2022屆廣西桂林市梧州市高三高考聯(lián)合調(diào)研一模數(shù)學(xué)理試題解析版

2022屆廣西桂林市、梧州市高三高考聯(lián)合調(diào)研（一模）數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知是實(shí)數(shù)集，集合，，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出集合、，利用補(bǔ)集和交集的定義可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，解不等式，可得或，故，因此?故選：B.2．已知復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的和為12，則（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先把已知化簡，整理出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，接下來去求即可解決.【詳解】，則有，，解得，則，，故．故選：C3．已知向量，，，則與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先計(jì)算向量的模，再根據(jù)向量數(shù)量積的定義，將展開，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，設(shè)與的夾角為，，所以，即，解得，故，故選：A.4．北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間的是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)依次為，設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，它的前項(xiàng)和為，且，，則（）A．189 B．252 C．324 D．405【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得出，解方程得出，最后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式得出.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得：，所以.故選：C.5．已知為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為7，到軸的距離為5，則（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義計(jì)算可得；【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為，到軸的距離為，所以，所以；故選：B6．已知，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式對(duì)所求式子進(jìn)行化簡，然后根據(jù)齊次式進(jìn)行求值即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A.7．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A．18 B．36 C．54 D．108【答案】C【分析】結(jié)合已知條件可知幾何體為直三棱柱，然后利用柱體體積公式計(jì)算即可.【詳解】由三視圖可知，幾何體為直三棱柱，如下圖所示：由三視圖中所給數(shù)據(jù)可知，的面積，從而該幾何體體積.故選：C.8．某保險(xiǎn)公司銷售某種保險(xiǎn)產(chǎn)品，根據(jù)2020年全年該產(chǎn)品的銷售額（單位：萬元）和該產(chǎn)品的銷售額占總銷售額的百分比，繪制出如圖所示的雙層餅圖.根據(jù)雙層餅圖，下列說法正確的是（）A．2020年第四季度的銷售額為380萬元B．2020年上半年的總銷售額為500萬元C．2020年2月份的銷售額為60萬元D．2020年12個(gè)月的月銷售額的眾數(shù)為60萬元【答案】D【分析】首先利用第二季度的銷售額占比和銷售總額求出全年的銷售額，然后根據(jù)雙層餅圖逐項(xiàng)求解即可.【詳解】不妨設(shè)全年總銷售額為萬元，則第二季度的銷售額可得，，解得，，選項(xiàng)A：第四季度銷售額為(萬元)，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：由圖可知，上半年銷售額為(萬元)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：由圖可知，1月份和3月份銷售額之和為(萬元)，故2月份的銷售額為(萬元)，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由圖易知，2月份的銷售額占比為，從而由圖可知，月銷售額占比為的月份最多，故月銷售額的眾數(shù)為(萬元)，故D正確.故選：D.9．第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省張家口市舉行．現(xiàn)要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去國家高山滑雪館、國家速滑館、首鋼滑雪大跳臺(tái)三個(gè)場(chǎng)館參加活動(dòng)，要求每個(gè)場(chǎng)館都有人去，且這四人都在這三個(gè)場(chǎng)館，則甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺(tái)的種數(shù)為（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【分析】根據(jù)給定條件利用分類加法計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列、組合知識(shí)計(jì)算作答.【詳解】因甲和乙都沒去首鋼滑雪大跳臺(tái)，計(jì)算安排種數(shù)有兩類辦法：若有兩個(gè)人去首鋼滑雪大跳臺(tái)，則肯定是丙、丁，即甲、乙分別去國家高山滑雪館與國家速滑館，有種；若有一個(gè)人去首鋼滑雪大跳臺(tái)，從丙、丁中選，有種，然后剩下的一個(gè)人和甲、乙被安排去國家高山滑雪館與國家速滑館，有種，則共有種，綜上可得，甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺(tái)的種數(shù)為.故選：B10．在四邊形中（如圖1所示），，，，將四邊形沿對(duì)角線折成四面體（如圖2所示），使得，E，F(xiàn)，G分別為棱，，的中點(diǎn)，連接，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）．A． B．直線與所成角的余弦值為C．C，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)不共面 D．四面體外接球的表面積為【答案】D【分析】以線面垂直去證；選基底以向量法去求直線與所成角的余弦值；觀察法去判斷C，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)不共面；先求四面體外接球的半徑再求其外接球的表面積.【詳解】如圖1，取的中點(diǎn)O，連接，．對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，為等邊三角形，所以，，．因?yàn)?，所以平面，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)，，，則，，又，，則，，，，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，如圖1，連接，則，平面，平面故平面.顯然、是異面直線，所以C，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)不共面，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，如圖2，過的重心H作直線m垂直于平而，過點(diǎn)O作直線n垂直平而，則直線m與直線n交于點(diǎn)Q，即Q為四而體外接球的球心，連接，中，，則，故，在中，，所以，從而，即四而體外接球的半徑，則該外接球的表而積，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：D11．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，為雙曲線的左支上一點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于3，則下列說法正確的是（）A．雙曲線的離心率為B．若，且，則C．以線段，為直徑的兩個(gè)圓外切D．若點(diǎn)到的一條漸近線的距離為，則的實(shí)軸長為4【答案】C【分析】設(shè)，則，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率的方法求得，再由求出結(jié)果，即可判斷A選項(xiàng)；由，得，根據(jù)雙曲線的定義可得，根據(jù)題意得出和，可得出的值，即可判斷B選項(xiàng)；設(shè)的中點(diǎn)為，為原點(diǎn)，則為的中位線，所以，根據(jù)兩個(gè)圓的位置關(guān)系即可判斷C選項(xiàng)；由點(diǎn)到的一條漸近線的距離為，得出，而得出的值，即可得出的實(shí)軸長，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】解：對(duì)于A，設(shè)，則，因?yàn)椋本€與的斜率之積等于3，所以，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，而為雙曲線的左支上一點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義可得，又因?yàn)?，且，所以，則，由，可得，即，解得：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)的中點(diǎn)為，為原點(diǎn)，則為的中位線，所以，則以線段為直徑的圓，圓心為，半徑，以線段為直徑的圓，圓心為，半徑，所以，故兩個(gè)圓外切，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)辄c(diǎn)到的一條漸近線的距離為，所以，又由前面的推理可知，所以，故的實(shí)軸長為，故D錯(cuò)誤.故選：C.12．已知，數(shù)列1，1，2，1，1，2，4，2，1，1，2，4，8，4，2，1，···，1，2，4，···，，，···，2，1，···的前項(xiàng)和為，若，則的最小值為（）A．81 B．90 C．100 D．2021【答案】B【分析】將數(shù)列排成楊輝三角的形式，得到各行所有數(shù)的項(xiàng)及其和的通項(xiàng)公式，再求前i行的數(shù)的和求解.【詳解】依題意，把數(shù)列排列成如下所示的形式：第1行1第2行1，2，1第3行1，2，4，2，1第4行1，2，4，8，4，2，1……第行1，2，4，…，，…，4，2，1可知此數(shù)列第1行有1項(xiàng)，第2行有3項(xiàng)，第3行有5項(xiàng)，…，第行有項(xiàng)，前行共有項(xiàng)．設(shè)第行的個(gè)數(shù)的和為，則．則前行的和，，，所以，．又，，，所以的最小值為90．故選：B二、填空題13．已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若，則______．【答案】1【分析】根據(jù)題意，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可知時(shí)，代入中可求出的值.【詳解】解：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以，解得：.故答案為：1.14．若，滿足約束條件則的最大值為________．【答案】【分析】根據(jù)線性規(guī)劃的約束條件畫出圖像，然后求目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】解：畫出可行域知，直線和直線的交點(diǎn)為.當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，取得最大值．故答案為：15．若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則______．【答案】【分析】先求得曲線在點(diǎn)處的切線，直線與曲線相切時(shí)，需設(shè)切點(diǎn)列方程組可解得參數(shù)a的值.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．設(shè)與相切于點(diǎn)，因?yàn)椋?，則，，可得，從而．故答案為：16．函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，若對(duì)于任意的，，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．【答案】【分析】由題知，進(jìn)而待定系數(shù)得，即，進(jìn)而得，再根據(jù)三角函數(shù)的值域得，，故，解不等式即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．又，由圖知，所以，從而，由得，所以．可化為，當(dāng)，時(shí)，，，所以，解得，即．故答案為：三、解答題17．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，的面積為S，已知，．(1)求a；(2)若，求A．【答案】(1)(2)或.【分析】（1）根據(jù)余弦定理將已知展開化簡，可得到，再根據(jù)，求得結(jié)果.（2）利用三角形的面積公式結(jié)合余弦定理化簡，可求得角，再根據(jù)，結(jié)合正弦定理將邊化為角，可得答案.【詳解】(1)在中，由可得：，即，則，而，所以；(2)由得：，又，所以,則，因?yàn)?，?根據(jù)得，，,又,所以或.18．某中學(xué)組織一支“雛鷹”志愿者服務(wù)隊(duì)，帶領(lǐng)同學(xué)們利用周末的時(shí)間深入居民小區(qū)開展一些社會(huì)公益活動(dòng)．現(xiàn)從參加了環(huán)境保護(hù)和社會(huì)援助這兩項(xiàng)社會(huì)公益活動(dòng)的志愿者中，隨機(jī)抽取男生80人，女生120人進(jìn)行問卷調(diào)查（假設(shè)每人只參加環(huán)境保護(hù)和社會(huì)援助中的一項(xiàng)），整理數(shù)據(jù)后得到如下統(tǒng)計(jì)表：女生男生合計(jì)環(huán)境保護(hù)8040120社會(huì)援助404080合計(jì)12080200(1)能否有99％的把握認(rèn)為學(xué)生參加社會(huì)公益活動(dòng)所選取的項(xiàng)目與學(xué)生性別有關(guān)？(2)以樣本的頻率作為總體的概率，若從本校所有參加社會(huì)公益活動(dòng)的女生中隨機(jī)抽取4人，記這4人中參加環(huán)境保護(hù)的人數(shù)為，求的分布列和期望．附：，其中．0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828【答案】(1)沒有(2)分布列見解析，【詳解】解：（1）因?yàn)椋詻]有99％的把握認(rèn)為學(xué)生參加社會(huì)公益活動(dòng)所選取的項(xiàng)目與學(xué)生性別有關(guān)．（2）由統(tǒng)計(jì)表得，女生參加環(huán)境保護(hù)的頻率為，故從女生中隨機(jī)抽取1人，此人參加環(huán)境保護(hù)的概率為，由題意知，，則，．的分布列為01234故19．如圖，是圓的直徑，圓所在的平面，為圓周上一點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，，．(1)證明：平面平面.(2)若為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明平面得，再根據(jù)幾何關(guān)系得，進(jìn)而得平面，最后結(jié)合判定定理即可證明；（2）根據(jù)題意，以為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)檩S、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)法求解即可.【詳解】(1)證明：因?yàn)閳A所在的平面，即平面，而平面，所以．因?yàn)槭菆A的直徑，為圓周上一點(diǎn)，所以．又，所以平面，而平面，則，因?yàn)?，，所以．又，所以，而為線段的中點(diǎn)，所以．又，所以平面，而平面，故平面平面．(2)解：以為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)檩S、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，則，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則令，得．由（1）知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角為，易知為銳角，則，即二面角的余弦值為．20．已知O坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的上頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，的面積為，原點(diǎn)O到直線AB的距離為．(1)求橢圓C的方程；(2)過C的左焦點(diǎn)F作弦DE，MN，這兩條弦的中點(diǎn)分別為P，Q，若，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出直線的方程為：，原點(diǎn)到直線的距離為，列出關(guān)系式，通過，根據(jù)三角形的面積，求出，，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）依題意可得，即可判斷直線與的斜率均存在，設(shè)：，，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理即可得到點(diǎn)坐標(biāo)，同理得到點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到、，再利用基本不等式及對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】(1)解：由題意，①，，則直線的方程為：，即為，原點(diǎn)到直線的距離為，，，②，③由①②③得：，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；(2)解：由（1）可知，因?yàn)?，所以，若直線或中有一條直線斜率不存在，那么、中一點(diǎn)與重合，故斜率一定存在，設(shè)：，則的斜率為，由可得：，設(shè)，，，，則，，所以，即，同理將代入得，所以，，所以令，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，所以，即面積的最大值為；21．已知函數(shù)，．(1)設(shè)函數(shù)，求的最大值；(2)證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，由此可求得函數(shù)的最大值；（2）原不等式等價(jià)于，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，結(jié)合基本不等式可證得所求不等式成立.【詳解】(1)解：因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，從而．(2)證明：原不等式等價(jià)于，則，令，則，所以，在上單調(diào)遞增．令，則，，所以，存在唯一使得，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要證，即要證．于是原問題轉(zhuǎn)化為證明不等式組，由，得，代入．對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)得，代入，得．因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).22．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為．(1)求圓的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)圓與直線交于點(diǎn)，，若點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2），求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用互化公式，即可將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)題意，直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程得，設(shè)是方程的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理和直線參數(shù)方程中的幾何意義，可知，即可得出結(jié)果.【詳解】(1)