同濟高等數(shù)學(xué)第一章第九節(jié)課件備課講稿

一、連續(xù)函數(shù)的和、積及商的連續(xù)性二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性§1.9連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一、連續(xù)函數(shù)的和、積及商的連續(xù)性定理1設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在點x0連續(xù)

則函數(shù)在點x0也連續(xù)

例1

因為sinx和cosx都在區(qū)間(-

+

)內(nèi)連續(xù)

所以tanx和cotx在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的

三角函數(shù)sinx、cosx、secx、cscx、tanx、cotx在其有定義的區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的首頁>>>反三角函數(shù)arcsinx、arccosx、arctanx、arccotx在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的

下頁二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理2如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加(或減少)且連續(xù)那么它的反函數(shù)x

f1(y)在區(qū)間Iy{y|y

f(x)x

Ix}上也是單調(diào)增加(或減少)且連續(xù)的所以它的反函數(shù)y=arcsinx在區(qū)間[-1

1]上也是連續(xù)的

例2

注:(1)把定理中的x

x0換成x

可得類似的定理

提示:定理3

例3

解

下頁設(shè)函數(shù)y

f[g(x)]由函數(shù)y

f(u)與函數(shù)u

g(x)復(fù)合而成

>>>設(shè)函數(shù)y

f[g(x)]由函數(shù)y

f(u)與函數(shù)u

g(x)復(fù)合而成U(x0)Dfog若函數(shù)u

g(x)在點x0連續(xù)函數(shù)y

f(u)在點u0

g(x0)連續(xù)則復(fù)合函數(shù)y

f[j(x)]在點x0也連續(xù)下頁定理4定理3設(shè)函數(shù)y

f[g(x)]由函數(shù)y

f(u)與函數(shù)u

g(x)復(fù)合而成

sinu當(dāng)-

<u<+

時是連續(xù)的

例4

首頁

解內(nèi)是連續(xù)的

三、初等函數(shù)的連續(xù)性結(jié)論

注:

所謂定義區(qū)間

就是包含在定義域內(nèi)的區(qū)間

下頁基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)三、初等函數(shù)的連續(xù)性結(jié)論

基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例如,的連續(xù)區(qū)間為(端點為單側(cè)連續(xù))的連續(xù)區(qū)間為的定義域為因此它無連續(xù)點而

例6

例5

解

解

下頁利用連續(xù)性求極限舉例

例7

令a

x-1=t

解

則x=log

a(1+t)

x

0時t

0

于是利用連續(xù)性求極限舉例例題>>>下頁

解

因為利用定理3及極限的運算法則

便有

利用連續(xù)性求極限舉例結(jié)束說明:若則有思考與練習(xí)續(xù)?

反例

x為有理數(shù)

x為無理數(shù)反之是否成立?提示:“反之”不成立.堂上練習(xí)P653(6),(7);4(5),(