2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：圖形的折疊、分割與拼合培優(yōu)講義

圖形的折疊、分割與拼合培優(yōu)講義

知識(shí)梳理

圖形進(jìn)行折疊與剪拼，是學(xué)習(xí)幾何不可或缺的重要一環(huán)，通過折疊與剪拼圖形，我們可以發(fā)現(xiàn)一些幾何結(jié)論并知曉這些結(jié)論是怎

樣被證明的.

1.把圖形或圖形的一部分沿某直線翻折叫圖形的折疊，對(duì)圖形通過有限次的剪裁再重新拼接成新的圖形叫圖形的剪拼.

2.圖形的折疊與剪拼問題可以考驗(yàn)我們的動(dòng)手操作能力和分析推理能力，解題時(shí)需要把計(jì)算、推理與合理想象結(jié)合起來.

折疊問題可以通過對(duì)稱觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)：

⑴折痕兩邊是全等的；

⑵對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被折痕垂直平分.

解折疊問題常用到勾股定理、相似形、方程思想等知識(shí)與方法.

3.解與圖形折疊或剪拼相關(guān)的問題，利用不變量解題是關(guān)鍵，在折疊過程中，線段的長(zhǎng)度、角的度數(shù)保持不變；在剪拼過程中，

新圖形與原圖形的面積一般保持不變.

例題精析

例1如圖，在矩形紙片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將其沿EF對(duì)折，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則AF的長(zhǎng)為().

思路點(diǎn)撥設(shè)AF=x(cm),則DF=(8-x)cm,然后根據(jù)題意由勾股定理求AF的長(zhǎng)即可.

解題過程設(shè)AF=x(cm),則DF=(8-x)cm.

.?.在矩形紙片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,將其沿EF對(duì)折,使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，

.,.DF=D'F.

?..在RtAAD'F中,AF2=AD'2+D'F2,：.x2=62+(8-丫產(chǎn)解得x=§.

故選B.

方法歸納本題考查了圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，抓住折疊

前后圖形的形狀和大小不變是解答本題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)誤區(qū)本題較為簡(jiǎn)單，注意運(yùn)用勾股定理解方程的過程計(jì)算要仔細(xì).

例2如圖，在矩形紙片ABCD中,AB=8cm,AD=6cm.按下列步驟進(jìn)行裁剪和拼圖：

EE

AD

囚口也n怛

圖1圖2圖3

第一步：如圖I,在線段AD上任意取一點(diǎn)E,沿EB,EC剪下一個(gè)三角形紙片EBC(余下部分不再使用)；

第二步：如圖2,沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩部分，并在線段GH上任取一點(diǎn)M,線段BC上任取一點(diǎn)N,沿MN

將梯形紙片GBCH剪成兩部分；

第三步：如圖3,將MN左側(cè)紙片繞點(diǎn)G按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180。，使線段GB與GE重合，將MN右側(cè)紙片繞點(diǎn)H按逆時(shí)針方向

旋轉(zhuǎn)180。，使線段HC與HE重合，拼成一個(gè)與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片.

(注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊)

則拼成的這個(gè)四邊形紙片的周長(zhǎng)的最小值為___cm,最大值為____cm.

思路點(diǎn)撥通過操作，我們可以看到最后所得的四邊形紙片是一個(gè)平行四邊形，其上下兩條邊的長(zhǎng)度等于原來矩形的邊AD的長(zhǎng)

度，等于6.左右兩邊的長(zhǎng)等于線段MN的長(zhǎng)，當(dāng)MN垂直于BC時(shí)，其長(zhǎng)度最短，等于原來矩形的邊AB的一半，等于4,于是這個(gè)

平行四邊形的周長(zhǎng)的最小值為2x(6+4)=20；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，點(diǎn)M與點(diǎn)G重合，點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，線段MN最長(zhǎng)，等于

V42+62=203，此時(shí)，這個(gè)四邊形的周長(zhǎng)最大，其值為2X(6+2V13)=12+4V13.

解題過程2012+4V13

方法歸納本題考查了圖形的分割、拼合、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)點(diǎn)，通過轉(zhuǎn)化可知求拼成的四邊形的最大值與最小值只要求得MN的最值

即可，得出這一結(jié)論是解答本題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)誤區(qū)本題需要有較好的空間想象能力和探究能力，解答本題時(shí)可以邊操作邊探究，將最終的四邊形的一周的線段分成長(zhǎng)度

不變的和可以變化的，然后探究變化的邊的長(zhǎng)度變化范圍，這是一種轉(zhuǎn)化思想.

例3已知一個(gè)直角三角形AOB,其中NAOB=9(TQA=2QB=4.將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交

于點(diǎn)C,與邊AB交于點(diǎn)D.

(1)如圖1,若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為一；

(2)如圖2,若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)如圖3,若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為夕，設(shè)OB'=x,OC=y,試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式.

圖1K圖2K圖3

思路點(diǎn)撥(D由折疊后點(diǎn)B與點(diǎn)0重合可知折痕CD為.△。48的中位線,.從而可求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)設(shè)0C=m,由折疊的性質(zhì)可

知，AACD三、BCD,則BC=AC=4--m,OA=2,在RtAAOC中，利用勾股定理求m的值;(3)由折疊的性質(zhì)可知.△B'CDSABCD,依題意

設(shè)OB'=x,OC=y,則B'C=BC=OB-OC=4-y,在RtAB'OC中，由勾股定理，建立y與x之間的函數(shù)解析式.

解題過程⑴(1,2)

⑵如圖2,折疊后點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，則△ACD^ABCD.

設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,m)(m>0),則BC=OB-OC=4-m,于是AC=BC=4-m.

在RtAAOC中，由勾股定理得AC2=0C2+0屋,即(4-m)2=m2+22,

解得血=張C(0g).

(3)如圖3,折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)B處，則AB'CD^ABCD.

依題意設(shè)OB'=x,OC=y,則B'C=BC=OB-OC=4-y.

在RtAB,OC中,由勾股定理符B'C2=0C2+0B'2,

即(4—y)2=y2+x2,BPy=—：/+2.

由點(diǎn)B在邊OA上,有0<x<2,

..?函數(shù)解析式為y=-1x2+2(0<x<2).

方法歸納本題考查了函數(shù)的綜合運(yùn)用.關(guān)鍵是由折疊的性質(zhì)找出全等三角形，在直角三角形中，利用勾股定理建立等式，解方

程可以得出函數(shù)解析式.

易錯(cuò)誤區(qū)第⑶題最后求得的函數(shù)解析式注意自變量的取值范圍.

例4現(xiàn)有一塊等腰三角形紙板，量得周長(zhǎng)為32cm,底比一腰多2cm.若把這個(gè)三角形紙板沿其對(duì)稱軸剪開，拼成一個(gè)四邊形，請(qǐng)

畫出你能拼成的各種四邊形的示意圖，并計(jì)算拼成的各個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)的和.

思路點(diǎn)撥動(dòng)手操作時(shí)要注意分類討論，對(duì)每種情況進(jìn)行長(zhǎng)度計(jì)算時(shí)可聯(lián)系平行四邊形的性質(zhì)——對(duì)角線互相平分以及直角三角

形中的勾股定理等.

解題過程>設(shè)AB=AC=x(cm),則BC=(x+2)cm,根據(jù)題意得出x+2+2x=32,解得x=10.

AB=AC=10cm,BC=12cm,過點(diǎn)A作AD±BC于點(diǎn)D.

AB=AC,AD±BC,.'.BD=CD=6cm,AD=^AB2-BD2=8(cm).

可以拼成4種四邊形，如圖(圖中標(biāo)的字母與前面的無關(guān)聯(lián))：

圖1中兩條對(duì)角線之和是10+10=20(cm).

圖2中,0C=y/BC2+OB2=V82+32=V73(cm),

圖4

圖3中,OD=y/OA2+AD2=V42+62=2V13(cm),

兩條對(duì)角線之和是(4V13+8)(cm).

圖4中，SMC=巳43xBC=xOB,；.OB==y(cm),

兩條對(duì)角線之和是gx2+10=19.6(cm).

方法歸納〉本題考查了同學(xué)們的空間想象能力和動(dòng)手操作能力，計(jì)算對(duì)角線的長(zhǎng)度時(shí)可聯(lián)系勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、平行

四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).

易錯(cuò)誤區(qū)>幾何圖形相關(guān)的剪切、拼接的動(dòng)手操作問題，往往有多解，因此應(yīng)當(dāng)分類討論，根據(jù)題意充分考慮每一種情形，不要

多解或漏解.

例5我們把長(zhǎng)與寬之比為魚的矩形紙片稱為標(biāo)準(zhǔn)紙，請(qǐng)思考解決下列問題：

(1)將一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD(AB<BC)對(duì)開，如圖1,所得的矩形紙片ABEF是標(biāo)準(zhǔn)紙，請(qǐng)給予證明；

⑵在一次綜合實(shí)踐課上，小明嘗試著將矩形紙片ABCD(AB<BC)進(jìn)行如下操作：

第一步：沿過點(diǎn)A的直線折疊,使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F處，折痕為AE(如圖2甲)；

第二步：沿過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)N處，折痕為DG(如圖2乙).此時(shí)點(diǎn)E恰好落在AE邊上的點(diǎn)M處；

第三步：沿直線DM折疊(如圖2丙)，此時(shí)點(diǎn)G恰好與點(diǎn)N重合.

請(qǐng)你研究，矩形紙片ABCD是否是一張標(biāo)準(zhǔn)紙?請(qǐng)說明理由；

⑶不難發(fā)現(xiàn)，將一張標(biāo)準(zhǔn)紙如圖3一次又一次對(duì)開后，所得的矩形紙片都是標(biāo)準(zhǔn)紙.現(xiàn)有一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD,AB=1,BC=/,第5

次對(duì)開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng)是多少?探索并直接寫出，第2020次對(duì)開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng).

圖3

思路點(diǎn)撥〉⑴根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)紙的定義證明矩形ABEF的長(zhǎng)與寬之比為V2:1即可；⑵根據(jù)折疊的性質(zhì)利用三角形全等和勾股定理證明

矩形ABCD的長(zhǎng)與寬之比為魚：I即可；(3)利用⑴的結(jié)論進(jìn)行規(guī)律探索不難求得結(jié)論.

解題過程⑴是標(biāo)準(zhǔn)紙.理由如下：?矩形ABCD是標(biāo)準(zhǔn)紙，”箓=V2.

由對(duì)開的含義知：4F=|BC,.,.祭=矍=2X需=爰=隹

矩形紙片ABEF也是標(biāo)準(zhǔn)紙.

⑵是標(biāo)準(zhǔn)紙.理由如下：

設(shè)AB=CD=a，由圖形折疊可知:DN=CD=DG=a,DG±EM.

由圖形折疊可知:△ABE^AAFE,

???^DAE=|^BAD=45。.二4DG是等腰直角三角形.

...在RtAADG中,AD='JAG2+DG2=V2a.

...9=翅=匹.?.矩形紙片ABCD是一張標(biāo)準(zhǔn)紙.

ABa

???第5次對(duì)開后所得的標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng)為：苧.

??.第20般對(duì)開后所得的標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng)為：裝

方法歸納本題著重考查了線段的比、圖形的折疊、三角形全等的判定、勾股定理的運(yùn)用以及規(guī)律探索等問題，主要培養(yǎng)學(xué)生的

閱讀能力、觀察能力和歸納總結(jié)能力.

易錯(cuò)誤區(qū)找規(guī)律的題目，應(yīng)以第1個(gè)圖形為基準(zhǔn)，細(xì)心觀察，得到第n個(gè)圖形與第1個(gè)圖形之間的關(guān)系.解題的關(guān)鍵是認(rèn)真閱讀題

目，找出相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用定義和定理進(jìn)行解答.

專項(xiàng)訓(xùn)練

A組

1.如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時(shí),NA與N1+N2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)?jiān)囍?/p>

一找這個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（).

A.ZA=Z1+Z2B.2ZA=Z1+Z2

C.3ZA=2Z1+Z2D.3ZA=2(Z1+Z2)

（第2題）

2.如圖,四邊形ABCD是矩形把這個(gè)矩形沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處.若NDAC=50。廁ZEAC的度數(shù)為（）.

A.25°B.45°C.40°D.50°

3.如圖1是一條長(zhǎng)方形紙帶，ZDEF-200,將紙帶沿EF折疊成圖2,再沿BF折疊成圖3,則圖3中的NCFE的度數(shù)是（）.

A

B

圖2圖3

（第3題）

A.110°B.120°C.140°D.150°

4.如圖，把正方形紙片ABCD沿對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線對(duì)折后展開，折痕為MN,再過點(diǎn)B折疊紙片，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處,

折痕為BE.若AB的長(zhǎng)為2,則FM的長(zhǎng)為（）.

A.2B.V3C.V2D.1

（第4題）（第5題）（第6題）

5.如圖，將△ABC對(duì)折,使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)P處折痕為8口.若4ABC的面積為80,△ABD的面積為30,則AB與PC的長(zhǎng)度

之比為（）.

A.3:2B.5:3C.8:5D.13:8

6.如圖，將矩形ABCD的四個(gè)角向內(nèi)折起，恰好拼成一個(gè)無縫隙無重疊的四邊形EFGH,EH=12cm,EF=16cm,則邊AD的長(zhǎng)是（）.

A.12cmB.16cmC.20cmD.28cm

7.如圖,在Rt△ABC■中，NB=

4(D)

（第7題）（第8題）

8.將正方形紙片ABCD按如圖所示折疊，那么圖中NH4B的度數(shù)是.

9.如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸

上,OA=10,OC=8.在OC邊上取一點(diǎn)D,將紙片沿AD翻折，使點(diǎn)O落在BC邊上的點(diǎn)E處，求D,E兩點(diǎn)的坐標(biāo).

（第9題）

10.如圖1是一張畫有小方格的等腰直角三角形紙片，將圖1按箭頭方向折疊成圖2,再將圖2按箭頭方向折疊成圖3.

（第10題）

⑴請(qǐng)把上述兩次折疊的折痕用實(shí)線畫在圖4中；

⑵在折疊后的圖3中，沿直線1剪掉標(biāo)有A的部分，把剩余部分展開，將所得到的圖形在圖5中用陰影表示出來.

11.取一張矩形紙進(jìn)行折疊.具體操作如下：

第一步：先把矩形紙ABCD對(duì)折，折痕為MN，如圖1；

第二步：再把點(diǎn)B疊在折痕線MN上，折痕為AE,點(diǎn)B在MN上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B',得RtAABE如圖2;

第三步：沿EB，所在的直線折疊得折痕EF,點(diǎn)A落在直線EC上,如圖3.

利用展開圖(圖4)探究：

(1)找出圖中的全等三角形；

(2)AAEF是什么三角形?并證明你的結(jié)論.

\U//人匚JI4―aXI

(第11題)

B組

12.如圖，從邊長(zhǎng)為(a+4)cm的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為(a+1)cm的正方形(a>0),剩余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)矩形(不重疊無

隙)，則矩形的面積為().

13.如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,E,F分別是AB,CD上的點(diǎn)且NCFE=60。將四邊形BCFE沿EF翻折得到BCFE,點(diǎn)C恰好落在

AD邊上BC交AB于點(diǎn)G,則GE的長(zhǎng)是().

14.如圖，若將左邊正方形剪成四塊，恰能拼成右邊的矩形，設(shè)a=l,則這個(gè)正方形的面積為().

「

,7+3追n3+V51+V5)2

A.----------D.--------L.--------D.(l+V2

2

15.在三角形紙片ABC中,NC=90°,ZB=30。,,點(diǎn)D（不與點(diǎn)B,C重合）是BC上任意一點(diǎn)，將此三角形紙片按如圖所示的方式折

疊，若EF的長(zhǎng)度為a,則△DEF的周長(zhǎng)為—（用含a的式子表示）.

A

BDC

（第15題）（第16題）

16.如圖，在△ABC中,AB=10,=60。,點(diǎn)D,E分別在AB,BC上，且BD=BE=4,將△BDE沿DE所在直線折疊得到△（點(diǎn)

B在四邊形ADEC內(nèi)）.連接.則49的長(zhǎng)為—.

_A

17.如圖在RtAABC紙片中,NC=90。,4c=6,BC=8,點(diǎn)D在邊BC上，以AD為折痕，將△ABD折疊得到氐A(chǔ)B與邊BC

交于點(diǎn)E.若△DEB，為直角三角形，則BD的長(zhǎng)是—.

18.如圖,把矩形ABCD沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,AE與CD交于點(diǎn)O,連接DE

CE\/D…“B

（D四邊形ACED是什么圖形?請(qǐng)說明理由；%

（2）若AB=4cm,AD=3cm,求DE的長(zhǎng).(第17題)

（第18題）

19.數(shù)學(xué)老師在課