高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)(新教材新高考)第04講平面向量系數(shù)和(等和線)問題(高階拓展)（核心考點精講精練）(學(xué)生版+解析)

第04講平面向量系數(shù)和（等和線）問題（高階拓展）（核心考點精講精練）

平面向量與代數(shù)、幾何融合考查的題目綜合性強，難度大，考試要求高。平面向量是有效連接代數(shù)和幾何的橋梁，已成為高考數(shù)學(xué)的一個命題熱點。近年，高考、?？贾杏嘘P(guān)“系數(shù)和（等和線）定理”背景的試題層出不窮，學(xué)生在解決此類問題時，往往要通過建系或利用角度與數(shù)量積處理，結(jié)果因思路不清、解題繁瑣，導(dǎo)致得分率不高，而向量三點共線定理與等和線巧妙地將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系問題，將系數(shù)和的代數(shù)運算轉(zhuǎn)化為距離的比例運算，數(shù)形結(jié)合思想得到了有效體現(xiàn)，同時也為相關(guān)問題的解決提供了新的思路，大家可以學(xué)以致用知識講解如圖，為所在平面上一點，過作直線，由平面向量基本定理知：存在，使得下面根據(jù)點的位置分幾種情況來考慮系數(shù)和的值=1\*GB3①若時，則射線與無交點，由知，存在實數(shù)，使得而，所以，于是=2\*GB3②若時，（i）如圖1，當在右側(cè)時，過作，交射線于兩點，則，不妨設(shè)與的相似比為由三點共線可知：存在使得：所以（ii）當在左側(cè)時，射線的反向延長線與有交點，如圖1作關(guān)于的對稱點，由（i）的分析知：存在存在使得：所以于是綜合上面的討論可知：圖中用線性表示時，其系數(shù)和只與兩三角形的相似比有關(guān)。我們知道相似比可以通過對應(yīng)高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來刻畫。因為三角形的高線相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖中，過作邊的垂線，設(shè)點在上的射影為，直線交直線于點，則(的符號由點的位置確定)，因此只需求出的范圍便知的范圍考點一、“x+y”或“λ+μ”型綜合1．（全國·高考真題）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若=+，則+的最大值為A．3 B．2 C． D．22.（衡水中學(xué)二模）邊長為2的正六邊形中，動圓的半徑為1，圓心在線段(含短點)上運動，是圓上及其內(nèi)部的動點，設(shè)向量，則的取值范圍是（）在矩形中，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為()如圖，正六邊形，是內(nèi)（包括邊界）的動點，設(shè)，則的取值范圍是____________如圖，在直角梯形中，，，，動點在以為圓心，且與直線相切的圓內(nèi)運動，設(shè)則的取值范圍是____________考點二、“mx+ny”或“mλ+nμ”型綜合已知是內(nèi)一點,且,點在內(nèi)(不含邊界),若,則的取值范圍是A.B.C.D.已知為邊長為2的等邊三角形，動點在以為直徑的半圓上.若，則的取值范圍是__________若點在以為圓心,6為半徑的弧上,且,則的取值范圍為______設(shè)長方形的邊長分別是,點是內(nèi)(含邊界)的動點,設(shè),則的取值范圍是_________考點三、“x-y”或“λ-μ”型綜合如圖,已知為銳角三角形的外心,,且,求的取值范圍？1．（2020·全國·高三專題練習(xí)）在矩形ABCD中，，，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若，則的最小值為（

）A． B．1 C．-1 D．考點四、“mx-ny”或“mλ-nμ”型綜合1．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，∥，，，圖中圓弧所在圓的圓心為點C，半徑為，且點P在圖中陰影部分（包括邊界）運動．若，其中，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022春·安徽六安·高三階段練習(xí)）在直角梯形中，，∥，，、分別為、的中點，點在以為圓心，為半徑的圓弧上變動，（如圖所示），若，其中，則的取值范圍是．1．（2023·四川·校聯(lián)考三模）在直角梯形中，，，，，分別為，的中點，以為圓心，為半徑的半圓分別交及其延長線于點，，點在上運動（如圖）.若，其中，，則的取值范圍是A． B． C． D．考點五、系數(shù)和（等和線）的綜合應(yīng)用1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是的外心(三角形外接圓的圓心)．若，則的度數(shù)等于()A． B． C． D．2．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）在直角梯形中，，，，，動點在以點為圓心，且與直線相切的圓上移動，設(shè)，則最大值是.3．（2022秋·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形中，為的中點，是以為圓心，為半徑的圓弧上的任意一點，設(shè)，則的最小值為．1．（2022春·黑龍江雙鴨山·高二雙鴨山一中?？计谀┮阎c是的外接圓圓心,.若存在非零實數(shù)使得且,則的值為A． B． C． D．2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在正方形中，為的中點，為以為圓心，為半徑的圓弧上的任意一點，設(shè)向量，則的最小值為．3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在直角梯形中，，，，，動點在以點為圓心，且與直線相切的圓上或圓內(nèi)移動，設(shè)，則最大值是.【能力提升】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在邊長為1的正方形中，動點在以點為圓心且與相切的圓上.若，則的最大值是A．3 B． C． D．42．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在正方形中，動點在以點為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2022秋·湖北武漢·高三階段練習(xí)）如圖所示，在正六邊形中，點是內(nèi)（包括邊界）的一個動點，設(shè)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2022·浙江紹興·浙江省柯橋中學(xué)?？寄M預(yù)測）在矩形中，，，動點在以為圓心且與相切的圓上，若，設(shè)的最大值為，最小值為，則的值為（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在正六邊形中，點是內(nèi)（包括邊界）的一個動點，設(shè)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2023春·四川成都·高一校聯(lián)考期末）已知為的外心，為銳角且，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．7．（2022秋·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習(xí)）在直角梯形中，，，，，分別為，的中點，以為圓心，為半徑的圓交于，點在弧上運動（如圖）.若，其中，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2022秋·重慶沙坪壩·高三重慶市鳳鳴山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形是邊長為的正方形，，點為內(nèi)（含邊界）的動點，設(shè)，則的最大值是（

）A． B． C． D．9．（2022·江西·校聯(lián)考一模）如圖，四邊形是邊長為1的正方形，，點為內(nèi)（含邊界）的動點，設(shè)，則的最大值等于（

）A． B．1 C． D．10．（2022秋·江西新余·高二開學(xué)考試）扇形中，，其中是的中點，是弧上的動點（含端點），若實數(shù)滿足，則的取值范圍是A． B． C． D．11．（2022春·江蘇南京·高一南京師大附中校考期末）在扇形中，，，為弧上的一個動點，且．則的取值范圍為（

）A． B． C． D．12．（2022·黑龍江·高三競賽）如圖，在直角梯形ABCD中，已知AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，動點P在以點C為圓心且與直線BD相切的圓內(nèi)運動.若，則的取值范圍是.A． B． C． D．13．（2022春·福建莆田·高一仙游一中階段練習(xí)）在平行四邊形中，，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上.若,則的最大值為(

)A．1 B． C． D．314．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，動點在以點為圓心，且與直線相切的圓上或圓內(nèi)移動，設(shè)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．15．（2022秋·四川德陽·高二德陽五中?？奸_學(xué)考試）如圖，在矩形中，，，點在以點為圓心且與相切的圓上，.若，則的值為（

）A． B． C． D．16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在直角梯形中，，，，分別為，的中點，以為圓心，為半徑的圓交于，點在弧上運動（如圖）.若，其中，，則的取值范圍是A． B． C． D．二、多選題17．（2022秋·江蘇南京·高二南京師大附中?？计谥校┰诰匦沃?，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上．若，則的可能取值有（

）A． B． C．3 D．418．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在矩形中，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上．若，則可能的整數(shù)值為（

）A．3 B．1 C．0 D．三、填空題19．（2022·江西上饒·統(tǒng)考三模）在扇形中，，為弧上的一個動點.若，則的取值范圍是.20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在矩形中，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，若，則的最小值為.21．（2022春·上海寶山·高三上海交大附中?？奸_學(xué)考試）如圖所示，，圓M與AB，AC分別相切于點D，E，AD=1，點P是圓M及其內(nèi)部任意一點，且，則的取值范圍是22．（2023春·上海青浦·高三上海市青浦高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若=+，則+的最大值為．23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形是邊長為1的正方形，點D在的延長線上，且，點P是(含邊界)的動點，設(shè)，則的最大值為．24．（2022秋·福建三明·高三三明一中?？茧A段練習(xí)）在扇形中，，為弧上的動點，若，則的取值范圍為．25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在扇形中，，為弧上的一動點，若，則的取值范圍是．26．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖,在扇形OAB中,,C為弧AB上的一個動點.若，則的取值范圍是．27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在扇形中，，，C為弧上的一個動點，若，則的取值范圍是.28．（2022秋·福建三明·高二三明一中?？奸_學(xué)考試）如圖，在扇形中，，C為弧AB上的一個動點，若，則的取值范圍是.29．（2022秋·江西南昌·高三南昌市第十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在邊長為1的正方形ABCD中，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上，若，則的最大值為.30．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，，，，動點在以點為圓心，且與直線相切的圓上或圓內(nèi)移動，設(shè)，則取值范圍是．

第04講平面向量系數(shù)和（等和線）問題（高階拓展）（核心考點精講精練）

平面向量與代數(shù)、幾何融合考查的題目綜合性強，難度大，考試要求高。平面向量是有效連接代數(shù)和幾何的橋梁，已成為高考數(shù)學(xué)的一個命題熱點。近年，高考、?？贾杏嘘P(guān)“系數(shù)和（等和線）定理”背景的試題層出不窮，學(xué)生在解決此類問題時，往往要通過建系或利用角度與數(shù)量積處理，結(jié)果因思路不清、解題繁瑣，導(dǎo)致得分率不高，而向量三點共線定理與等和線巧妙地將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系問題，將系數(shù)和的代數(shù)運算轉(zhuǎn)化為距離的比例運算，數(shù)形結(jié)合思想得到了有效體現(xiàn)，同時也為相關(guān)問題的解決提供了新的思路，大家可以學(xué)以致用知識講解如圖，為所在平面上一點，過作直線，由平面向量基本定理知：存在，使得下面根據(jù)點的位置分幾種情況來考慮系數(shù)和的值=1\*GB3①若時，則射線與無交點，由知，存在實數(shù)，使得而，所以，于是=2\*GB3②若時，（i）如圖1，當在右側(cè)時，過作，交射線于兩點，則，不妨設(shè)與的相似比為由三點共線可知：存在使得：所以（ii）當在左側(cè)時，射線的反向延長線與有交點，如圖1作關(guān)于的對稱點，由（i）的分析知：存在存在使得：所以于是綜合上面的討論可知：圖中用線性表示時，其系數(shù)和只與兩三角形的相似比有關(guān)。我們知道相似比可以通過對應(yīng)高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來刻畫。因為三角形的高線相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖中，過作邊的垂線，設(shè)點在上的射影為，直線交直線于點，則(的符號由點的位置確定)，因此只需求出的范圍便知的范圍考點一、“x+y”或“λ+μ”型綜合1．（全國·高考真題）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若=+，則+的最大值為A．3 B．2 C． D．2【答案】A【法一：系數(shù)和】分析：如圖，由平面向量基底等和線定理可知，當?shù)群途€與圓相切時，最大，此時故選.【法二：坐標法】【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標系.設(shè),易得圓的半徑，即圓C的方程是，，若滿足，則，，所以，設(shè)，即，點在圓上，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A.【點睛】（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.2，（衡水中學(xué)二模）邊長為2的正六邊形中，動圓的半徑為1，圓心在線段(含短點)上運動，是圓上及其內(nèi)部的動點，設(shè)向量，則的取值范圍是（）分析:如圖，設(shè)，由等和線結(jié)論，.此為的最小值；同理，設(shè)，由等和線結(jié)論，.此為的最大值.綜上可知.在矩形中，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為()解：如圖所示：過作的垂線，垂足為，則，當三點共線時，高線最長，即如圖，正六邊形，是內(nèi)（包括邊界）的動點，設(shè)，則的取值范圍是____________解：連接因為正六邊形，由對稱性知道，設(shè)與交于點，與交于點，當在上時，在上射影最小為；當與重合時，在上射影最大為；則設(shè)則則如圖在直角梯形中，，，，動點在以為圓心，且與直線相切的圓內(nèi)運動，設(shè)則的取值范圍是____________解：設(shè)圓與直線相切于點，過作于，作直線，且直線與圓相切與，連，則過圓心，且，由圖可知，對圓內(nèi)任意一點在直線上的射影長度滿足：，又，所以而，所以考點二、“mx+ny”或“mλ+nμ”型綜合已知是內(nèi)一點,且,點在內(nèi)(不含邊界),若,則的取值范圍是A.B.C.D.【答案】B【解析】因為是內(nèi)一點,且，所以為的重心在內(nèi)(不含邊界),且當與重合時,最小,此時所以,即當與重合時,最大,此時所以,即因為在內(nèi)且不含邊界所以取開區(qū)間,即.已知為邊長為2的等邊三角形，動點在以為直徑的半圓上.若，則的取值范圍是__________答案:【解析】如圖,取中點為,顯然,當與重合時,取最小值1.將平行移動至與相切處,為切點時,取最大值.延長交于,易知.由等和線及平行截割定理,.所以的最大值為.故的取值范圍是.若點在以為圓心,6為半徑的弧上,且,則的取值范圍為______【解析】令,則,即,其中.由知點在線段上,如下圖:由于在中,,且點在線段上(含端點,因此,其中是邊上的高.可得.可得.所以,.再由可知.設(shè)長方形的邊長分別是,點是內(nèi)(含邊界)的動點,設(shè),則的取值范圍是_________解:如圖,取中點,則此時的等和線為平行于的直線顯然,當點與點重合時,最小為1,當點與重合時,最大,由于,所以,于是的最大值為所以的取值范圍是.考點三、“x-y”或“λ-μ”型綜合如圖,已知為銳角三角形的外心,,且,求的取值范圍？解:作圓的直徑,則點在劣弧上運動.于是.其中.考慮到問題涉及的代數(shù)式為,為了利用向量分解的系數(shù)和的幾何意義,將條件轉(zhuǎn)化為.此時可知連接向量的終點與向量的終點的直線即等系數(shù)和線,于是.依次作出其余等系數(shù)和線,可得的取值范圍是.1．（2020·全國·高三專題練習(xí)）在矩形ABCD中，，，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若，則的最小值為（

）A． B．1 C．-1 D．【答案】C【解析】以A為原點，直線AB，AD為x，y軸建立平面直角坐標系，求出圓的標準方程，可得的坐標的參數(shù)形式，再由用坐標表示，這樣就可表示為的三角函數(shù)，由三角函數(shù)恒等變換可求得其最小值．【詳解】以A為原點，直線AB，AD為x，y軸建立平面直角坐標系，則，，直線，圓C與直線BD相切，所以圓C的半徑，圓C的方程為，設(shè)點，即，又，∴，所以.即時，取得最小值．故選：C．【點睛】本題考查向量的線性運算，解題關(guān)鍵是建立平面直角坐標系，把向量用兩種不同方法表示，從而把表示為參數(shù)的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)知識求得最小值．考點四、“mx-ny”或“mλ-nμ”型綜合1．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，∥，，，圖中圓弧所在圓的圓心為點C，半徑為，且點P在圖中陰影部分（包括邊界）運動．若，其中，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立直角坐標系，將由點坐標轉(zhuǎn)化后數(shù)形結(jié)合求解【詳解】以點為坐標原點，方向為x,y軸正方向建立直角坐標系，則，，設(shè)，則，解得，故，即，數(shù)形結(jié)合可得當時，取最小值2，當直線與圓相切時，，取得最大值.故選：B2．（2022春·安徽六安·高三階段練習(xí)）在直角梯形中，，∥，，、分別為、的中點，點在以為圓心，為半徑的圓弧上變動，（如圖所示），若，其中，則的取值范圍是．【答案】【分析】如圖以為軸建立直角坐標系，設(shè)，則可表示出的坐標，可列出關(guān)于的不等式組，表示出，利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡，從而可求得結(jié)果【詳解】如圖以為軸建立直角坐標系，則，，，，，，所以，，設(shè)，因為所以，所以，解得，所以，因為，所以，所以，所以，即，故答案為：1．（2023·四川·校聯(lián)考三模）在直角梯形中，，，，，分別為，的中點，以為圓心，為半徑的半圓分別交及其延長線于點，，點在上運動（如圖）.若，其中，，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直角坐標系，根據(jù)向量的坐標運算，即可表達出，進而用輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】分別以所在直線為軸，軸，方向為正方向建立直角坐標系，知,設(shè)，由得：，即,則，由可得：，則，故.則的取值范圍是

.故選：C考點五、系數(shù)和（等和線）的綜合應(yīng)用1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是的外心(三角形外接圓的圓心)．若，則的度數(shù)等于()A． B． C． D．【答案】C【分析】將向量式兩邊平方，結(jié)合三角形外心性質(zhì)和已知條件可得，同理可得，然后根據(jù)夾角公式可得.【詳解】∵為的外心，∴，又∴∴，同理故，又∴.故選：C.2．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）在直角梯形中，，，，，動點在以點為圓心，且與直線相切的圓上移動，設(shè)，則最大值是.【答案】4【分析】建立直角坐標系，寫出點的坐標，求出BD的方程，求出圓的方程，設(shè)出，求出三個向量的坐標，用P的坐標表，則，根據(jù)直線AP:與有交點,求出范圍．【詳解】解：以為原點，分別以方向為軸，建立如圖所示直角坐標系：所以，，，，所以，，因為圓與直線相切，而，圓心，所以半徑，所以圓：，設(shè),則，，又所以，則，所以所以表示坐標原點A與點P兩點之間連線的斜率的2倍，因為動點在圓上移動，所以直線AP:與有交點，則圓心到的距離為解得:，則所以，則最大值是4.故答案為：4．3．（2022秋·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形中，為的中點，是以為圓心，為半徑的圓弧上的任意一點，設(shè)，則的最小值為．【答案】【分析】以為坐標原點建立平面直角坐標系，設(shè)，可得點軌跡，從而可設(shè)，；利用向量的坐標運算可構(gòu)造方程求得，將所求式子整理為；令，；利用導(dǎo)數(shù)可求得當時，取得最小值，利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系可構(gòu)造方程求得，代入可求得最小值.【詳解】以為坐標原點可建立如下圖所示的平面直角坐標系設(shè)，則，，，，，由題意可得，點軌跡方程為：設(shè)，

由得：，解得：設(shè)，當時，；當時，當時，取最小值

由得：即當，時，取最小值

即的最小值為本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查平面向量在幾何中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問題；解題關(guān)鍵是能夠通過建立平面直角坐標系的方式將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解，從而利用導(dǎo)數(shù)來確定最值取得的情況，屬于難題.1．（2022春·黑龍江雙鴨山·高二雙鴨山一中?？计谀┮阎c是的外接圓圓心,.若存在非零實數(shù)使得且,則的值為A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)且判斷出與線段中點三點共線，由此判斷出三角形的形狀，進而求得的值.【詳解】由于，由于，所以與線段中點三點共線，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知直線垂直平分，于是是以為底邊的等腰三角形，于是，故選D.【點睛】本小題主要考查平面向量中三點共線的向量表示，考查圓的幾何性質(zhì)、等腰三角形的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在正方形中，為的中點，為以為圓心，為半徑的圓弧上的任意一點，設(shè)向量，則的最小值為．【答案】【分析】以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，正方形的邊長為1，求出各點坐標，設(shè)，，由列方程，利用和表示和，再由三角函數(shù)的性質(zhì)可得的最小值.【詳解】以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，設(shè)正方形的邊長為1，則，，，，設(shè)，，因為，，所以，所以，解得：，所以，令，可知當時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當時，的最小值為，故答案為：.3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在直角梯形中，，，，，動點在以點為圓心，且與直線相切的圓上或圓內(nèi)移動，設(shè)，則最大值是.【答案】【分析】建立合適的直角坐標系，求出各個點的坐標，根據(jù)點到直線的距離公式求得圓的方程，再求出點坐標，建立關(guān)于的不等式，令代入不等式，根據(jù)判別式大于零可得的范圍，化簡為關(guān)于的二次函數(shù)，開口向下，可取得最大值，求出最大值時的值可證明其存在，即可得出結(jié)果.【詳解】解：以為原點，分別以方向為軸，建立如圖所示直角坐標系：所以，，，，所以，，因為圓直線相切，而，圓心，所以半徑，所以圓：，因為，即，因為動點在圓上或圓內(nèi)移動，所以，設(shè)，則，所以不等式可化為：，所以，易得不等式有解，則，所以，即，解得，所以原式，所以當，，即，時，.故答案為：【點睛】思路點睛：該題考查向量結(jié)合直線與圓的綜合應(yīng)用，屬于難題，關(guān)于該題的思路有：（1）圖形比較規(guī)則，建立直角坐標系來解決向量問題；（2）得到關(guān)于的不等式中沒有，所以取，建立之間的關(guān)系；（3）用判別式求得的范圍，化簡所求式子至二次函數(shù)的形式；（4）根據(jù)二次函數(shù)的最值及的范圍求出最值.【能力提升】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在邊長為1的正方形中，動點在以點為圓心且與相切的圓上.若，則的最大值是A．3 B． C． D．4【答案】A【分析】以為原點，以，所在的直線為，軸建立如圖所示的坐標系，先求出圓的標準方程，再設(shè)點的坐標為，，根據(jù)，求出，，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值【詳解】如圖：以為原點，以，所在的直線為，軸建立如圖所示的坐標系，則，，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，設(shè)圓的半徑為，，，，圓的方程為，設(shè)點的坐標為，，，即，=，，，，，，，，故的最大值為3，故選：A.【點睛】本題考查了向量的坐標運算以及圓的方程和三角函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是設(shè)點的坐標，考查了學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在正方形中，動點在以點為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)正方形的邊長為，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標系，可得出圓的方程為，可設(shè)點的坐標為，根據(jù)向量的坐標運算可將用的三角函數(shù)表示，利用輔助角公式和正弦函數(shù)的有界性可求出的最大值.【詳解】設(shè)正方形的邊長為，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則點、、、，直線的方程為，即，點到直線的距離為，則以點為圓心且與直線相切的圓的方程為，設(shè)點的坐標為，由，得，，所以，，因此，的最大值為.故選：C.【點睛】本題考查利用平面向量的基本定理求參數(shù)和的最小值，利用圓的有界性結(jié)合圓的參數(shù)方程來求解是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.3．（2022秋·湖北武漢·高三階段練習(xí)）如圖所示，在正六邊形中，點是內(nèi)（包括邊界）的一個動點，設(shè)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以直線FB為x軸，線段FB的中垂線為y建立平面直角坐標系，結(jié)合已知求出點P的坐標，再由點P所在區(qū)域求解作答.【詳解】在正六邊形中，以直線FB為x軸，線段FB中垂線為y軸建立平面直角坐標系，如圖，令，則點，因此，因，則，于是得點，又點是內(nèi)（包括邊界）的一個動點，顯然點P在直線及上方，點P縱坐標最大不超過3，即有，解得，所以的取值范圍是.故選：B4．（2022·浙江紹興·浙江省柯橋中學(xué)校考模擬預(yù)測）在矩形中，，，動點在以為圓心且與相切的圓上，若，設(shè)的最大值為，最小值為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意建立直角坐標系，求出各個點的坐標進而求，，的坐標，再結(jié)合直線與圓相切的性質(zhì)求出半徑，再設(shè)出點的坐標求出關(guān)于的代數(shù)式，結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出最大值與最小值，從而求出的值．【詳解】解：如圖所示，以為原點建立平面直角坐標系，，，，直線，圓方程為：，又，，則，，，，圓與直線相切，則半徑．點的坐標可表示為，則，當時，有最大值，當有最小值，所以．故選：C．【點睛】本題考查了圓的標準方程，直線和圓的方程的應(yīng)用，屬于中檔題．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在正六邊形中，點是內(nèi)（包括邊界）的一個動點，設(shè)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為為動點，所以不容易利用數(shù)量積來得到的關(guān)系，因為六邊形為正六邊形，所以建立坐標系各個點的坐標易于確定，可得：，則，所以設(shè)，則由可得：，因為在內(nèi)，且，所以所滿足的可行域為，代入可得：，通過線性規(guī)劃可得：.6．（2023春·四川成都·高一校聯(lián)考期末）已知為的外心，為銳角且，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意建立直角坐標系，設(shè)外接圓的半徑，從而求得所需各點坐標，進而利用向量相等求得點坐標，代入外接圓的方程得到，由此利用基本不等式即可得解.【詳解】以邊所在的直線為軸，邊的垂直平分線為軸建立直角坐標系，如圖，

（為邊的中點），由外接圓的性質(zhì)得，因為為銳角且，所以，設(shè)外接圓的半徑，則，因為，所以，，所以，，，設(shè)，則外接圓的方程為：，因為，所以.則，解得，則，代入外接圓方程得：，整理得：，由基本不等式得：，當且僅當取等號.化簡得：，解得或，由圖知：，所以，故的最大值為.故選：D.7．（2022秋·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習(xí)）在直角梯形中，，，，，分別為，的中點，以為圓心，為半徑的圓交于，點在弧上運動（如圖）.若，其中，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標系，求得，，，，由，得到，用表示，利用輔助角公式化簡，再利用三角函數(shù)性質(zhì)求解.【詳解】建立如圖所示直角坐標系：則，所以，，，，因為，所以，所以，解得，所以，因為，所以，所以，所以的取值范圍是.故選：D【點睛】方法點睛：（1）用平面向量解決平面幾何問題時，在便于建立直角坐標系的情況下建立平面直角坐標系，可以使向量的運算更簡便一些．在解決這類問題時，共線向量定理和平面向量基本定理起主導(dǎo)作用．（2）解決平面向量與三角函數(shù)問題，關(guān)鍵是準確利用向量的坐標運算化簡已知條件，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問題解決.8．（2022秋·重慶沙坪壩·高三重慶市鳳鳴山中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，四邊形是邊長為的正方形，，點為內(nèi)（含邊界）的動點，設(shè)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】以為原點，為軸建立平面直角坐標系，設(shè)，利用求出，將求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值，根據(jù)線性規(guī)劃可求得結(jié)果.【詳解】以為原點，為軸建立如圖所示的平面直角坐標系：因為四邊形是邊長為的正方形，，所以，，，，，所以，設(shè)，則，所以，所以，即求的最大值，因為點為內(nèi)（含邊界）的動點，所以由圖可知，平移直線到經(jīng)過點時，取得最大值，所以的最大值是.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：建立平面直角坐標系，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃求解是解題關(guān)鍵.9．（2022·江西·校聯(lián)考一模）如圖，四邊形是邊長為1的正方形，，點為內(nèi)（含邊界）的動點，設(shè)，則的最大值等于（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】建立平面直角坐標系，求出，由數(shù)形結(jié)合，利用線性規(guī)劃求最值即可得解.【詳解】以為原點，以，所在直線分別為，軸建立直角坐標系，如圖，設(shè)點，∵，則，所以，，，由于點為內(nèi)（包含邊界），所以目標函數(shù)為，斜率，因為，所以如圖示，當點為點時，取得最大值，其最大值為，故選：D．10．（2022秋·江西新余·高二開學(xué)考試）扇形中，，其中是的中點，是弧上的動點（含端點），若實數(shù)滿足，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立直角坐標系，設(shè)，，，設(shè)在圓，,所以，所以，設(shè)，則，當時，的最大值為，當在點時，時，取得最小值為，故選D．考點：平面向量的基本定理及其意義．【方法點晴】本題主要考查了平面向量的坐標表示及其運算、平面向量的基本定理的應(yīng)用、圓的參數(shù)方程、輔助角公式等知識點的綜合應(yīng)用，解答中有，得，所以，設(shè)，則是解答問題的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．11．（2022春·江蘇南京·高一南京師大附中校考期末）在扇形中，，，為弧上的一個動點，且．則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，令，則，則，易知為減函數(shù)，即可得出結(jié)果.【詳解】以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，令，則，因為，則，,，又，則，則，則，又，易知為減函數(shù)，由單調(diào)性易得其值域為.故選：B.12．（2022·黑龍江·高三競賽）如圖，在直角梯形ABCD中，已知AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，動點P在以點C為圓心且與直線BD相切的圓內(nèi)運動.若，則的取值范圍是.A． B． C． D．【答案】D【詳解】為求的最值，不妨假設(shè)點在上，易知，的半徑為.故：，.由點在內(nèi)，知.13．（2022春·福建莆田·高一仙游一中階段練習(xí)）在平行四邊形中，，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上.若,則的最大值為(

)A．1 B． C． D．3【答案】D【分析】由題意結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算法則整理計算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由，，，得，所以∠ABD=∠CDB=90°，故圓C與BD相切于點D，如圖，又，所以.所以.△ABC中，由余弦定理可得：，，據(jù)此可得，當與方向相同時，取得最大值：，所以的最大值是3.故選：D.14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，動點在以點為圓心，且與直線相切的圓上或圓內(nèi)移動，設(shè)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由直角梯形可知依直角建立坐標系，則，直線，圓的半徑設(shè)，由可得：在圓內(nèi)

設(shè)，則，其中由可知，且所以.15．（2022秋·四川德陽·高二德陽五中?？奸_學(xué)考試）如圖，在矩形中，，，點在以點為圓心且與相切的圓上，.若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圓的半徑，然后以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標系，寫出各點的坐標，利用平面向量的坐標運算求出、的值，即可得解.【詳解】設(shè)圓的半徑為，則，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則、、、，，，，由，得，所以，，解得，因此，.故選：B.16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在直角梯形中，，，，分別為，的中點，以為圓心，為半徑的圓交于，點在弧上運動（如圖）.若，其中，，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【分析】建立如圖所示的坐標系，則A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F(xiàn)（1，1.5），P（cosα，sinα）（0≤α），由λμ得，（cosα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，），λ，μ用參數(shù)α進行表示，利用輔助角公式化簡，即可得出結(jié)論．【詳解】解：建立如圖所示的坐標系，則A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F(xiàn)（1，1.5），P（cosα，sinα）（0≤α），由λμ得，（cosα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，）?cosα＝2λ﹣μ，sinα＝λ?λ，∴6λ+μ＝6（）2（sinα+cosα）＝2sin（）∵，∴sin（）∴2sin（）∈[2，2]，即6λ+μ的取值范圍是[2，2]．故選D．【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，考查學(xué)生的計算能力，正確利用坐標系是關(guān)鍵．屬于中檔題．二、多選題17．（2022秋·江蘇南京·高二南京師大附中?？计谥校┰诰匦沃?，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上．若，則的可能取值有（

）A． B． C．3 D．4【答案】AC【分析】建立平面直角坐標系，寫出各點的坐標，用坐標表示，用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系換元，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.【詳解】以為圓點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，則由已知有：，，，，即在圓上，所以有，則．故選：AC18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在矩形中，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上．若，則可能的整數(shù)值為（

）A．3 B．1 C．0 D．【答案】AB【分析】建系后利用坐標對應(yīng)關(guān)系，結(jié)合圓的三角換元，表示出，利用三角函數(shù)最值即可求解.【詳解】以點為原點，建立直角坐標系，則，，所以,,圓的半徑為，所以圓，所以圓上點，所以，因為，所以,所以,所以，其中，.所以,所以，即，所以可能的整數(shù)值為：1,2,3.故答案為：AB.三、填空題19．（2022·江西上饒·統(tǒng)考三模）在扇形中，，為弧上的一個動點.若，則的取值范圍是.【答案】【分析】不妨設(shè)，以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，令，則，則，再結(jié)合三角函數(shù)值域的求法求解即可.【詳解】解：由題意可知，在扇形中，，為弧上的一個動點.不妨設(shè)，以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，令，則，，,，又，則，則，則，又，則，則，即，故答案為：.【點睛】本題考查了三角恒等變換的輔助角的應(yīng)用，重點考查了三角函數(shù)值域的求法，屬中檔題.20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在矩形中，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，若，則的最小值為.【答案】1【分析】建立坐標系，利用已知條件求得的關(guān)系，然后利用三角換元求解即可.【詳解】以為坐標原點，所在的直線為軸，軸，建立坐標系，

則，，，，因為，所以，又的方程為，且到的距離為，所以點為圓心且與相切的圓的方程為，又在圓上，所以，令，，所以.故答案為：1.【點睛】本題考查向量的坐標運算，圓方程的求解，以及利用三角恒等變換化簡三角函數(shù).21．（2022春·上海寶山·高三上海交大附中?？奸_學(xué)考試）如圖所示，，圓M與AB，AC分別相切于點D，E，AD=1，點P是圓M及其內(nèi)部任意一點，且，則的取值范圍是【答案】【分析】建立直角坐標系，求出圓M的方程，則點P在圓M內(nèi)或其圓周上，根據(jù)點P的范圍，將原問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃求目標函數(shù)的最大值和最小值問題.【詳解】如圖以A為原點直線AB為x軸建立直角坐標系：由題意，，，過點D作AB的垂線，過點E作AC的垂線，兩垂線的交點即為圓心M，在中，，，，圓M的半徑為；設(shè)，則P點圓M內(nèi)或圓周上，，，，由題意，，，，即是求z的取值范圍，也就是求z的最大值和最小值，根據(jù)幾何意義，當直線與圓M相切時z取最值，.此時到直線的距離為，所以z的范圍為；故答案為：.22．（2023春·上海青浦·高三上海市青浦高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若=+，則+的最大值為．【答案】【詳解】分析：如圖：以A為原點，以AB，AD所在的直線為x，y軸建立如圖所示的坐標系，先求出圓的標準方程，再設(shè)點P的坐標為（cosθ+1，sinθ+2），根據(jù)=λ+μ，求出λ，μ，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值．詳解：如圖：以A為原點，以AB，AD所在的直線為x，y軸建立如圖所示的坐標系，則A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），

∵動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上，設(shè)圓的半徑為r，∵BC=2，CD=1，∴BD==∴BC?CD=BD?r，∴r=，∴圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2=，設(shè)點P的坐標為（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ+μ，∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值為3，故答案為：3．點睛：本題考查了向量的坐標運算以及圓的方程和三角函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是設(shè)點P的坐標，考查了學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形是邊長為1的正方形，點D在的延長線上，且，點P是(含邊界)的動點，設(shè)，則的最大值為．【答案】【分析】根據(jù)平面向量基本定理及向量共線定理即可求解.【詳解】當點P位于B點時，過點B作，交的延長線于G，H，則，且，，，所以.故答案為：.24．（2022秋·福建三明·高三三明一中?？茧A段練習(xí)）在扇形中，，為弧上的動點，若，則的取值范圍為．【答案】【分析】不妨設(shè)，以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，令，則，則，易知為減函數(shù)，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，在扇形中，，為弧上的一個動點.不妨設(shè)，以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，令，則，，,，又，