2021屆湖南省高三數(shù)學(xué)模擬試題黑卷解析版

2021屆湖南省高三數(shù)學(xué)模擬試題（黑卷）一、單選題1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用補(bǔ)集的定義可得集合.【詳解】由已知條件可得.故選：A.2．（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)的乘法法則計(jì)算．【詳解】.故選：D．3．韋伯-費(fèi)希納定律是表明心理量和物理量之間關(guān)系的定律，其中心理量和物理量之間滿(mǎn)足關(guān)系式(其中表示心理量，是常數(shù)，表示物理量，是積分常數(shù))，表示的含義是心理量和物理量的對(duì)數(shù)值成正比，通過(guò)研究表明，當(dāng)，.若，則的值大約為(參考數(shù)據(jù)：)（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題干給出的關(guān)系式與數(shù)據(jù)，可求出心理量和物理量之間所滿(mǎn)足的完整關(guān)系式子，即可求出當(dāng)時(shí)，的大約取值.【詳解】已知，當(dāng)時(shí);將數(shù)據(jù)代入關(guān)系式：，可得；所以，心理量和物理量之間滿(mǎn)足的關(guān)系式子為：；當(dāng)時(shí)，代入關(guān)系式可得.故選：D.4．岳陽(yáng)樓與湖北武漢黃鶴樓，江西南昌滕王閣并稱(chēng)為“江南三大名樓”，是“中國(guó)十大歷史文化名樓”之一，世稱(chēng)“天下第一樓”.其地處岳陽(yáng)古城西門(mén)城墻之上，緊靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于東漢建安二十年(215年)，歷代屢加重修，現(xiàn)存建筑沿襲清光緒六年(1880年)重建時(shí)的形制與格局.因北宋滕宗諒重修岳陽(yáng)樓，邀好友范仲淹作《岳陽(yáng)樓記》使得岳陽(yáng)樓著稱(chēng)于世.自古有"洞庭天下水，岳陽(yáng)天下樓"之美譽(yù).小李為測(cè)量岳陽(yáng)樓的高度選取了與底部水平的直線(xiàn)，如圖，測(cè)得，，米，則岳陽(yáng)樓的高度約為(，)（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】在Rt△ADC中用CD表示AC，Rt△BDC中用CD表示BC，建立CD的方程求解即得.【詳解】Rt△ADC中，，則，Rt△BDC中，，則，由AC-BC=AB得，約為米.故選：B5．已知向量，滿(mǎn)足，，若與共線(xiàn)，則（）A．2 B．4 C． D．22【答案】A【分析】先根據(jù)向量共線(xiàn)求解出的值，然后根據(jù)向量的模長(zhǎng)以及數(shù)量積采用先平方再開(kāi)根號(hào)的方法求解出的大小.【詳解】因?yàn)榕c共線(xiàn)，所以，.又，，所以.故選：A.6．某公司銷(xiāo)售六種不同型號(hào)的新能源電動(dòng)汽車(chē)、、、、、，為了讓顧客選出自己心儀的電動(dòng)汽車(chē)，把它們按順序排成一排，必須安排在前兩個(gè)位置，、不相鄰，則不同的排法有（）A．144種 B．156種 C．160種 D．178種【答案】B【分析】本題可分為安排在第一個(gè)位置、安排在第二個(gè)位置兩種情況進(jìn)行討論，然后將安排在第二個(gè)位置分為第一個(gè)位置安排或、第一個(gè)位置不安排或兩種情況進(jìn)行討論，即可得出結(jié)果.【詳解】若安排在第一個(gè)位置，然后排列、、，有種，、用插空法進(jìn)行排列，則這種情況共有種排法；若安排在第二個(gè)位置，第一個(gè)位置安排或，再安排其它，則有種排法；若安排在第二個(gè)位置，第一個(gè)位置不安排或，從、、中選一個(gè)安排在第一個(gè)位置，再排其他兩個(gè)，最后用插空法排列、，有種排法，綜上所述，共有種排法，故選：B.7．已知長(zhǎng)方體中，，，是上任意一點(diǎn)(不是端點(diǎn))，是的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的正切值的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)∥可以得到與所成角即為與所成角，從而得到，進(jìn)一步求出的最小值，最終求出答案.【詳解】如圖所示，取中點(diǎn)，連接，，∵是中點(diǎn)，且為正方形，∴∥∥則與所成角即為與所成角，設(shè)角度為又∵AB⊥平面∴⊥平面又∵平面,∴∴∵==3為定值，∴要使最小，則最小，當(dāng)最小時(shí),需⊥∵∠=∠∴△∽△∴又∵∴此時(shí)∴異面直線(xiàn)與所成角的正切值的最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】求異面直線(xiàn)的夾角：1.求異面直線(xiàn)的夾角的一般步驟是:“作—證—算—答”;2.通過(guò)平移,在一條直線(xiàn)上找一點(diǎn),過(guò)該點(diǎn)做另一直線(xiàn)的平行線(xiàn),這兩條相交直線(xiàn)所成的銳角(或直角)即為所求的角；3.同時(shí)作兩條異面直線(xiàn)的平行線(xiàn),并使它們相交所成的銳角(或直角)即為所求的角；4.向量法:用向量的夾角公式求解.8．已知函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】函數(shù)零點(diǎn)即方程的解，（），取對(duì)數(shù)得，此方程有兩個(gè)解，引入函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的變化趨勢(shì)，然后由零點(diǎn)存在定理可得結(jié)論．【詳解】顯然，有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程，在上有兩個(gè)解，兩邊取對(duì)數(shù)得到，令，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，則，解得.所以正數(shù)的取值范圍是.故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，解題關(guān)鍵是進(jìn)行轉(zhuǎn)化，函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的解，對(duì)方程變形后，引入新函數(shù)，再轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理求解．二、多選題9．某次音樂(lè)節(jié)，評(píng)委給支樂(lè)隊(duì)的評(píng)分（十分制）如下圖，下列說(shuō)法正確的是（）A．支樂(lè)隊(duì)評(píng)分的極差為B．支樂(lè)隊(duì)中評(píng)分不低于分的有支C．支樂(lè)隊(duì)評(píng)分的平均數(shù)約為D．第支到第支樂(lè)隊(duì)的評(píng)分逐漸降低【答案】ABC【分析】根據(jù)折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖逐項(xiàng)分析可得合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖可知，支樂(lè)隊(duì)評(píng)分的極差為，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖可知，支樂(lè)隊(duì)中評(píng)分不低于分的有支，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，支樂(lè)隊(duì)評(píng)分的平均數(shù)為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖可知，從第支到第支樂(lè)隊(duì)評(píng)分上升，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.10．已知函數(shù)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離為，.則（）A．B．的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)C．的單調(diào)遞減區(qū)間為D．的解集為【答案】BCD【分析】由給定條件求出函數(shù)的解析式，滿(mǎn)足選項(xiàng)A，B，C，D的條件時(shí)進(jìn)行各自處理即可得解.【詳解】依題意，函數(shù)的周期T有，即，則，A錯(cuò)誤；，而，則，，對(duì)于B選項(xiàng)：時(shí)，，2為最大值，即的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：由得，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：，得，即的解集為，D正確.故選：BCD11．若，則（）A． B． C． D．【答案】AD【分析】A．根據(jù)已知條件先分析函數(shù)的單調(diào)性，然后比較出的大??；B．取，進(jìn)行判斷即可；C．取，進(jìn)行判斷即可；D．根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及的大小關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】A．設(shè)，因?yàn)榭苫癁椋瑒t，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，因此在上單調(diào)遞增，所以，故正確；B．由A項(xiàng)得，當(dāng)，時(shí)，，，此時(shí)，故錯(cuò)誤；C．由A項(xiàng)得，當(dāng)，時(shí)，，故錯(cuò)誤；D．因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，由，可得，即，故正確；故選：AD.12．已知雙曲線(xiàn)，圓.（）A．圓的圓心在雙曲線(xiàn)上B．若雙曲線(xiàn)的焦距為4，則C．雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)與圓的圓心構(gòu)成的三角形的面積為D．若圓與軸和雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)均相切，則離心率【答案】BD【分析】對(duì)于A，將圓心代入雙曲線(xiàn)方程進(jìn)行驗(yàn)證即可；對(duì)于B，，根據(jù)不等式可以證明；對(duì)于C，寫(xiě)出三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，按照三角形面積公式求解；對(duì)于D，直線(xiàn)與圓相切，利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，從而求得參數(shù)a，b，c，從而求得離心率.【詳解】圓的圓心為，代入雙曲線(xiàn)方程得，因不能判斷與1的關(guān)系，從而不能判斷圓的圓心是否在雙曲線(xiàn)上，故A錯(cuò)誤；若雙曲線(xiàn)的焦距為4，則，，由基本不等式的性質(zhì)知，故B正確；雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)為與構(gòu)成的三角形面積為，故C錯(cuò)誤；圓的圓心為，半徑為，若與軸相切，則，此時(shí)圓在第一象限，則與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)相切，即，解得，則，離心率，故D正確；故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：熟練應(yīng)用雙曲線(xiàn)及圓的性質(zhì)，化簡(jiǎn)條件，得到參數(shù)的值，從而求解問(wèn)題.三、填空題13．已知等差數(shù)列，，，則___________.【答案】【分析】求出等差數(shù)列的公差，利用可得出關(guān)于的等式，即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，可得，，可得，解得.故答案為：.14．已知隨機(jī)變量，則___________.【答案】【分析】由二項(xiàng)分布的概率公式有，結(jié)合已知求，進(jìn)而求即可.【詳解】由題意知：，易知，∴.故答案為：.15．已知直線(xiàn)(斜率大于)的傾斜角的正弦值為，在軸上的截距為，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn).若，則___________.【答案】4【分析】先求出直線(xiàn)的斜率，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C的方程，借助弦長(zhǎng)公式即可得解.【詳解】依題意，直線(xiàn)的傾斜角為45o，斜率k=1，直線(xiàn)的方程為：y=x+2，由得，設(shè)，則，從而有，即，而p>0，解得p=4.故答案為：4【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：直線(xiàn)l：y=kx+b上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)間的距離；直線(xiàn)l：x=my+t上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)間的距離.四、雙空題16．中國(guó)最早的化妝水是年在香港開(kāi)設(shè)的廣生行生產(chǎn)的花露水，其具有保濕、滋潤(rùn)、健康皮膚的功效.已知該化妝水容器由一個(gè)半球和一個(gè)圓柱組成（其中上半球是容器的蓋子，化妝水儲(chǔ)存在圓柱中），容器軸截面如圖所示，上部分是半圓形，中間區(qū)域是矩形，其外周長(zhǎng)為.則當(dāng)圓柱的底面半徑___________時(shí)，該容器的容積最大，最大值為_(kāi)__________.【答案】【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，根據(jù)已知條件可得出，根據(jù)柱體的體積公式可得，利用導(dǎo)數(shù)可求得的最大值及其對(duì)應(yīng)的的值，即為所求.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，圓柱的高為.則由題意可得，所以.由，得.故容器的容積，容易忽略上半球是容器的蓋子，化妝水儲(chǔ)存在圓柱中.，令，解得（舍）或.顯然當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，.故答案為：；.五、解答題17．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且.（1）求；（2）若，求的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式，特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）根據(jù)正弦定理，，因?yàn)?，所以，因此有，因?yàn)椋?；?）由余弦定理可知：，解得，（舍去），因此的面積為.18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使得成立的的最大值.【答案】（1）；（2）最大值6.【分析】（1）本題可根據(jù)得出，然后通過(guò)求出，最后根據(jù)等比數(shù)列的定義即可求出結(jié)果；（2）本題首先可通過(guò)分組求和法得出，然后通過(guò)求解即可得出結(jié)果.【詳解】（1），即，，因?yàn)?，，所以，，則數(shù)列是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，，.（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，因?yàn)椋越獾?，使得成立的的最大值?19．經(jīng)驗(yàn)表明，一般樹(shù)的胸徑(樹(shù)的主干在地面以上處的直徑)越大，樹(shù)就越高.由于測(cè)量樹(shù)高比測(cè)量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測(cè)樹(shù)高.下面給出了某林場(chǎng)在研究樹(shù)高與胸徑之間的關(guān)系時(shí)收集的某種樹(shù)的數(shù)據(jù).編號(hào)胸徑樹(shù)高編號(hào)胸徑樹(shù)高（1）根據(jù)表格繪制樹(shù)高與胸徑之間關(guān)系的散點(diǎn)圖；（2）分析樹(shù)高與胸徑之間的相關(guān)關(guān)系，并求關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程；（3）預(yù)測(cè)當(dāng)樹(shù)的胸徑為時(shí)，樹(shù)的高度約為多少.(精確)附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，；參考數(shù)據(jù)：，.【答案】(1)作圖見(jiàn)解析；(2)樹(shù)高與胸徑之間正相關(guān)，；(3)27.47cm【分析】(1)畫(huà)直角坐標(biāo)系，橫軸為胸徑，縱軸為樹(shù)高，把12個(gè)以胸徑為橫坐標(biāo)，樹(shù)高為縱坐標(biāo)的點(diǎn)在坐標(biāo)系內(nèi)描出即可得解；(2)觀(guān)察散點(diǎn)圖可得樹(shù)高，胸徑的相關(guān)性，再求出x，y的平均數(shù)，利用最小二乘法即可得回歸直線(xiàn)方程；(3)回歸直線(xiàn)方程中x取50.6即可得樹(shù)高的預(yù)測(cè)值.【詳解】(1)作出散點(diǎn)圖如下：(2)由散點(diǎn)圖可看出，當(dāng)胸徑x由小變大時(shí)，樹(shù)高y也由小變大，從而y與x之間是正相關(guān)關(guān)系，，，從而，，從而關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程是；(3)當(dāng)x=50.6時(shí)，即當(dāng)樹(shù)的胸徑為時(shí)，樹(shù)的高度約為cm.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，而不是真實(shí)發(fā)生的值．20．在長(zhǎng)方體中，已知，為的中點(diǎn).（1）在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，請(qǐng)加以證明，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）設(shè)，，點(diǎn)在上且滿(mǎn)足，求與平面所成角的余弦值.【答案】（1）存在，證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）利用線(xiàn)面判定定理證得平面和平面，然后利用面面平行的判定定理證得結(jié)論.；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)及空間向量，設(shè)，利用共線(xiàn)求得點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)與平面所成角為，利用結(jié)合空間向量數(shù)量積求得結(jié)果..【詳解】解：（1）存在，當(dāng)點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，平面平面.證明：在長(zhǎng)方體中，，.又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，且.故四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?又因?yàn)?，平面，平面，所以平面平?（2）在長(zhǎng)方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.因?yàn)椋?，所以，，，，，所以，?設(shè)平面的法向量為，則，即.令，則，，所以，因?yàn)?，設(shè)，則，所以，則.設(shè)與平面所成角為，則，即.故與平面所成角的余弦值為.21．在數(shù)學(xué)中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)?形式相同的兩個(gè)式子稱(chēng)為同構(gòu)式，相應(yīng)的方程稱(chēng)為同構(gòu)方程，相應(yīng)的不等式稱(chēng)為同構(gòu)不等式.若關(guān)于的方程和關(guān)于的方程可化為同構(gòu)方程.（1）求的值；（2）已知函數(shù).若斜率為的直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于，兩點(diǎn)，求證：.【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)同構(gòu)方程的定義，以及關(guān)于的方程和關(guān)于的方程可化為同構(gòu)方程知，；在單調(diào)遞增，所以方程的解只有一個(gè)得，則可得；（2）將所要證明的轉(zhuǎn)化為證明利用換元法將雙變量化為單變量，故等價(jià)于證，通過(guò)證明和來(lái)達(dá)到證明原式的目的.【詳解】（1）對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)，得(1),對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)，得即，因?yàn)?1)(2)方程為兩個(gè)同構(gòu)方程，所以，解得，設(shè)，則,所以在單調(diào)遞增，所以方程的解只有一個(gè),所以，所以，故.（2）由（1）知：所以要證，即證明等價(jià)于令，則只要證明即可，由知，，故等價(jià)于證設(shè)則，即在單調(diào)遞增，故，即.設(shè)則，即在單調(diào)遞增，故，即。由上可知成立，則.【點(diǎn)睛】深刻理解題中同構(gòu)方程的含義進(jìn)行計(jì)算，會(huì)將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用減少變量個(gè)數(shù)