第86講、排列與組合（學(xué)生版）

②“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型知識(shí)點(diǎn)3、排列和組合的區(qū)別組合：取出的元素地位平等，沒有不同去向和分工．排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同．注意：排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問題，它們之間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考慮順序的是排列問題．排列是在組合的基礎(chǔ)上對(duì)入選的元素進(jìn)行排隊(duì)，因此，分析解決排列組合綜合問題的基本思維是“先組合，后排列”．知識(shí)點(diǎn)4、解決排列組合綜合問題的一般過程1、認(rèn)真審題，確定要做什么事；2、確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時(shí)進(jìn)行，弄清楚分多少類及多少步；3、確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無(wú)序）問題，元素總數(shù)是多少及取出多少個(gè)元素；4、解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略．【解題方法總結(jié)】1、如圖，在圓中，將圓分等份得到個(gè)區(qū)域，，，，，現(xiàn)取種顏色對(duì)這個(gè)區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個(gè)區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有種．2、錯(cuò)位排列公式3、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項(xiàng)（1）解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位子上，或某個(gè)位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個(gè)位子安排的元素影響到另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論．4、定位、定元的排列問題，一般都是對(duì)某個(gè)或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：（1）以元素為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計(jì)算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個(gè)不同元素排成一排，其中某k個(gè)元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這k個(gè)元素“捆綁在一起”，看成一個(gè)整體，當(dāng)作一個(gè)元素同其他元素一起排列，共有種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進(jìn)行排列，共有種排法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有種．6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將個(gè)不同元素排成一排，其中某個(gè)元素互不相鄰（），求不同排法種數(shù)的方法是：先將（）個(gè)元素排成一排，共有種排法；然后把個(gè)元素插入個(gè)空隙中，共有種排法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有·種．必考題型全歸納題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡(jiǎn)和計(jì)算例1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．1或3 D．例2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（

）A． B． C． D．例3．（2024·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模），則等于．變式1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）變式2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）．變式3．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知，則.變式4．（2024·河北衡水·高三衡水市第二中學(xué)期末）若，則變式5．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）計(jì)算的值為.題型二：直接法例4．（2024·江蘇·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）甲、乙、丙等六人相約到電影院觀看電影《封神榜》，恰好買到了六張連號(hào)的電影票．若甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法種數(shù)為（

）A．360 B．480 C．600 D．720例5．（2024·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）雅禮女籃一直是雅禮中學(xué)的一張靚麗的名片，在剛剛結(jié)束的2022到2024賽季中國(guó)高中籃球聯(lián)賽女子組總決賽中，雅禮中學(xué)女籃隊(duì)員們敢打敢拼，最終獲得了冠軍．在頒獎(jiǎng)儀式上，女籃隊(duì)員12人（其中1人為隊(duì)長(zhǎng)），教練組3人，站成一排照相，要求隊(duì)長(zhǎng)必須站中間，教練組三人要求相鄰并站在邊上，總共有多少種站法（

）A． B． C． D．例6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（

）A．120 B．60 C．40 D．30變式6．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）要排出某班一天中語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，政治，英語(yǔ)，體育，藝術(shù)6門課各一節(jié)的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在前3節(jié)，英語(yǔ)課不排在第6節(jié)，則不同的排法種數(shù)為（

）A．24 B．72 C．144 D．288變式7．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）運(yùn)輸公司從5名男司機(jī)，4名女司機(jī)中選派出3名男司機(jī)，2名女司機(jī)，到，，，，這五個(gè)不同地區(qū)執(zhí)行任務(wù)，要求地只能派男司機(jī)，地只能派女司機(jī)，則不同的方案種數(shù)是（

）A．360 B．720 C．1080 D．2160變式8．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）從編號(hào)為1，2，3，4，5的5個(gè)球中任取4個(gè)，放在編號(hào)為A，B，C，D的4個(gè)盒子里，每盒一球，且2號(hào)球不能放在B盒中的不同的方法數(shù)是（

）A．24 B．48 C．54 D．96變式9．（2024·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）甲、乙兩個(gè)家庭周末到附近景區(qū)游玩，其中甲家庭有2個(gè)大人和2個(gè)小孩，乙家庭有2個(gè)大人和3個(gè)小孩，他們9人在景區(qū)門口站成一排照相，要求每個(gè)家庭的成員要站在一起，且同一家庭的大人不能相鄰，則所有不同站法的種數(shù)為（

）A．144 B．864 C．1728 D．2880題型三：間接法例7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）個(gè)點(diǎn)將半圓分成段弧，以個(gè)點(diǎn)（包括個(gè)端點(diǎn)）為頂點(diǎn)的三角形中鈍角三角形有（）個(gè)A． B． C． D．例8．（2024·湖北武漢·高二校聯(lián)考期末）甲?乙?丙?丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓?東湖?漢口江灘游玩，每人只能去一個(gè)地方，漢口江灘一定要有人去，則不同游覽方案的種數(shù)為（

）A．65 B．73 C．70 D．60.例9．（2024·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)校聯(lián)考二模）從正360邊形的頂點(diǎn)中取若干個(gè)，依次連接，構(gòu)成的正多邊形的個(gè)數(shù)為（

）A．360 B．630 C．1170 D．840變式10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將7個(gè)人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，則不同的站法有（

）．A．1860種 B．3696種 C．3600種 D．3648種題型四：捆綁法例10．（2024·四川內(nèi)江·高三期末）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲和乙相鄰，丙不站在兩端，則不同的排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種例11．（2024·江西宜春·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）“基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)試驗(yàn)計(jì)劃”簡(jiǎn)稱“珠峰計(jì)劃”，是國(guó)家為回應(yīng)“錢學(xué)森之問”而推出的一項(xiàng)人才培養(yǎng)計(jì)劃，旨在培養(yǎng)中國(guó)自己的學(xué)術(shù)大師.浙江大學(xué)?復(fù)旦大學(xué)?武漢大學(xué)?中山大學(xué)均有開設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)基地.已知某班級(jí)有共5位同學(xué)從中任選一所學(xué)校作為奮斗目標(biāo)，每所學(xué)校至少有一位同學(xué)選擇，則同學(xué)選擇浙江大學(xué)的不同方法共有（

）A．24種 B．60種 C．96種 D．240種例12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某個(gè)單位安排7位員工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰的兩天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，則不同的安排方案共有（

）A．504種 B．960種 C．1008種 D．1200種變式11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2024年春節(jié)在北京工作的五個(gè)家庭，開車搭伴一起回老家過年，若五輛車分別為，五輛車隨機(jī)排成一排，則車與車相鄰，車與車不相鄰的排法有（

）A．36種 B．42種 C．48種 D．60種變式12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為慶祝廣益中學(xué)建校130周年，高二年級(jí)派出甲?乙?丙?丁?戊5名老師參加“130周年辦學(xué)成果展”活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后5名老師排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則排法共有（

）種.A．40 B．24 C．20 D．12題型五：插空法例13．（2024·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知來(lái)自甲、乙、丙三個(gè)學(xué)校的5名學(xué)生參加演講比賽，其中三個(gè)學(xué)校的學(xué)生人數(shù)分別為1、2、2.現(xiàn)要求相同學(xué)校的學(xué)生的演講順序不相鄰，則不同的演講順序的種數(shù)為（

）A．40 B．36 C．56 D．48例14．（2024·黑龍江佳木斯·高三?？奸_學(xué)考試）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相鄰，排法種數(shù)為（）A．12 B．36 C．48 D．72例15．（2024·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)二十中?？奸_學(xué)考試）五聲音階是中國(guó)古樂基本音階，故有成語(yǔ)“五音不全”，中國(guó)古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，若把這五個(gè)音階全用上，排成一個(gè)五個(gè)音階的音序，且要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè)，則可排成不同的音序種數(shù)為（

）A．72 B．28 C．24 D．32變式13．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排．若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)為（

）A．36 B．42 C．48 D．60變式14．（2024·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）某校舉行文藝匯演，甲、乙、丙等6名同學(xué)站成一排演唱歌曲，若甲、乙不相鄰，丙不在兩端，則不同的排列方式共有（

）A．72種 B．144種 C．288種 D．432種變式15．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）北京地處中國(guó)北部?華北平原北部，東與天津毗連，其余方向均與河北相鄰，是世界著名古都，也是國(guó)務(wù)院批復(fù)確定的中國(guó)政治中心?文化中心?國(guó)際交往中心?科技創(chuàng)新中心.為了感受這座古今中外聞名的城市，某學(xué)生決定在高考后游覽北京，計(jì)劃6天游覽故宮?八達(dá)嶺長(zhǎng)城?頤和園?“水立方”?“鳥巢”?798藝術(shù)區(qū)?首都博物館7個(gè)景點(diǎn)，如果每天至少游覽一個(gè)景點(diǎn)，且“水立方”和“鳥巢”在同一天游覽，故宮和八達(dá)嶺長(zhǎng)城不在相鄰兩天游覽，那么不同的游覽順序共有（

）A．120種 B．240種 C．480種 D．960種變式16．（2024·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中校考模擬預(yù)測(cè)）一排有8個(gè)座位，有3人各不相鄰而坐，則不同的坐法共有（

）A．120種 B．60種 C．40種 D．20種題型六：定序問題（先選后排）例16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）滿足，且的有序數(shù)組共有（

）個(gè).A． B． C． D．例17．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則滿足的有序數(shù)組共有（

）個(gè)A． B． C． D．例18．（2024·山西朔州·高二懷仁市第一中學(xué)校?？计谥校┪迦瞬⑴耪驹谝慌?，如果A，B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法種數(shù)有（

）A．60種 B．48種 C．36種 D．24種變式17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）DNA是形成所有生物體中染色體的一種雙股螺旋線分子，由稱為堿基的化學(xué)成分組成它看上去就像是兩條長(zhǎng)長(zhǎng)的平行螺旋狀鏈，兩條鏈上的堿基之間由氫鍵相結(jié)合．在DNA中只有4種類型的堿基，分別用A、C、G和T表示，DNA中的堿基能夠以任意順序出現(xiàn)兩條鏈之間能形成氫鍵的堿基或者是A-T，或者是C-G，不會(huì)出現(xiàn)其他的聯(lián)系因此，如果我們知道了兩條鏈中一條鏈上堿基的順序，那么我們也就知道了另一條鏈上堿基的順序．如圖所示為一條DNA單鏈模型示意圖，現(xiàn)在某同學(xué)想在堿基T和堿基C之間插入3個(gè)堿基A，2個(gè)堿基C和1個(gè)堿基T，則不同的插入方式的種數(shù)為（

）A．20 B．40 C．60 D．120變式18．（2024·江蘇揚(yáng)州·高三?？计谀┗簦置安薀簟薄盁艋\”，是中國(guó)傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時(shí)代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有懸掛著的6盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數(shù)為_________變式19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某公司在元宵節(jié)組織了一次猜燈謎活動(dòng)，主持人事先將10條不同燈謎分別裝在了如圖所示的10個(gè)燈籠中，猜燈謎的職員每次只能任選每列最下面的一個(gè)燈籠中的謎語(yǔ)來(lái)猜（無(wú)論猜中與否，選中的燈籠就拿掉），則這10條燈謎依次被選中的所有不同順序方法數(shù)為____________.（用數(shù)字作答）變式20．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）7人排隊(duì)，其中甲、乙、丙3人順序一定，共有__不同的排法.題型七：列舉法例19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)論領(lǐng)域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明．四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個(gè)自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)．設(shè)，其中a，b，c，d均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是（

）A．28 B．24 C．20 D．16例20．（2024·浙江寧波·高二校聯(lián)考期末）已知字母，，各有兩個(gè)，現(xiàn)將這6個(gè)字母排成一排，若有且僅有一組字母相鄰（如），則不同的排法共有（

）種A．36 B．30 C．24 D．16例21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某人設(shè)計(jì)一項(xiàng)單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形（邊長(zhǎng)為2個(gè)單位）的頂點(diǎn)處，然后通過擲骰子來(lái)確定棋子沿正方形的邊按逆時(shí)針方向行走了幾個(gè)單位，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為，則棋子就按逆時(shí)針方向行走個(gè)單位，一直循環(huán)下去.則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到起點(diǎn)處的所有不同走法共有（

）A．21種 B．22種 C．25種 D．27種變式21．（2024·海南海口·統(tǒng)考一模）形如45132這樣的數(shù)稱為“波浪數(shù)”，即十位上的數(shù)字，千位上的數(shù)字均比與它們各自相鄰的數(shù)字大，則由1，2，3，4，5可組成數(shù)字不重復(fù)的五位“波浪數(shù)”的個(gè)數(shù)為A．20 B．18 C．16 D．11變式22．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí)，需要固定如圖所示的六個(gè)位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€(gè)螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個(gè)螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________．題型八：多面手問題例22．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我校去年11月份，高二年級(jí)有10人參加了赴日本交流訪問團(tuán)，其中3人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6人上臺(tái)表演，3人唱歌，3人跳舞，有（

）種不同的選法．A． B． C． D．例23．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某國(guó)際旅行社現(xiàn)有11名對(duì)外翻譯人員，其中有5人只會(huì)英語(yǔ)，4人只會(huì)法語(yǔ)，2人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)法語(yǔ)，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語(yǔ)翻譯，4人當(dāng)法語(yǔ)翻譯，則共有（

）種不同的選法A．225 B．185 C．145 D．110例24．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“賽龍舟”是端午節(jié)的習(xí)俗之一，也是端午節(jié)最重要的節(jié)日民俗活動(dòng)之一，在我國(guó)南方普遍存在端午節(jié)臨近，某單位龍舟隊(duì)欲參加今年端午節(jié)龍舟賽，參加訓(xùn)練的8名隊(duì)員中有3人只會(huì)劃左槳，3人只會(huì)劃右槳，2人既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳．現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（

）A．26種 B．30種 C．37種 D．42種變式23．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左舷，4人只會(huì)劃右舷，2人既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（

）A．56種 B．68種C．74種 D．92種題型九：錯(cuò)位排列例25．（2024·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考期末）“數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡(jiǎn)單，將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填一個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相間，若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從大到小排列的，則不同的填法種數(shù)為（

）A．72 B．108 C．144 D．196例26．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)人分別去坐編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)座位，其中有且只有兩個(gè)人的編號(hào)與座位號(hào)一致的坐法有（

）A．10種 B．20種 C．30種 D．60種例27．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將編號(hào)為、、、、、的小球放入編號(hào)為、、、、、的六個(gè)盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球的編號(hào)相同，則不同的放法種數(shù)為（

）A． B． C． D．變式24．（2024·廣東廣州·高二廣州奧林匹克中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將編號(hào)為1?2?3?4?5?6的六個(gè)小球放入編號(hào)為1?2?3?4?5?6的六個(gè)盒子里，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，若有且只有三個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球編號(hào)相同，則不同的方法總數(shù)是（

）A．20 B．40 C．120 D．240題型十：涂色問題例28．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給該地區(qū)的5個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的涂色方法共有種.例29．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)正方體的6個(gè)面進(jìn)行涂色，有5種不同的顏色可供選擇.要求每個(gè)面只涂一種顏色，且有公共棱的兩個(gè)面不同色，則總的涂色方法個(gè)數(shù)為（填寫數(shù)字）例30．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某城市休閑公園管理人員擬對(duì)一塊圓環(huán)區(qū)域進(jìn)行改造封閉式種植鮮花，該圓環(huán)區(qū)域被等分為5個(gè)部分，每個(gè)部分從紅、黃、紫三種顏色的鮮花中選取一種進(jìn)行栽植．要求相鄰區(qū)域不能用同種顏色的鮮花，總的栽植方案有種．

變式25．（2024·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)課上，老師出了一道智力游戲題.如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)3乘3方格圖（小正方形邊長(zhǎng)為1），一共有十六個(gè)紅色的格點(diǎn)，游戲規(guī)則是每一步可以改變其中一個(gè)點(diǎn)的顏色（只能由紅變綠或綠變紅），如將其中任何一個(gè)點(diǎn)由紅色改成綠色，則這個(gè)點(diǎn)周圍與之相鄰的點(diǎn)也要從原來(lái)的顏色變成另外一種顏色，比如選擇變成綠色，則與之相鄰的，，，四個(gè)點(diǎn)也要變成綠色，那么最少需要步，才能使得位于直線上的四個(gè)點(diǎn)變成綠色，而其他點(diǎn)都是紅色.變式26．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，現(xiàn)要對(duì)某公園的4個(gè)區(qū)域進(jìn)行綠化，有5種不同顏色的花卉可供選擇，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色的花卉，共有種不同的綠化方案（用數(shù)字作答）.變式27．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）七巧板是古代勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶.如圖是某同學(xué)用木板制作的七巧板，它包括5個(gè)等腰直角三角形?一個(gè)正方形和一個(gè)平行四邊形.若用四種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨(dú)一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有種.變式28．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用四種不同的顏色為正六邊形（如圖）中的六塊區(qū)域涂色，要求有公共邊的區(qū)域涂不同顏色，一共有種不同的涂色方法．變式29．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，用4種不同的顏色給圖中的8個(gè)區(qū)域涂色，每種顏色至少使用一次，每個(gè)區(qū)域僅涂一種顏色，且相鄰區(qū)域所涂顏色互不相同，則區(qū)域，，，和，，，分別各涂2種不同顏色的涂色方法共有種；區(qū)域，，，和，，，分別各涂4種不同顏色的涂色方法共有種.題型十一：分組問題例31．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）貴陽(yáng)一中體育節(jié)中，乒乓球球單打12強(qiáng)中有4個(gè)種子選手，將這12人平均分成3個(gè)組（每組4個(gè)人）、則4個(gè)種子選手恰好被分在同一組的分法有（

）A．21 B．42 C．35 D．70例32．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）把10個(gè)蘋果分成三堆，要求每堆至少1個(gè)，至多5個(gè)，則不同的分法共有（）A．4種 B．5種 C．6種 D．7種例33．（2024·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）在《爸爸去哪兒》第二季第四期中，村長(zhǎng)給6位“萌娃”布置一項(xiàng)搜尋空投食物的任務(wù)．已知：①食物投擲地點(diǎn)有遠(yuǎn)、近兩處；②由于Grace年紀(jì)尚小，所以要么不參與該項(xiàng)任務(wù)，但此時(shí)另需一位小孩在大本營(yíng)陪同，要么參與搜尋近處投擲點(diǎn)的食物；③所有參與搜尋任務(wù)的小孩須被均分成兩組，一組去遠(yuǎn)處，一組去近處，那么不同的搜尋方案有（

）A．25種 B．30種 C．40種 D．50種變式30．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）將12個(gè)不同的物體分成3組，每組4個(gè)，則不同的分法種數(shù)為（

）.A．34650 B．5940 C．495 D．5775變式31．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）某中學(xué)要給三個(gè)班級(jí)補(bǔ)發(fā)8套教具，先將其分成3堆，其中一堆4套，另兩堆每堆2套，則不同的分堆方法種數(shù)為（

）A． B． C． D．變式32．（2024·福建廈門·高三廈門雙十中學(xué)校考階段練習(xí)）將6名同學(xué)分成兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，每組至少兩人，則不同的分組方法共有___________種.題型十二：分配問題例34．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）按下列要求分配6本不同的書.（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，有種不同的分配方式；（2）甲?乙?丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有種不同的分配方式；（3）平均分成三份，每份2本，有種不同的分配方式；（4）平均分配給甲?乙?丙三人，每人2本，有種不同的分配方式；（5）分成三份，1份4本，另外兩份每份1本，有種不同的分配方式；（6）甲?乙?丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本，有種不同的分配方式；（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本，有種不同的分配方式.例35．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將9名大學(xué)生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天參加社區(qū)公益活動(dòng)，每天分別安排3人，每人參加一次，則不同的安排方案共有種．（用數(shù)字作答）例36．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）現(xiàn)計(jì)劃安排A，B，C，D，E五名教師教這六門課程，每名教師至少教一門課程，每門課程只配一名教師，且教師A不教“圍棋”，教師B只能教一門課程，則滿足條件的課程安排的種數(shù)為．變式33．（2024·四川瀘州·高三四川省瀘縣第四中學(xué)?？奸_學(xué)考試）綿陽(yáng)中學(xué)食堂，以其花樣繁多的飯菜種類和令人難忘的色香味使大批學(xué)子醉倒在它的餐盤之下，學(xué)子們不約而同地將其命名為“遠(yuǎn)航大酒樓”．“遠(yuǎn)航大酒樓”共三層樓，5名高一新同學(xué)相約到食堂就餐，為看盡食堂所有美食種類，他們打算分為三組去往不同的樓層．其中甲同學(xué)不去二樓，則一共有種不同的分配方式．變式34．（2024·福建福州·高三福建省福州第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）為了貫徹落實(shí)中央新疆工作座談會(huì)和全國(guó)對(duì)口支援新疆工作會(huì)議精神，促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)的發(fā)展，某市派出了包括甲、乙在內(nèi)的5名專家型教師援疆，現(xiàn)將這5名教師分配到新疆的A、B、C、D四所學(xué)校，要求每所學(xué)校至少安排一位教師，則在甲志愿者被安排到A學(xué)校有種安排方法．變式35．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）8個(gè)完全相同的球放入編號(hào)1，2，3的三個(gè)空盒中，要求放入后3個(gè)盒子不空且數(shù)量均不同，則有種放法.變式36．（2024·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考開學(xué)考試）為了落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，踐行五育并舉，某校開設(shè)三門德育校本課程，現(xiàn)有甲?乙?丙?丁四位同學(xué)參加校本課程的學(xué)習(xí)，每位同學(xué)僅報(bào)一門，每門至少有一位同學(xué)參加，則不同的報(bào)名方法有.題型十三：隔板法例37．（2024·云南紅河·統(tǒng)考三模）某校將個(gè)三好學(xué)生名額分配到高三年級(jí)的個(gè)班，每班至少個(gè)名額，則共有多少種不同的分配方案（

）A．15 B．20 C．10 D．30例38．（2024·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）學(xué)校決定把個(gè)參觀航天博物館的名額給三（1）?三（2）?三（3）?三（4）四個(gè)班級(jí).要求每個(gè)班分別的名額不比班級(jí)序號(hào)少，即三（1）班至少個(gè)名額，三（2）班至少個(gè)名額，……，則分配方案有（

）A．種 B．種 C．種 D．種例39．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)有9個(gè)相同的球要放到3個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子至少一個(gè)球，各盒子中球的個(gè)數(shù)互不相同，則不同放法的種數(shù)是（

）A．28 B．24 C．18 D．16變式37．（2024·江蘇蘇州·高二吳縣中學(xué)?？计谥校W(xué)校有6個(gè)優(yōu)秀學(xué)生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個(gè)年級(jí)至少1個(gè)名額，則有（

）種分配方案．A．135 B．10 C．75 D．120變式38．（2024·全國(guó)·高二期末）方程的正整數(shù)解共有（

）組A．165 B．120 C．38 D．35題型十四：數(shù)字排列例40．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用0，1，2，3，4可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．36 B．48 C．60 D．72例41．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）用數(shù)字、、組成五位數(shù)，且數(shù)字、、至少都出現(xiàn)一次，這樣的五位數(shù)共有（

）個(gè)A． B． C． D．例42．（2024·北京·高二北京八中?？计谀┯萌齻€(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，要求每個(gè)數(shù)字至少出現(xiàn)一次，共可組成個(gè)不同的四位數(shù)__________（用數(shù)字作答）.變式39．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中個(gè)位?十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有___________.個(gè)（用數(shù)字作答）.變式40．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有___________個(gè)．（用數(shù)字作答）題型十五：幾何問題例43．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)作為頂點(diǎn)，可得到四面體的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．例44．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）一只螞蟻從正四面體的頂點(diǎn)出發(fā)，沿著正四面體的棱爬行，每秒爬一條棱，每次爬行的方向是隨機(jī)的，則螞蟻第1秒后到點(diǎn)，第4秒后又回到點(diǎn)的不同爬行路線有（

）A．6條 B．7條 C．8條 D．9條例45．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著水平面的線條爬行到點(diǎn)，再由點(diǎn)沿著置于水平面的正方體的棱爬行至頂點(diǎn)，則它可以爬行的不同的最短路徑有（

）條A．40 B．60 C．80 D．120變式41．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）凸八邊形的對(duì)角線有（

）條A．20 B．28 C．48 D．56變式42．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知分子是一種由60個(gè)碳原子構(gòu)成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，是單純由碳原子結(jié)合形成的穩(wěn)定分子，它具有60個(gè)頂點(diǎn)和若干個(gè)面，.各個(gè)面的形狀為正五邊形或正六邊形，結(jié)構(gòu)如圖.已知其中正六邊形的面為20個(gè)，則正五邊形的面為（

）個(gè).A．10 B．12C．16 D．20變式43．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)凸n(n≥3)棱錐中任意兩個(gè)頂點(diǎn)的連線段的條數(shù)為f(n)，則f(n＋1)－f(n)＝()A．n－1 B．nC．n＋1 D．n＋2題型十六：分解法模型與最短路徑問題例46．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有一種走“方格迷宮”游戲，游戲規(guī)則是每次水平或豎直走動(dòng)一個(gè)方格，走過的方格不能重復(fù)，只要有一個(gè)方格不同即為不同走法．現(xiàn)有如圖的方格迷宮，圖中的實(shí)線不能穿過，則從入口走到出口共有多少種不同走法？A．6 B．8 C．10 D．12例47．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）夏老師從家到學(xué)校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導(dǎo)致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開那段維修的路，如圖，假設(shè)夏老師家在處，學(xué)校在處，段正在修路要繞開，則夏老師從家到學(xué)校的最短路徑有（

）條．A．23 B．24 C．25 D．26例48．（2024·廣東惠州·高三?？计谀┤鐖D，某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形組成（實(shí)線表示馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時(shí)不通，則從A到B的最短路徑有（

）A．23條 B．24條 C．25條 D．26條變式44．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）方形是中國(guó)古代城市建筑最基本的形態(tài)，它體現(xiàn)的是中國(guó)文化中以綱常倫理為代表的社會(huì)生活規(guī)則，中國(guó)古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各種方形建筑.如圖，用大小相同的竹棍構(gòu)造一個(gè)大正方體（由個(gè)大小相同的小正方體構(gòu)成），若一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿著竹棍到達(dá)點(diǎn)，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有（

）A．種 B．種C．種 D．種變式45．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）一植物園的參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線不重復(fù)，則不同的參觀路線共有（

）A．6種 B．8種C．36種 D．48種變式46．（2024·廣東惠州·高二校考期中）下圖是某項(xiàng)工程的網(wǎng)絡(luò)圖(單位:天)，則從開始節(jié)點(diǎn)①到終止節(jié)點(diǎn)⑧的路徑共有（）A．14條 B．12條 C．9條 D．7條變式47．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在某城市中，M，N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中是道路網(wǎng)中位于一條對(duì)角線上的5個(gè)交匯處，今在道路網(wǎng)M，N處的甲、乙兩人分別要到N，M處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)N，M處為止，則（

）A．甲從M到達(dá)N處的走法有70種B．甲從M必須經(jīng)過到達(dá)N處的走法有12種C．若甲、乙兩人途中在處相遇，則共有144種走法D．若甲、乙兩人在行走途中會(huì)相遇，則共有1810種走法甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在處相遇，他們?cè)谔幭嘤龅淖叻ㄓ蟹N，則，故D正確．故選：AD．變式48．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）5400的正約數(shù)有______個(gè)變式49．（2024·上海嘉定·高二?？计谥校┱麛?shù)2022有______個(gè)不同的正約數(shù)．題型十七：排隊(duì)問題例49．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）街頭籃球比賽后，紅、黃兩隊(duì)共名隊(duì)員（紅隊(duì)人，黃隊(duì)人）合照，要求人站成一排，紅隊(duì)人中有且只有名隊(duì)員相鄰，則不同排隊(duì)的方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種例50．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）七輛汽車排成一縱隊(duì)，要求甲車、乙車、丙車均不排隊(duì)頭或隊(duì)尾且各不相鄰，則排法有（

）A．48種 B．72種 C．90種 D．144種例51．（2024·山西朔州·高二?？茧A段練習(xí)）名成人帶兩個(gè)小孩排隊(duì)上山，小孩不排在一起也不排在頭尾，則不同的排法種數(shù)有（

）A．種 B．種 C．種 D．種變式50．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方法數(shù)．(1)選5名同學(xué)排成一排；(2)全體站成一排，甲、乙不在兩端；(3)全體站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；(4)全體站成一排，男生站在一起、女生站在一起；(