滬教版 六年級(jí)數(shù)學(xué) 一元一次方程解法及其應(yīng)用

出一元一次方程解法及其應(yīng)用生

o課前測(cè)試

【題目】課前測(cè)試

某種商品的標(biāo)價(jià)為220元，為了吸引顧客，按9折出售，這時(shí)可盈利10%,求這種商品的

進(jìn)價(jià)。

【答案】180

【解析】首先要清楚9折出售也就是標(biāo)價(jià)乘以0.9,然后要知道：售價(jià)-進(jìn)價(jià)=利潤(rùn)，題目中

說(shuō)的可盈利10%一般是在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上，也就是盈利進(jìn)價(jià)的10%,因此假設(shè)進(jìn)價(jià)為x,根

據(jù)等量關(guān)系列出方程求解即可。

解：設(shè)這種商品的進(jìn)價(jià)是x元

貝惰220x0.9-x=10%x

x=180

答：這種商品的進(jìn)價(jià)是180元。

總結(jié)：此即考直了一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用售價(jià)、進(jìn)價(jià)、利潤(rùn)之間的等量關(guān)系

列方程進(jìn)行求解。

【難度】4

【題目】課前測(cè)試

某商店以每件300元的價(jià)格賣(mài)出兩件衣服，其中一件盈利25%,另一件虧損20%,那么商

店賣(mài)出這兩件衣服總的是（）.

A.盈利15元B.虧損15元C盈利40元D.虧損40元

【答案】B

【解析】此題要分別列方程求出兩件衣服的進(jìn)價(jià)，然后可以算出分別賺了多少，虧了多少,

那么就可以求出兩件衣服總的盈虧。

解：設(shè)第一件衣服的進(jìn)價(jià)為x元，

依題意得：x（1+25%）=300.

解得：x=240,

所以賺了：300-240=60（元）；

設(shè)第二件衣服的進(jìn)價(jià)為y元，

依題意得：y（1-20%）=300,

解得：y=375,

所以賠了：375-300=75（元），

則兩件衣服一共賠了75-60=15（元）.

故選：B.

總結(jié)：此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是理解題意，列方程分別求出兩

件衣服的進(jìn)價(jià)，進(jìn)而求出總盈虧。

【難度】4

o知識(shí)定位

適用范圍滬教版，六年級(jí)，成績(jī)中等以及中等以下

知識(shí)點(diǎn)概述:一元一次方程是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，為一元一次不等式、一元二

次方程、方程組或函數(shù)等的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，常在應(yīng)用題中需要設(shè)未知數(shù)列方程來(lái)解題，更

方便同學(xué)們的理解和加深記憶。

適用對(duì)象成績(jī)中等以及中等以下

;主意事項(xiàng)大部分學(xué)生試聽(tīng)這個(gè)內(nèi)容主要想聽(tīng)如何根據(jù)具體問(wèn)題中的相等關(guān)系列出方程。

重點(diǎn)選講:

①一元一次方程及其解法

I

②一元一次方程與實(shí)際問(wèn)題

③一元一次方程的應(yīng)用

逢知識(shí)梳理

⑥知識(shí)梳理1:一元一次方程及其解法

1國(guó)?1、概念:只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是一次的方程叫做一元一次方程。

其中ax+b=O叫做一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式

a是指未知數(shù)的系數(shù)，a/Ob是常數(shù)

一元一次方程屬于整式；

方程，方程兩邊都是整式i

x是未知數(shù)

潛,2、方程的解：

使方程等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。

例如：x=3是一元一次方程2x-5=l的解

潛？3、等式的性質(zhì)：

(1)等式兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或含有一個(gè)字母的式子，所得結(jié)果仍然是

等式；

(2)等式兩邊同時(shí)乘以同一個(gè)數(shù)(或除以同一個(gè)不為零的數(shù))，所得結(jié)果仍然是等式。

遜:4、去括號(hào)的法則：

括號(hào)前帶"+”號(hào)，去掉括號(hào)時(shí)括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都不變符號(hào)，?括號(hào)前帶"一"號(hào)，去掉括號(hào)

時(shí)括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都改變符號(hào)。

福解一元一次方程的一般步驟:

1.去分母：在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)

2.去括號(hào)：先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)

3.移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊

4.合并同類(lèi)項(xiàng)：把方程化成ax=b(a/O)的形式

5.系數(shù)化成1:在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解

⑥知識(shí)梳理2:一元一次方程與實(shí)際問(wèn)題

設(shè)未知數(shù)列方程

一兀一次方程j1

《U》蹦慈噬律蜘時(shí)郵隨額嚼脖髓麻；

⑶情謂邕

jMMMMHIWMSU

亳例題精講

【題目】題型1:一元一次方程及其解祖

已知X=1是方程a(X+1)=2(2x-a)的解，求a的值。

【答案】1

【解析】試題分析：因?yàn)閤=l是方程a(x+l)=2(2x-a)的解，所以把x=l代入方程a

(x+1)=2(2x-a)中,即可求出a的值。

解：根據(jù)題意將x=l代入方程得：2a=2(2-a)

解得:a=l.

故答案為：1.

總結(jié)：此題考查了方程的解的定義，方程的解就是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值。

【難度】3

【題目】題型1變式練習(xí)1：一元一次方程及其解渴

如果x=-2是方程kx+k-l=O的解,求k的值。

【答案】-1

【解析】試題分析：因?yàn)閤=-2是方程kx+k-l=O的解，所以把x=-2代入方程kx+k-l=O

中，即可求出k的值。

解：把x=-2代入方程，得:-2k+k-l=0,

解得：k=-l.

故填-1.

總結(jié)：已知條件中涉及方程的解，把方程的解代入原方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于字母k的方程進(jìn)行

求解。

【難度】3

【題目】

題型1變式練習(xí)2:一元一次方程及其解法

5x-ll+2x

解方程：-----------Z=---------

32

17

【答案】"了

【解析】試題分析：首先去分母，方程兩邊同乘以3和2的最小公倍數(shù)，然后去括號(hào)、移

項(xiàng)、系數(shù)化為1等進(jìn)行解題，務(wù)必保證計(jì)算的準(zhǔn)確性。

解：2(5x-l)-2x6=3(l+2x)方程兩邊同乘以6

10x-2-12=3+6x去括號(hào)

10x-6x=3+2+12移項(xiàng)（把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)左邊，把常

4x=17數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊，注意移項(xiàng)時(shí)符號(hào)要變號(hào)）

17

x=-系數(shù)化為1

總結(jié)：嚴(yán)格按照解方程的一般步驟進(jìn)行，一定要學(xué)生提高計(jì)算的準(zhǔn)確率，剛開(kāi)始不要圖快。

【難度】3

【題目】題型2:一元一次方程與實(shí)際問(wèn)題

甲、乙兩人從學(xué)校到博物館去，甲每小時(shí)走4km,乙每小時(shí)走6km,甲先出發(fā)lh,結(jié)果

乙還比甲早到lh。設(shè)學(xué)校到博物館的距離為S,則以下列方程正確的是（）

“S?S?cSS?

A.—1-1=----1B.—=1

4646

Ss

C.——1=-+1D.4S-1=6S+1

46

【答案】C

試題分析:時(shí)間=路程+速度，學(xué)校到博物館的距離為S，甲每小時(shí)走4km，乙每小時(shí)走6km,

所以甲需要的時(shí)間是二,乙需要的時(shí)間是不。由于題目說(shuō)甲先出發(fā)lh,所以時(shí)間多加lh,

40

而乙早到說(shuō)明時(shí)間少了

lh,lho

解：根據(jù)題意可知，

qq

甲的時(shí)間是不+1,乙的時(shí)間是7-1

04

qs

所以可列方程為：丁-1=丁+1

40

總結(jié)：本題考查了列一元一次方程與實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)速度、時(shí)間、路程找到合適的等量關(guān)系

列出方程。

【難度】3

【題目】題型2變式練習(xí)1:一元一次方程與實(shí)際問(wèn)題

一款新型的太陽(yáng)能熱水器進(jìn)價(jià)2000元，標(biāo)價(jià)3000元，若商場(chǎng)要求以利潤(rùn)率不低于5%的

售價(jià)打折出售，則設(shè)銷(xiāo)售員出售此商品最低可打折x折，由題意列方程.

【答案】3000*^=2000*(1+5%)

【解析】

試題分析：打9折是乘以0.9,所以打x折是乘以歷,然后根據(jù)利潤(rùn)率=(售價(jià)-進(jìn)價(jià)),

進(jìn)價(jià)x100%列方程。

解：利潤(rùn)率=(售價(jià)-進(jìn)價(jià))一進(jìn)價(jià)x100%

Y

5%=(3000*--2000)+2000x100%

10

即：3000哈=2000?(1+5%)

總結(jié)：本題考查了列一元一次方程與實(shí)際問(wèn)題，理解什么情況下售價(jià)最低,并且理解打折的

含義，是解決本題的關(guān)鍵。

【難度】3

【題目】題型2變式練習(xí)2:一元一次方程與實(shí)際問(wèn)題

3年前，父親的年齡是兒子年齡的4倍，3年后父親的年齡是兒子年齡的3倍，求父子今年

各是多少歲？設(shè)3年前兒子的年齡為x歲，則可列方程.

【答案】4x+6=3(x+6)

【解析】試題分析：首先時(shí)間基準(zhǔn)是現(xiàn)在，發(fā)生的事件是3年前和3年后。3年前兒子的年

齡為x歲，那么3年前父親的年齡就是4x歲；因此3年后兒子的年齡就是x+6歲，3年后

父親的年齡是4x+6歲，由此列出方程。

解：年前,父親的年齡是兒子年齡的4倍，3年前兒子年齡為x歲，

二3年前父親的年齡為4x歲，

；3年后父親的年齡是兒子年齡的3倍,

4x+6=3x(x+6)

解得x=12,4x=48

12+3=15,48+3=51

即今年兒子的年齡為15歲，父親的年齡，51歲.

故答案為：4x+6=3(x+6).

總結(jié)：本題考查了列一元一次方程解決年齡問(wèn)題，得到3年后父子二人年齡的等量關(guān)系是

解決本題的關(guān)鍵。

【難度】3

【題目】題型3:一元一次方程的應(yīng)用

有一個(gè)底面半徑為10cm，高為30cm的圓柱形大杯中存滿了水，把水倒入一個(gè)底面直徑為

10cm的圓柱形小杯中，剛好倒?jié)M12杯，求小杯的高。

【答案】10cm

【解析】試題分析：本題你需要知道的是圓柱形玻璃杯水的容積也就是圓柱體體積的計(jì)算公

式，12杯小杯的體積=1杯大杯的體積，由此列方程解題。

解：設(shè)小杯的高為X,

根據(jù)題意得:nxlO2x3O=nx(10-2)2?xxl2

解得:x=10

則小杯的高為10cm.

總結(jié)：本題主要是讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件找到合適的等量關(guān)系，列出方程求

解。

【難度】3

【題目】題型3變式練習(xí)1:一元一次方程的應(yīng)用

學(xué)校安排學(xué)生住宿，若每間房住8人，則12人無(wú)法入??；若每間房住9人,則空余2間房,

求這個(gè)學(xué)?？偣灿卸嗌僮∷奚?？

【答案】252人

【解析】試題分析：這一題中有兩個(gè)未知量，房間數(shù)量和住宿生總?cè)藬?shù)，所以設(shè)未知數(shù)的時(shí)

候要考慮一下，直接設(shè)住宿生總?cè)藬?shù)還是設(shè)房間數(shù)量？最好設(shè)房間數(shù)量，然后把住宿生人數(shù)

表示出來(lái)：8x房間數(shù)量+12=9x(房間數(shù)量-2)

解：設(shè)宿舍有x間房，則：

8x+12=9(x-2),

解得x=30,

.8x+12=252.

答：這個(gè)學(xué)校的住宿生有252人.

總結(jié)：本題主要是讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件找到合適的等量關(guān)系，列出方程求

解。當(dāng)有兩個(gè)未知量時(shí)，最好設(shè)數(shù)目較小的數(shù)為未知量。

【難度】3

【題目】題型3變式練習(xí)1:一元一次方程的應(yīng)用

在如圖所示的2018年1月的月歷表中，任意框出表中數(shù)列上的3個(gè)相鄰的數(shù)，這三個(gè)數(shù)的

和不可能是().

日一二三四五六

1?2：3456

78；9；10111213

1415-■16―：17181920

21222324252627

28293031

A.27B.51C.65D.72

【答案】C

【解析】試題分析：設(shè)第一個(gè)數(shù)為x,那么第二個(gè)數(shù)為x+7,第三個(gè)數(shù)為x+14,根據(jù)選項(xiàng)

列出這三個(gè)數(shù)和的方程，如果能求出整數(shù)x就存在。

解：設(shè)第一個(gè)數(shù)為x,則第二個(gè)數(shù)為x+7,第三個(gè)數(shù)為x+14

故三個(gè)數(shù)的和為x+x+7+x+14=3x+21

當(dāng)x=17時(shí)，3x+21=72;

當(dāng)x=10時(shí),3x+21=51;

當(dāng)x=2時(shí),3x+21=27.

故任意圈出一豎列上相鄰的三個(gè)數(shù)的和不可能是65.

故選：C.

總結(jié)：本題主要是讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件找到合適的等量關(guān)系，列出方程求

解。

【難度】3

【題目】題型3變式練習(xí)2:一元一次方程的應(yīng)用

一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字的2倍多1,如果個(gè)位和十位的數(shù)字交換位置，得到一個(gè)

新的兩位數(shù)比原兩位數(shù)的2倍多2,則原兩位數(shù)是多少？

【答案】

【解析】試題分析：首先要給學(xué)生分析兩位數(shù)是怎么組成的，是10x十位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字。

設(shè)原來(lái)的十位數(shù)字是x,則個(gè)位數(shù)字是2x+l,那么原來(lái)的兩位數(shù)是10x+(2x+l),個(gè)位、

十位對(duì)調(diào)后，十位數(shù)字是2x+l,個(gè)位數(shù)字是x,那么現(xiàn)在的兩位數(shù)是10(2x+l)+x,然

后根據(jù)已知條件列等式。

解：由題意可得，

10(2x+l)+x=2[10x+(2x+l)]+2

解得：x=2

答：原來(lái)的這個(gè)兩位數(shù)是：25

總結(jié)：本題主要是讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件找到合適的等量關(guān)系，列出方程求

解。

【難度】3

【題目】興趣篇1

利用方程解決下面問(wèn)題：相傳有個(gè)人不講究說(shuō)話藝術(shù)常引起誤會(huì)，一天他擺宴席請(qǐng)客，他看

到還有幾個(gè)人沒(méi)來(lái)，就自言自語(yǔ)："怎么該來(lái)的還不來(lái)呢？"客人聽(tīng)了，心想難道我們是不

該來(lái)的，于是有一半客人走了，他一看十分著急，又說(shuō)："不該走的倒走了！"剩下的人一

聽(tīng)，是我們?cè)撟甙?！又有剩下的三分之二的人離開(kāi)了，他著急地一拍大腿，連說(shuō)："我說(shuō)的

不是他們。"于是最后剩下的3個(gè)人也都告辭走了，聰明的你能知道開(kāi)始來(lái)了幾位客人嗎？

【答案】18

【解析】

分析：可以設(shè)原來(lái)有X人，第一批走了1X,第二批走了羨=，剩下3人，

乙OkLdJO

以人數(shù)為等量關(guān)系可列方程求解.

解：設(shè)開(kāi)始來(lái)了X位客人，根據(jù)題意得

11

X--X--X=)

解得：x=18

答：開(kāi)始來(lái)的客人一共是18位.

總結(jié)：此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件找

出合適的等量關(guān)系。

【難度】4

【題目】

興趣篇2

著名的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，曾給出這樣一個(gè)問(wèn)題：父親臨終時(shí)立下遺囑，按下述方式分配遺產(chǎn)：

老大分得100瑞士法郎和剩下的《；老二分得200瑞士法郎和乘仆的/;老三分得300

瑞士法郎和剩下的，…依次類(lèi)推，分給其余的孩子。最后發(fā)現(xiàn)：遺產(chǎn)全部分完后所有孩子

分的遺產(chǎn)相等。問(wèn)：這位父親的遺產(chǎn)總數(shù)的瑞士法郎。

【答案】8100

【解析】

老大分得的財(cái)產(chǎn)：100+(總遺產(chǎn)-老大的100)xl;老二分得的財(cái)產(chǎn)為：200+(總遺產(chǎn)-老大的全部財(cái)產(chǎn)-老二的200)X

1；讓老大的遺產(chǎn)數(shù)量等于老二的遺產(chǎn)數(shù)量可求得總遺產(chǎn)數(shù).

10

解：設(shè)遺產(chǎn)總數(shù)為X法郎，則老大分得：100+(x-100)xl；老二分得：200+(x-[100+^(x-100)]-200)xl

100+-L(x-100)=200+-L{X-[100+-L(x-100)]-200),

解得:x=8100.

即這位父親的遺產(chǎn)總數(shù)是8100瑞士法郎.

故答案為:8100.

總結(jié)：此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，得到老大和老二分得遺產(chǎn)的代數(shù)式是解決本題的

突破點(diǎn)。

【難度】4

【題目】「選試題1

解下列方程：

(1)3(2m-l)=5m+2;

(2)3(20-y)=6y-4(y-ll);

,5'3x-2^_5x2,

(4)在工左二=1.

62

【答案】

(1)m=5

(4)x=-2

【解析】

辮：(1)去括號(hào)，得6m-3=5m+2,...2分

移項(xiàng)，合并卮類(lèi)項(xiàng)，得m=5,

所以原方程的斡是m=5;...4分

(2)去括號(hào),得60-3y=6y-4y+44，…6分

移項(xiàng)，合并卮類(lèi)項(xiàng)，得5y=16,

系數(shù)化為1,得丫=”，

所以原方程的斡是y=￥....8分

(3)去分母，得3(3x-2)=24-4(5x-2)…10分

去括號(hào),得9x-6=24-20x+8,...12分

移項(xiàng)、合并，得29x=38,

系數(shù)化為1,得x=工,

29

所以原方程的斡是x=!|,...14分

(4)方程兩邊同乘以6,去分母，得(2x-5)-3(3x+l)=6,...16分

去括號(hào),得2x-5-9x-3=6,...18分

移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，得-7x=14,

系數(shù)化為1,得x=-2,

所以原方程的第是x=-2....20分

總結(jié)：此題考查了一元一次方程的解法，正確去分母、移項(xiàng)、系數(shù)化為1是解題的關(guān)鍵。

【難度】3

【題目】選試題2

若關(guān)于x的方程mx+3=5x+5的解為整數(shù)，則整數(shù)m=.

【答案】4或6或3或7

【解析】

2

解題分析：先解出關(guān)于x的方程，求得x=--,然后由方程的解為整數(shù)求出m的值。

m-5

解：移項(xiàng)得：mx-5x=5-3,

合并同類(lèi)項(xiàng)得：（m-5）x=2r

系數(shù)化為1得：X=」.

??方程的解為整數(shù)，

二m-5=±l或m-5=±2,

解得：m=4或m=6或m=3或m=7.

故答案為：4或6或3或7.

總結(jié)：此題考查了一元一次方程的解，依據(jù)方程的解為整數(shù)求得m的值是解題的關(guān)鍵。

【難度】4

【題目】昌

?選試題3

一列火車(chē)勻速駛?cè)腴L(zhǎng)300米的隧道,從它開(kāi)始進(jìn)入到完全通過(guò)歷時(shí)25秒鐘，隧道頂部一盞

固定燈在火車(chē)上垂直照射的時(shí)間為10秒鐘，求火車(chē)的長(zhǎng)度。

【答案】200米

【解析】解題分析：要弄清楚"隧道頂部一盞固定燈在火車(chē)上垂直照射的時(shí)間為10秒鐘"

X

這個(gè)條件有什么用，設(shè)火車(chē)長(zhǎng)度為x米，那么火車(chē)的速度為：—,然后根據(jù)路程=速度X

時(shí)間列出方程。

解：設(shè)火車(chē)的長(zhǎng)度為X米，

25?卡=300+x,

x=200.

故答案為：200米.

總結(jié)：此題考查了一元一次方程的