5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)5.2.2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則課件高二數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)5.2.2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊課程標(biāo)準(zhǔn)1.能應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義求幾個常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,并會求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3.掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則,能進(jìn)行導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)知識點(diǎn)1

幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

函數(shù)導(dǎo)數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))f'(x)=0f(x)=xf'(x)=1f(x)=x2f'(x)=2xf(x)=x3f'(x)=3x2f(x)=f'(x)=-f(x)=f'(x)=

過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的打√,錯誤的打×)2.常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0說明什么?××√提示

說明常數(shù)函數(shù)f(x)=c圖象上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為0,即每一點(diǎn)處的切線都平行(或重合)于x軸.知識點(diǎn)2

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

函數(shù)導(dǎo)數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))f'(x)=

f(x)=xα(α∈R,且α≠0)f'(x)=

f(x)=sinxf'(x)=

f(x)=cosxf'(x)=

f(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=

f(x)=exf'(x)=

0αxα-1cosx-sinxaxlnaex函數(shù)導(dǎo)數(shù)f(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=

注意對數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式中,自變量的取值要大于零才有意義f(x)=lnxf'(x)=

名師點(diǎn)睛由于根式函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為冪函數(shù)的形式,因此可以利用冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的打√,錯誤的打×)(1)若f(x)=4x,則f'(x)=4xlog4e.(

)×√2.若f(x)是偶函數(shù),則f'(x)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)?3.[人教B版教材例題]求曲線y=sinx在(0,sin0)處的切線方程.提示

奇函數(shù).解

因為(sin

x)'=cos

x,所以所求切線的斜率為cos

0=1,又因為sin

0=0,所以所求切線方程為y-0=1(x-0),即y=x.知識點(diǎn)3

導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

和的導(dǎo)數(shù)[f(x)+g(x)]'=

差的導(dǎo)數(shù)[f(x)-g(x)]'=

積的導(dǎo)數(shù)[cf(x)]'=cf'(x)(c為常數(shù))[f(x)g(x)]'=

商的導(dǎo)數(shù)

=

(g(x)≠0)

對于不具備導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則結(jié)構(gòu)形式的函數(shù)要進(jìn)行適當(dāng)恒等變形,轉(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式,再求導(dǎo)數(shù)

f'(x)+g'(x)f'(x)-g'(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

名師點(diǎn)睛兩個函數(shù)和與差的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則可以推廣到若干個函數(shù)和與差的情形:[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f1'(x)±f2'(x)±…±fn'(x).過關(guān)自診

2.設(shè)函數(shù)y=-2exsinx,則y'等于(

)A.-2excosxB.-2exsinxC.2exsinxD.-2ex(sinx+cosx)D解析

∵y=-2exsin

x,∴y'=(-2ex)'sin

x+(-2ex)(sin

x)'=-2exsin

x-2excos

x=-2ex(sin

x+cos

x).故選D.重難探究·能力素養(yǎng)全提升重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)公式與運(yùn)算法則的簡單應(yīng)用【例1】

[北師大版教材習(xí)題]求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=x3cosx;(2)y=(log3x)sinx;(3)y=xtanx-2lnx;解

y'=3x2cos

x-x3sin

x.分析根據(jù)每個函數(shù)的解析式的構(gòu)成特點(diǎn),利用求導(dǎo)公式和運(yùn)算法則進(jìn)行求解.(4)y=(x-1)(x-2)(x-3);解

因為y=x3-6x2+11x-6,所以y'=3x2-12x+11.規(guī)律方法

利用公式求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法(1)理解并掌握求導(dǎo)法則和公式的結(jié)構(gòu)規(guī)律,熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式是進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算的前提.(2)進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算時,要善于分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),必要時應(yīng)先對解析式進(jìn)行恒等變形,化簡解析式,再求導(dǎo).(3)要特別注意“y=與y=ln

x”“y=ax與y=logax”“y=sin

x與y=cos

x”的導(dǎo)數(shù)區(qū)別.變式訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):探究點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)公式與運(yùn)算法則求復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例2】

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=x-2+x2;(2)y=3xex-2x+e;解

(1)y'=2x-2x-3.(2)y'=(ln

3+1)·(3e)x-2xln

2.規(guī)律方法

求復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的策略(1)分析待求導(dǎo)的式子符合哪種求導(dǎo)法則,式子的每一部分是由哪種基本初等函數(shù)組合成的,確定求導(dǎo)法則、基本公式.(2)若求導(dǎo)的式子比較復(fù)雜,則需要對式子先變形再求導(dǎo),常用的變形有乘積式展開變?yōu)楹褪角髮?dǎo),商式變乘積式求導(dǎo),三角函數(shù)恒等變換后求導(dǎo)等.(3)利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求導(dǎo)的原則是盡可能化為和、差,能利用和、差的求導(dǎo)法則求導(dǎo)的,盡量少用積、商的求導(dǎo)法則求導(dǎo).探究點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)公式與運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用角度1.解析式中含f'(a)的導(dǎo)數(shù)問題【例3】

已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f'(x),且f(x)=2xf'(1)+ln,則f(1)=(

)A.-e B.2C.-2 D.eB規(guī)律方法

1.函數(shù)解析式中含f'(a)的導(dǎo)數(shù)問題,求解時應(yīng)先將f'(a)看作是一個常數(shù),求出f'(x)后,再令x=a,求f'(a).2.本題中求f(x)=2xf'(1)+ln的導(dǎo)數(shù)可利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),將函數(shù)變形為f(x)=2xf'(1)-ln

x,這樣可以方便求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).D角度2.利用導(dǎo)數(shù)公式及函數(shù)性質(zhì)解題【例4】

已知f1(x)=sinx+cosx,fn+1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù),即f2(x)=f'1(x),f3(x)=f'2(x),…,fn+1(x)=f'n(x),n∈N*,則f2021(x)=(

)A.sinx+cosx

B.sinx-cosxC.-sinx+cosx

D.-sinx-cosxA解析

因為f1(x)=sin

x+cos

x,所以f2(x)=f'1(x)=cos

x-sin

x,f3(x)=f'2(x)=-sin

x-cos

x,f4(x)=f'3(x)=-cos

x+sin

x,f5(x)=f'4(x)=sin

x+cos

x,……因為2

021=505×4+1,所以f2

021(x)=f1(x)=sin

x+cos

x,故選A.規(guī)律方法

涉及與三角函數(shù)有關(guān)的導(dǎo)數(shù)問題,應(yīng)明確三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是周期函數(shù).角度3.用待定系數(shù)法處理求導(dǎo)問題【例5】

設(shè)y=f(x)是二次函數(shù),方程f(x)=0有兩個相等的實(shí)根,且f'(x)=2x+1.求y=f(x)的函數(shù)解析式.解

∵f(x)是二次函數(shù),f'(x)=2x+1,∴f(x)=x2+x+c(c為常數(shù)).又方程f(x)=0有兩個相等的實(shí)根,即x2+x+c=0有兩個相等的實(shí)根,規(guī)律方法

待定系數(shù)法就是用設(shè)未知數(shù)的方法分析所要解決的問題,然后利用已知條件解出所設(shè)未知數(shù),進(jìn)而將問題解決.待定系數(shù)法常用來求函數(shù)解析式,特別是已知具有某些特征的函數(shù).變式訓(xùn)練3已知f'(x)是一次函數(shù),關(guān)于x的方程x2·f'(x)-(2x-1)·f(x)=1對一切x∈R恒成立,求f(x)的解析式.解

由f'(x)為一次函數(shù)可知f(x)為二次函數(shù),設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則f'(x)=2ax+b,則原方程可化為x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1,即(a-b)x2+(b-2c)x+c-1=0,又該方程對一切x∈R恒成立,所以f(x)=2x2+2x+1.探究點(diǎn)四導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合問題【例6】

已知函數(shù)f(x)=x3+x-16.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,-6)處的切線的方程;(2)直線l為曲線y=f(x)的切線,且經(jīng)過原點(diǎn),求直線l的方程及切點(diǎn)的坐標(biāo).分析

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解,但要注意(2)中切線經(jīng)過原點(diǎn),而原點(diǎn)不在曲線上,故應(yīng)另設(shè)切點(diǎn).解

(1)∵f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,∴曲線在點(diǎn)(2,-6)處的切線的斜率k=f'(2)=3×22+1=13,故切線的方程為y+6=13(x-2),即13x-y-32=0.因此y0=(-2)3+(-2)-16=-26,f'(x0)=3×(-2)2+1=13.故直線l的方程為13x-y=0,切點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-26).規(guī)律方法

曲線切線方程的求解方法求曲線的切線方程要注意“過點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異:過點(diǎn)P的切線中,點(diǎn)P不一定是切點(diǎn),點(diǎn)P不一定在已知曲線上;而在點(diǎn)P處的切線,必以點(diǎn)P為切點(diǎn).遇到類似問題時,必須分清所給的點(diǎn)是不是切點(diǎn).如果是切點(diǎn),那么該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即切線的斜率;如果不是切點(diǎn),那么應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),再利用兩點(diǎn)連線的斜率公式與導(dǎo)數(shù)建立聯(lián)系,進(jìn)行求解.