第61講、圓中的范圍與最值（教師版）

第61講圓中的范圍與最值知識梳理1、涉及與圓有關的最值，可借助圖形性質，利用數形結合求解．一般地：（1）形如的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題．（2）形如的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題．（3）形如的最值問題，可轉化為曲線上的點到點（a，b）的距離平方的最值問題.2、解決圓中的范圍與最值問題常用的策略：（1）數形結合（2）多與圓心聯系（3）參數方程（4）代數角度轉化成函數值域問題必考題型全歸納題型一：斜率型例1．（2024·江蘇·高二專題練習）已知點在圓上運動，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】看作圓上的點到點的直線的斜率的相反數.當經過點的直線與上半圓相切時，切線斜率最小，設切線方程為，所以圓心到切線的距離等于半徑，故，解得故當時，切線斜率最小，此時最大，最大值為，故選：C例2．（多選題）（2024·浙江嘉興·高二?？茧A段練習）已知點在圓上運動，則下列選項正確的是（

）A．的最大值為，最小值為B．的最大值為，最小值為；C．的最大值為，最小值為；D．的最大值為，最小值為；【答案】BC【解析】（1）設，整理得，則表示點與點連線的斜率．當該直線與圓相切時，取得最大值與最小值，所以，解得，所以的最大值為，最小值為；（2）設，整理得，則表示直線在軸上的截距．當該直線與圓相切時，取得最大值與最小值，所以，解得，的最大值為，最小值為．故選：BC.例3．（2024·全國·高三專題練習）已知為圓：上任意一點，則的最大值為.【答案】【解析】由于，故表示和連線的斜率，設，如圖所示，當與圓相切時，取得最大值，設此時，即，又圓心，半徑為1，故，解得，故的最大值為.故答案為：.變式1．（2024·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學?？茧A段練習）已知為圓C：上任意一點，且點．（1）求的最大值和最小值．（2）求的最大值和最小值．（3）求的最大值和最小值．【解析】（1）圓C：，如圖所示，連接QC交圓C于AB兩點，當M與A重合時取得最小值，即，與B重合時取得最大值即，故最大值為，最小值為；（2）易知，由圖形知當與圓C相切時取得最值，如圖所示.可設，則C到其距離為，解得，故最大值為，最小值為（3）設，如圖所示，即過點M的直線的截距，如圖所示，當該直線與圓相切時截距取得最值.圓心C到該直線的距離為，所以或9，故最大值為9，最小值為1.題型二：直線型例4．（2024·全國·高三專題練習）點是圓上的動點，則的最大值是.【答案】【解析】由，則，當且僅當時等號成立，∴的最大值是.故答案為：.例5．（2024·江西吉安·寧岡中學?？家荒＃┮阎c是圓上的動點，則的最大值為（

）A． B． C．6 D．5【答案】A【解析】由，令，則，所以當時，的最大值為.故選：A例6．（2024·全國·高三專題練習）已知點是圓：上的一動點，若圓經過點，則的最大值與最小值之和為（

）A．4 B． C． D．【答案】C【解析】因為圓：經過點，．又，所以，可看成是直線在軸上的截距.如圖所示，當直線與圓相切時，縱截距取得最大值或最小值，此時，解得，所以的最大值為，最小值為，故的最大值與最小值之和為.故選：C．題型三：距離型例7．（2024·黑龍江佳木斯·高二佳木斯一中?？计谥校┌⒉_尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩個定點,的距離之比為（，且），那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．若平面內兩定點,間的距離為，動點滿足，則的最大值為【答案】/【解析】由題可知,不妨設：所以有，因為得，整理得，得，顯然，得，解得：有=因為，所以當時，有最大值為故答案為：例8．（2024·江蘇宿遷·高二校考階段練習）已知為圓上任意一點，且．(1)求的最大值和最小值；(2)若，求的最大值和最小值；(3)若，求的最大值和最小值．【解析】（1）因為，即在圓外，圓的圓心，半徑，，因為，即，所以的最大值為，最小值為；（2）圓的圓心，半徑，令可得，即圓和直線總有公共點求的最大值和最小值，即，解得，所以的最大值為，最小值為；（3），令，當即時，此時點在圓外，所以，求的最大值和最小值轉化為求圓與圓總有公共點求的最大值和最小值，而兩圓心的距離為，當兩圓外切時，解得，此時，當兩圓內切時，兩圓心的距離，所以只能圓在圓的內部，所以，解得，此時，所以的最大值為，最小值為．例9．（2024·高一課時練習）已知點在直線上運動，求的最小值及取得最小值時點的坐標．【解析】因為，可看作定點與直線上任意一點距離的平方，所以距離最小值即是點到直線的距離，由點到直線的距離公式可得最小值為；此時直線與直線垂直，所以直線的方程為，即，由得，即.故的最小值為，此時點P的坐標為.變式2．（2024·高二課時練習）已知點在直線上運動，則取得最小值時點的坐標為．【答案】【解析】轉化為直線上的點到點的距離的平方，又點到直線的距離最小，過點且與直線垂直的直線為因此兩直線聯立，，解得故點的坐標為變式3．（2024·全國·高二專題練習）已知為圓上任意一點．則的最大值為【答案】/【解析】圓即，故圓心，半徑為，又表示圓C上的點M到點的距離，故其最大值為，故答案為：變式4．（2024·全國·高三專題練習）已知平面向量，，，滿足，，，則的最小值為（

）A．1 B． C．3 D．【答案】A【解析】因為，，所以，所以對任意都恒成立，所以.不妨設又.當，設，所以，所以，所以，所以對應的點的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，所以可以看成是到的距離，所以的最小值為.當時，同理可得的最小值為1.故選：A變式5．（2024·廣東東莞·高一東莞高級中學?？茧A段練習）已知點，點在圓上運動，則的最大值為（

）A．22 B．26 C．30 D．32【答案】C【解析】設點,點在圓上運動,滿足,且,當時,取得最大值是;故選:.題型四：周長面積型例10．（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）已知兩點，，點是圓上任意一點，則面積的最大值為，最小值為.【答案】【解析】因為兩點，，所以直線的方程為：，即，，圓，其圓心為，半徑，圓心到直線的距離，點到直線的距離最大值為，距離最小值為，所以面積的最大值；面積的最小值.故答案為：；.例11．（2024·全國·高二專題練習）已知圓，點M為直線上一個動點，過點M作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形周長的最小值為（

）A．8 B． C． D．【答案】A【解析】圓的圓心坐標為，半徑為，因為過點M作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，所以有，，因此有，要想四邊形周長最小，只需最小，即當時，此時，此時，即最小值為，故選：A例12．（2024·全國·模擬預測）已知直線：與圓：相交于不同兩點，，位于直線異側兩點，都在圓上運動，則四邊形面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圓：可以化為標準方程，則其圓心為，半徑，則直線與圓心的距離，故由勾股定理可得半弦長為，所以.又，兩點位于直線異側且都在圓上運動，所以四邊形的面積可以看作是和的面積之和，則當為弦的垂直平分線（即為圓的直徑）時，兩三角形的面積之和最大，即四邊形的面積最大，最大面積.故選：A.變式6．（2024·甘肅慶陽·高二?？计谀┮阎獔A的方程為，點是直線上的一個動點，過點作圓的兩條切線、，、為切點，則四邊形的面積的最小值為【答案】【解析】由圓，得到圓心，半徑由題意可得：，，，，在中，由勾股定理可得：，當最小時，最小，此時所求的面積也最小，點是直線上的動點，當時，有最小值，此時，所求四邊形的面積的最小值為；故答案為：變式7．（2024·高二課時練習）已知，，點為圓上任意一點，則面積的最大值為（

）A．5 B． C． D．【答案】D【解析】圓的圓心，半徑，直線的方程為：，于是點到直線：的距離，而點在圓上，因此點到直線距離的最大值為，又，所以面積的最大值為.故選：D題型五：數量積型例13．（2024·河南南陽·高二統(tǒng)考階段練習）已知點為橢圓上任意一點，是圓上兩點，且，則的最大值是.【答案】24【解析】設圓的圓心為，則，橢圓的右焦點坐標也為，且是圓的一條直徑，因此，因為點是橢圓的右焦點，點在橢圓上，所以，所以，即，所以的最大值為24.故答案為：24.例14．（2024·全國·高三專題練習）已知直線與圓相切于點，設直線與軸的交點為，點為圓上的動點，則的最大值為．【答案】【解析】圓的圓心的為，因為直線與圓相切于點則所以得，所以，，所以直線方程為，圓的方程為，所以，，的中點，則因為，所以故，所以的最大值為故答案為：例15．（2024·江蘇南京·高一?？计谥校┮阎c，點為圓上的動點，則的最大值為.【答案】【解析】圓的標準方程為：，圓心為，半徑為，，當點動到點時，取得最大值，即為在上的投影，.故答案為：.變式8．（2024·全國·高一專題練習）在邊長為4的正方形中，動圓Q的半徑為1、圓心在線段（含端點）上運動，點P是圓Q上及其內部的動點，則的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】建立如圖所示的平面直角坐標系，由數量積的幾何意義可知：等于與在上的投影的乘積，故當在上的投影最大時，數量積最大，此時點在以為圓心的圓的最上端處，此時投影為，故數量積為，故當在上的投影最小時，數量積最小，此時點在以為圓心的圓的最下端處，此時投影為，故數量積為,故，故選：A變式9．（2024·內蒙古呼和浩特·高一呼市二中?？茧A段練習）在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，動圓的半徑為1、圓心在線段CD（含端點）上運動，點P是圓Q上及其內部的動點，則的取值范圍是（

）A．. B． C． D．【答案】A【解析】由，可得為與在方向上的投影之積.正六邊形ABCDEF中，以D為圓心的圓與DE交于M，過M作于，設以C為圓心的圓與垂直的切線與圓切于點N與延長線交點為，則在方向上的投影最小值為，最大值為,又，，則，則的取值范圍是.故選：A變式10．（2024·山東聊城·高一山東聊城一中?？计谥校┮阎呅蜛BCDEF的邊長為2，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，若點P在正六邊形的邊上運動，MN為圓O的直徑，則的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】記圓心為，則，因為互為相反向量，所以，因為正六邊形ABCDEF的邊長為2，為正六邊形的中心，所以當與正六邊形頂點重合時，有最大值2，當在正六邊形邊上的中點處時，有最小值，此時.所以.故選：B題型六：坐標與角度型例16．（2024·浙江麗水·高二校聯考開學考試）已知點P在圓M：上，點，，則最小和最大時分別為（

）A．0°和60° B．15°和75° C．30°和90° D．45°和135°【答案】B【解析】如圖所示，當與圓相切時對應的最大和最小，設最小時切于，最大時切于，由，可得，所以，同理得由點，，可知，所以，.故選：B.例17．（2024·高二單元測試）已知圓C：(x﹣1)2+y2=1，點P(x0，y0)在直線x﹣y+1=0上運動.若C上存在點Q，使∠CPQ=30°，則x0的取值范圍是.【答案】【解析】如圖圓，在直線上，若圓存在點，使得，當在直線上運動，極端情況，與圓相切，.在中，，所以.所以以為圓心，為半徑的圓與直線交于，兩點.符合條件的點在線段之間.所以或.故的取值范圍為.故答案為：例18．（2024·全國·高三專題練習）已知，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】點在圓上，,則，如圖，當與圓相切時，取得最小值，所以，此時點.故選：C變式11．（2024·浙江嘉興·高二校考階段練習）若圓）與圓交于A、B兩點，則tan∠ANB的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】可化為，故圓N的圓心為，半徑為，由題意可知：AB為圓M與圓N的公共弦，且圓M的半徑為1，所以且，故，當的坐標為時，，在△NAB中，，又，在上單調遞減，故為銳角，且當時，最大，又在上單調遞增，所以當最大時，取得最大值，且最大值為，故選：D變式12．（2024·全國·高三專題練習）動圓M經過坐標原點，且半徑為1，則圓心M的橫縱坐標之和的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【解析】設動圓圓心，半徑為1，動圓M經過坐標原點，可得,即，，當且僅當時取等號，即，則圓心M的橫縱坐標之和的最大值為故選：C變式13．（2024·全國·模擬預測）已知圓，圓是以圓上任意一點為圓心，1為半徑的圓．圓與圓交于，兩點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，．如圖所示：當公共弦最大，即為圓的直徑時，最大，又可得為銳角，即取得最大值．此時，則．故選：D題型七：長度型例19．（2024·全國·高三專題練習）已知圓及點，點P、Q分別是直線和圓C上的動點，則的最小值為.【答案】3【解析】作出點A關于直線的對稱點，如圖：設點，則有，解得，即，而C(2，0)由圓的性質知：圓外點P與圓C上點Q距離滿足(當且僅當Q是線段PC與圓C的交點時取“=”)，連接交直線于點O，P為直線上任意一點，連(線段PC交圓C于點Q)，則，當且僅當點P在線段上，即與點O重合時取“=”，所以的最小值為3.故答案為：3例20．（2024·湖北·高二沙市中學校聯考期中）已知直線與圓交于兩點，且，則的最大值為.【答案】/【解析】的幾何意義為點到直線的距離之和，其最大值是的中點到直線的距離的2倍.由題可知，為等邊三角形，則，∴AB中點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，故點到直線的最大距離為，∴的最大值為，∴的最大值為＝.故答案為：.例21．（2024·上海普陀·高二上海市晉元高級中學校考期末）已知為圓上的兩點，且，設為弦的中點，則的最大值為.【答案】15【解析】注意到，則，又，則，又由垂徑定理可知，，則.故P點軌跡是以M為圓心，半徑為1的圓.注意到，表示P到直線距離的5倍，又圓上一點到距離的最大值為：，則的最大值為15.故答案為：15變式14．（2024·上海靜安·高二?？计谀┮阎獙崝禎M足，，則的最大值為.【答案】/【解析】設圓，直線，，，則，都在圓上，∵，，∴△MON是等邊三角形，∴．表示和到直線的距離和，由圖形得只有當、都在直線的下方時，該距離之和才會取得最大值．取、的中點，過作，垂足為，則，∵為等邊三角形，為的中點，∴，則在圓上運動，則當MN∥l時，到直線距離的最大值為，∴的最大值為．故答案為：變式15．（2024·全國·高三專題練習）古希臘數學家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：在平面上給定兩點A、B，動點P滿足（其中是正常數，且），則P的軌跡是一個圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓”．現已知兩定點，P是圓上的動點，則的最小值為【答案】【解析】如圖，在軸上取點，，，，，（當且僅當為與圓交點時取等號），.故答案為：.變式16．（2024·全國·高二期中）已知圓是以點和點為直徑的圓，點為圓上的動點，若點，點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設，知：且，即圓的半徑為4，∴圓：，如上圖，坐標系中則，∴，即△△，故，∴，在△中，∴要使最大，共線且最大值為的長度.∴.故選：A變式17．（2024·四川成都·高二成都七中?？奸_學考試）已知，是曲線上兩個不同的點，，則的最大值與最小值的比值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】化簡得，由，得.因為，所以或.當時，；當時，.所以方程表示的曲線為圓的左半部分和圓的右半部分.根據圓的性質知：當A，B分別與圖中的M，N重合時，取得最大值，且最大值為6；當A，B為圖中E，F，G，H四點中的某兩點時，取得最小值，且最小值為.故的最大值與最小值的比值是.故選：B.變式18．（2024·全國·高三專題練習）在中，，，點在內部，，則的最小值為．【答案】2【解析】因為，，所以.在中，由正弦定理得：（R為的外接圓半徑），所以，解得：.如圖所示：設的外接圓的圓心為O，建立如圖示的坐標系.設E為AC的中點，所以，.所以點M的軌跡為：，可寫出（為參數）.因為點在內部，所以（其中滿足，）.所以因為滿足，，所以，所以當時最小.故答案為：2變式19．（2024·河南許昌·高二禹州市高級中學?？茧A段練習）已知點P在直線上運動，點E是圓上的動點，點F是圓上的動點，則的最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】如圖所示，圓的圓心為，半徑為3，圓關于直線的對稱圓為圓B，其中設圓心B坐標為，則，解得：，故圓B的圓心為，半徑