高中數(shù)學 1.3.1 第2課時 正弦型函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）基礎(chǔ)鞏固 新人教B版必修4

【成才之路】-學年高中數(shù)學1.3.1第2課時正弦型函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）基礎(chǔ)鞏固新人教B版必修4一、選擇題1．函數(shù)y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x＋\f(π,6)))的最小正周期是()A．eq\f(2,5)π B．eq\f(5,2)πC．5π D．eq\f(π,6)[答案]C[解析]T＝eq\f(2π,|ω|)＝eq\f(2π,\f(2,5))＝5π.2．(·陜西咸陽市三原縣北城中學高一月考)曲線y＝sin(2x＋eq\f(π,6))的一條對稱軸是()A．－eq\f(5π,12) B．x＝eq\f(5π,12)C．x＝－eq\f(7π,6) D．x＝eq\f(7π,6)[答案]D[解析]令2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，∴x＝eq\f(π,6)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z.當k＝2時，x＝eq\f(7π,6)，故選D.3．下列表示最值是eq\f(1,2)，周期是6π的三角函數(shù)的表達式是()A．y＝eq\f(1,2)sin(eq\f(x,3)＋eq\f(π,6)) B．y＝eq\f(1,2)sin(3x＋eq\f(π,6))C．y＝2sin(eq\f(x,3)－eq\f(π,6)) D．y＝eq\f(1,2)sin(x＋eq\f(π,6))[答案]A[解析]函數(shù)y＝eq\f(1,2)sin(eq\f(x,3)＋eq\f(π,6))的最大值為eq\f(1,2)，周期為6π，初相為eq\f(π,6)，故選A.4．下列四個函數(shù)中，最小正周期是π且圖象關(guān)于x＝eq\f(π,3)對稱的是()A．y＝sin(eq\f(x,2)＋eq\f(π,6)) B．y＝sin(2x＋eq\f(π,6))C．y＝sin(2x－eq\f(π,3)) D．y＝sin(2x－eq\f(π,6))[答案]D[解析]∵函數(shù)的最小正周期為π，排除A，又∵函數(shù)圖象關(guān)于x＝eq\f(π,3)對稱，∴當x＝eq\f(π,3)時，函數(shù)取最大值或最小值，只有選項D滿足，故選D.5．函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))在區(qū)間[0，π]內(nèi)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,12))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(7π,12)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，\f(11π,12))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))[答案]B[解析]由eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)得eq\f(π,12)＋kπ≤x≤eq\f(7π,12)＋kπ(k∈Z)，∴選B.6．設(shè)點P是函數(shù)f(x)＝sinωx的圖象C的一個對稱中心，若點P到圖象C的對稱軸的距離的最小值是eq\f(π,4)，則f(x)的最小正周期是()A．2π B．πC．eq\f(π,2) D．eq\f(π,4)[答案]B[解析]由題意知eq\f(T,4)＝eq\f(π,4)，∴T＝π，故選B.二、填空題7．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的圖象如圖所示，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)))＝________.[答案]0[解析]由圖象知，T＝eq\f(2π,3)，∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(T,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝0.8．函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分圖象如圖，則y＝________.[答案]sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))[解析]eq\f(T,4)＝2，∴T＝8，ω＝eq\f(π,4)，將點(1,1)代入y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋φ))中得eq\f(π,4)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，∵0≤φ<2π，∴φ＝eq\f(π,4).三、解答題9．(·山東濰坊重點中學高一期末測試)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0<φ<eq\f(π,2))的部分圖象如圖所示，求函數(shù)f(x)的解析式．[解析]由圖象知，周期T＝2(eq\f(11π,12)－eq\f(5π,12))＝π，所以ω＝eq\f(2π,T)＝2.因為點(eq\f(5π,12)，0)在函數(shù)圖象上，所以Asin(2×eq\f(5π,12)＋φ)＝0，即sin(eq\f(5π,6)＋φ)＝0.又因為0<φ<eq\f(π,2)，所以eq\f(5π,6)<eq\f(5π,6)＋φ<eq\f(4π,3).從而eq\f(5π,6)＋φ＝π，即φ＝eq\f(π,6).又點(0,1)在函數(shù)圖象上，所以Asineq\f(π,6)＝1，解得A＝2.故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝2sin(2x＋eq\f(π,6))．INCLUDEPICTURETIF"一、選擇題1．將函數(shù)y＝sin(x－eq\f(π,3))圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再將所得圖象向左平移eq\f(π,3)個單位，得到圖象的解析式是()A．y＝sin(2x＋eq\f(π,3)) B．y＝sin(eq\f(1,2)x－eq\f(π,2))C．y＝sin(eq\f(1,2)x－eq\f(π,6)) D．y＝sin(2x－eq\f(π,6))[答案]C[解析]將函數(shù)y＝sin(x－eq\f(π,3))圖象所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)y＝sin(eq\f(x,2)－eq\f(π,3))的圖象，再將所得函數(shù)圖象向左平移eq\f(π,3)個單位，得到函數(shù)y＝sin[eq\f(1,2)(x＋eq\f(π,3))－eq\f(π,3)]＝sin(eq\f(x,2)－eq\f(π,6))的圖象，故選C.2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)在一個周期內(nèi)的圖象如下，此函數(shù)的解析式為()A．y＝2sin(2x＋eq\f(2π,3)) B．y＝2sin(2x＋eq\f(π,3))C．y＝2sin(eq\f(x,2)－eq\f(π,3)) D．y＝2sin(2x－eq\f(π,3))[答案]A[解析]由圖象可知，A＝2，T＝2[eq\f(5π,12)－(－eq\f(π,12))]＝π，∴ω＝2.∴y＝2sin(2x＋φ)，又∵2×(－eq\f(π,12))＋φ＝eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(2π,3)，∴y＝2sin(2x＋eq\f(2π,3))．3．函數(shù)y＝sin|x|的圖象是()[答案]B[解析]令f(x)＝sin|x|，x∈R，∴f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，∴函數(shù)f(x)＝sin|x|為偶函數(shù)，排除A；又當x＝eq\f(π,2)時，y＝sin|eq\f(π,2)|＝sineq\f(π,2)＝1，排除D；當x＝eq\f(3π,2)時，y＝sin|eq\f(3π,2)|＝sineq\f(3π,2)＝－1，排除C，故選B.4．為了得到函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)＋\f(π,6)))，x∈R的圖象，只需把函數(shù)y＝2sinx，x∈R的圖象上所有的點()A．向左平移eq\f(π,6)個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的eq\f(1,3)倍(縱坐標不變)B．向右平移eq\f(π,6)個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的eq\f(1,3)倍(縱坐標不變)C．向左平移eq\f(π,6)個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變)D．向右平移eq\f(π,6)個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變)[答案]C[解析]將y＝2sinx的圖象向左平移eq\f(π,6)個單位得到y(tǒng)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的圖象，將y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))圖象上各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標不變)，則得到y(tǒng)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(π,6)))的圖象，故選C.二、填空題5．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最大值為3，最小正周期是eq\f(2π,7)，初相是eq\f(π,6)，則這個函數(shù)的解析式為________．[答案]y＝3sin(7x＋eq\f(π,6))[解析]由題意，知A＝3，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,\f(2π,7))＝7，φ＝eq\f(π,6)，∴y＝3sin(7x＋eq\f(π,6))．6．函數(shù)f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的圖象為C，如下結(jié)論中正確的是________(寫出所有正確結(jié)論的編號)．①圖象C關(guān)于直線x＝eq\f(11π,12)對稱；②圖象C關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))對稱；③函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))內(nèi)是增函數(shù)；④由y＝3sin2x的圖象向右平移eq\f(π,3)個單位長度可以得到圖象C.[答案]①②③[解析]feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)))＝3sineq\f(3π,2)＝－3，①正確；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝3sinπ＝0，②正確；f(x)的增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)，令k＝0得增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))，③正確；由y＝3sin2x的圖象向右平移eq\f(π,6)個單位長度可以得到圖象C，④錯誤．三、解答題7．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))的圖象的一個最高點為(2,2eq\r(2))，由這個最高點到相鄰最低點，圖象與x軸交于點(6,0)，試求這個函數(shù)的解析式．[解析]已知函數(shù)最高點為(2,2eq\r(2))，∴A＝2eq\r(2).又由題意知從最高點到相鄰最低點，圖象與x軸相交于點(6,0)，而最高點與此交點沿橫軸方向的距離正好為eq\f(1,4)個周期長度，∴eq\f(T,4)＝6－2＝4，即T＝16.∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,8).∴y＝2eq\r(2)sin(eq\f(π,8)x＋φ)．將點(6,0)的坐標代入，有2eq\r(2)(eq\f(π,8)×6＋φ)＝0，∴sin(eq\f(3π,4)＋φ)＝0，又∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,4).∴函數(shù)的解析式為y＝2eq\r(2)sin(eq\f(π,8)x＋eq\f(π,4))．8．已知函數(shù)f(x)＝2sin(2x＋eq\f(π,6))＋a＋1(其中a為常數(shù))．(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若x∈[0，eq\f(π,2)]時，f(x)的最大值為4，求a的值；(3)求出使f(x)取最大值時x的取值集合．[解析](1)由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，解得－eq\f(π,3)＋kπ≤x≤eq\f(π,6)＋kπ(k∈Z)．∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[－eq\f(π,3)＋kπ，eq\f(π,6)＋kπ](k∈Z)．由eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，解得eq\f(π,6)＋kπ≤x≤eq\f(2π,3)＋kπ，k∈Z.∴函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為[eq\f(π,6)＋kπ，eq\f(2π,3)＋kπ](k∈Z)．(2)∵0≤x≤eq\f(π,2)，∴eq\f