2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)真題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)絕密★啟用前2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試全國(guó)甲卷理科數(shù)學(xué)使用范圍：陜西、寧夏、青海、內(nèi)蒙古、四川注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號(hào)填寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上．2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．3．答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書(shū)寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效．5．考試結(jié)束后，只將答題卡交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若，則（）A. B. C.10 D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算直接求解.【詳解】由，則.故選：A2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合的定義求出，結(jié)合交集與補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，故選：D3.若滿(mǎn)足約束條件，則最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】畫(huà)出可行域后，利用的幾何意義計(jì)算即可得.【詳解】實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，作出可行域如圖：由可得，即的幾何意義為的截距的，則該直線截距取最大值時(shí)，有最小值，此時(shí)直線過(guò)點(diǎn)，聯(lián)立，解得，即，則.故選：D.4.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，即可計(jì)算出公差，即可得的值.【詳解】由，則，則等差數(shù)列的公差，故.故選：B.5.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A.4 B.3 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得焦距，結(jié)合雙曲線定義計(jì)算可得，即可得離心率.【詳解】由題意，設(shè)、、，則，，，則，則.故選：C.6.設(shè)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得其在點(diǎn)處的切線方程，即可得其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得其面積.【詳解】，則，即該切線方程為，即，令，則，令，則，故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積.故選：A.7.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.【詳解】，又函數(shù)定義域?yàn)?，故該函?shù)為偶函數(shù)，可排除A、C，又，故可排除D.故選：B.8.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將弦化切求得，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，故選：B.9.設(shè)向量，則（）A.“”是“”的必要條件 B.“”是“”的必要條件C.“”是“”的充分條件 D.“”是“”的充分條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，則，所以，解得或，即必要性不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，故，所以，即充分性成立，故C正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，則，解得，即必要性不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，不滿(mǎn)足，所以不成立，即充分性不立，故D錯(cuò)誤.故選：C.10.設(shè)為兩個(gè)平面，為兩條直線，且.下述四個(gè)命題：①若，則或②若，則或③若且，則④若與,所成的角相等，則其中所有真命題的編號(hào)是（）A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷③.【詳解】對(duì)①，當(dāng)，因?yàn)椋?，則，當(dāng)，因?yàn)?，，則，當(dāng)既不在也不在內(nèi)，因?yàn)?，，則且，故①正確；對(duì)②，若，則與不一定垂直，故②錯(cuò)誤；對(duì)③，過(guò)直線分別作兩平面與分別相交于直線和直線，因?yàn)椋^(guò)直線的平面與平面的交線為直線，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知，同理可得，則，因?yàn)槠矫?，平面，則平面，因?yàn)槠矫?，，則，又因?yàn)?，則，故③正確；對(duì)④，若與和所成的角相等，如果，則，故④錯(cuò)誤；綜上只有①③正確，故選：A.11.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，則由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根據(jù)正弦定理得，所以，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則.故選：C.12.已知b是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.1 B.2 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將代換，求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.【詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，，代入直線方程得，即，令得，故直線恒過(guò)，設(shè)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，設(shè)圓心為，畫(huà)出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)時(shí)，最小，，此時(shí).故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)中的最大值為_(kāi)_____．【答案】5【解析】【分析】先設(shè)展開(kāi)式中第項(xiàng)系數(shù)最大，則根據(jù)通項(xiàng)公式有，進(jìn)而求出即可求解.【詳解】由題展開(kāi)式通項(xiàng)公式為，且，設(shè)展開(kāi)式中第項(xiàng)系數(shù)最大，則，，即，又，故，所以展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第9項(xiàng)，且該項(xiàng)系數(shù)為.故答案為：5.14.已知圓臺(tái)甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)分別為,，則圓臺(tái)甲與乙的體積之比為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)已知條件和圓臺(tái)結(jié)構(gòu)特征分別求出兩圓臺(tái)的高，再根據(jù)圓臺(tái)的體積公式直接代入計(jì)算即可得解.【詳解】由題可得兩個(gè)圓臺(tái)的高分別為，，所以.故答案為：.15.已知且，則______．【答案】64【解析】【分析】將利用換底公式轉(zhuǎn)化成來(lái)表示即可求解.【詳解】由題，整理得，或，又，所以，故故答案為：64.16.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無(wú)放回地隨機(jī)取3次，每次取1個(gè)球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對(duì)值不大于的概率為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為，第三個(gè)球的號(hào)碼為，則，就的不同取值分類(lèi)討論后可求隨機(jī)事件的概率.【詳解】從6個(gè)不同的球中不放回地抽取3次，共有種，設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為，第三個(gè)球的號(hào)碼為，則，故，故，故，若，則，則為：，故有2種，若，則，則為：，，故有10種，當(dāng)，則，則為：，，故有16種，當(dāng)，則，同理有16種，當(dāng)，則，同理有10種，當(dāng)，則，同理有2種，共與的差的絕對(duì)值不超過(guò)時(shí)不同的抽取方法總數(shù)為，故所求概率為.故答案為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．第17題~第21題為必考題，每個(gè)考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造，升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車(chē)間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：

優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)甲車(chē)間2624050乙車(chē)間70282100總計(jì)96522150（1）填寫(xiě)如下列聯(lián)表：

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車(chē)間

乙車(chē)間

能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有的把握認(rèn)為甲，乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？（2）已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率，設(shè)為升級(jí)改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如果，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）答案見(jiàn)詳解（2）答案見(jiàn)詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計(jì)算，并與臨界值對(duì)比分析；（2）用頻率估計(jì)概率可得，根據(jù)題意計(jì)算，結(jié)合題意分析判斷.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意可得列聯(lián)表：

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車(chē)間2624乙車(chē)間7030可得，因?yàn)?，所以有的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異，沒(méi)有的把握認(rèn)為甲，乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異.【小問(wèn)2詳解】由題意可知：生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品的頻率為，用頻率估計(jì)概率可得，又因?yàn)樯?jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率，則，可知，所以可以認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了.18.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用退位法可求的通項(xiàng)公式．（2）利用錯(cuò)位相減法可求.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，所以即，而，故，故，∴數(shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以【小問(wèn)2詳解】所以故所以，.19.如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合已知易證四邊形為平行四邊形，可證，進(jìn)而得證；（2）作交于，連接，易證三垂直，采用建系法結(jié)合二面角夾角余弦公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，四邊形平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；【小?wèn)2詳解】如圖所示，作交于，連接，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪危?，所以，結(jié)合（1）為平行四邊形，可得，又，所以為等邊三角形，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，為中點(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，，所以為等腰三角形，與底邊上中點(diǎn)重合，，，因?yàn)?，所以，所以互相垂直，以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，即，令，得，即，則，即，令，得，即，，則，故二面角的正弦值為.20.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且軸．（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，證明：軸．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)的坐標(biāo)及軸可求基本量，故可求橢圓方程.（2）設(shè)，，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，用的坐標(biāo)表示，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)前者可得，故可證軸.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，由題設(shè)有且，故，故，故，故橢圓方程為.【小問(wèn)2詳解】直線的斜率必定存在，設(shè)，，，由可得，故，故，又，而，故直線，故，所以，故，即軸.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【答案】（1）極小值為，無(wú)極大值.（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)可求函數(shù)的極值.（2）求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，就、、分類(lèi)討論后可得參數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，故，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，故在上為增函數(shù)，而，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在處取極小值且極小值為，無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故，即，所以在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，故在上，即在上即為減函數(shù)，故在上，不合題意，舍.當(dāng)，此時(shí)在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合題意，舍；綜上，.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下不等式恒成立問(wèn)題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，有時(shí)還需要對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)研究其符號(hào)特征，處理此類(lèi)問(wèn)題時(shí)注意利用范圍端點(diǎn)的性質(zhì)來(lái)確定如何分類(lèi).（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號(hào)涂黑，多涂、錯(cuò)涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫(xiě)出的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線l：（為參數(shù)），若與l相交于兩點(diǎn)，若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)可得的直角方程.（2）將直線的新的參數(shù)方程代入的直角方程，法1：結(jié)合參數(shù)的幾何意義可得關(guān)于的方程，從而可求參數(shù)的值；法2：將直線的直角方程與曲線的直角方程聯(lián)立，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可求的值.【小問(wèn)1詳解】由，將代