用：

-優(yōu)化問題：求解最大值或最小值問題，如生產成本、收益等。

-函數圖像分析：通過極值點了解函數圖像的形狀和趨勢。

6.實際問題中的極值求解：

-建立模型：根據實際問題，建立數學模型，確定目標函數。

-求解極值：利用導數求解目標函數的極值，得到實際問題中的最優(yōu)解。教學評價與反饋1.課堂表現(xiàn)：在課堂上，觀察學生的參與程度和注意力集中情況，特別是他們在互動環(huán)節(jié)的積極性和對問題探討的深度。注意記錄哪些學生在理解極值概念和求解方法時表現(xiàn)出色，哪些學生需要額外的關注和指導。

2.小組討論成果展示：評估各小組在討論極值判斷方法和多極值點處理策略時的表現(xiàn)。關注學生是否能夠準確運用所學知識，以及他們在合作中是否能夠有效溝通和解決問題。

3.隨堂測試：通過隨堂小測驗來檢驗學生對函數極值理論的理解和應用能力。測試題目應涵蓋本節(jié)課的重點內容，包括極值的定義、導數與極值的關系，以及求解極值的方法。

4.課后作業(yè)：評價學生對課后作業(yè)的完成情況，特別是他們在解決實際問題時是否能夠靈活運用所學的極值知識。

5.教師評價與反饋：

-對學生在課堂上的表現(xiàn)給予及時的反饋，表揚表現(xiàn)優(yōu)秀的學生，鼓勵需要提高的學生。

-針對小組討論的成果，給予客觀評價，指出優(yōu)點和需要改進的地方。

-根據隨堂測試和課后作業(yè)的情況，總結學生普遍存在的難點和錯誤類型，并在下一次課上進行針對性的講解和復習。

-通過課后與學生的交流，了解他們的學習困惑，提供個性化的輔導和建議。課后拓展1.拓展內容：

-閱讀材料：推薦學生閱讀教材中相關的拓展閱讀部分，深入理解函數極值在實際問題中的應用。

-視頻資源：觀看與函數極值相關的教學視頻，如“極值的概念與求解方法”、“導數在優(yōu)化問題中的應用”等，以增強對知識點的直觀理解。

-實踐項目：鼓勵學生尋找生活中的實例，運用函數極值的理論知識進行分析和解決。

2.拓展要求：

-自主學習：學生在課后利用自己的時間，通過閱讀教材、觀看視頻等方式，對函數極值知識進行自主學習。

-交流分享：鼓勵學生在課堂上分享他們的學習心得和拓展成果，以促進同學之間的相互學習和交流。

-疑問解答：學生在學習過程中遇到問題時，可向教師請教，教師提供必要的指導和幫助。

-作業(yè)布置：結合拓展內容，布置一些具有挑戰(zhàn)性的課后作業(yè)，如研究性學習報告、實際問題分析等，以提高學生的應用能力。教學反思在這節(jié)課中，我嘗試通過實際問題引入函數極值的概念，讓學生感受到數學知識在實際生活中的應用。我發(fā)現(xiàn)，這種方式能夠激發(fā)學生的興趣，使他們更愿意投入到學習中。但在教學過程中，我也發(fā)現(xiàn)了一些問題。

首先，部分學生在理解函數極值與導數關系時遇到了困難。在今后的教學中，我需要更加注重基礎知識的教學，讓學生扎實掌握導數的概念和性質，以便更好地理解極值問題。

其次，在小組討論環(huán)節(jié)，有些學生參與度不高，可能是因為他們對問題不夠熟悉或者缺乏自信。為了提高學生的參與度，我可以在課前提供一些預習資料，幫助學生提前了解討論內容，并在課堂上給予更多鼓勵和支持。

此外，隨堂測試和課后作業(yè)的反饋顯示，學生在解決實際問題時仍存在一定的困難。這說明我需要進一步加強問題解決能力的培養(yǎng)，通過設計更多具有實際背景的問題，讓學生在課堂上充分練習，提高他們運用所學知識解決實際問題的能力。

在教學方法上，我發(fā)現(xiàn)講授與討論相結合的方式能夠有效提高學生的積極性，但也需要注意控制課堂節(jié)奏，確保每個學生都有機會參與到課堂活動中。同時，我也要關注學生的個體差異，盡可能給予他們個性化的指導和幫助。

最后，課后拓展環(huán)節(jié)的反饋表明，學生對拓展內容表現(xiàn)出較高的興趣。今后，我可以繼續(xù)發(fā)掘更多有趣、實用的拓展資源，鼓勵學生在課后進行自主學習，提高他們的學習興趣和綜合素質。板書設計2.關鍵詞：極值、導數、單調性、最大值、最小值

3.重要句子：

-極值定義：在函數的定義域內，如果存在某點c，使得在c點附近的左、右兩側，函數值都大于（或小于）f(c)，則稱f(c)為函數的極大值（或極小值）。

-導數與極值關系：若函數在某點c處可導，且導數f'(c)=0，則c可能是函數的極值點。

-判斷極值方法：通過導數的符號變化判斷極值類型（極大值或極小值）。

-多極值點處理：分類討論，注意端點情況。

板書設計：

1.函數極值定義

2.導