第62講、隱圓問(wèn)題（學(xué)生版）

第62講隱圓問(wèn)題必考題型全歸納題型一：隱圓的第一定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)例1．（2024·天津北辰·高三天津市第四十七中學(xué)校考期末）平面內(nèi)，定點(diǎn)，，，滿足，且，動(dòng)點(diǎn)，滿足，，則的最大值為（

）A． B． C． D．例2．（2024·全國(guó)·高一階段練習(xí)）已知是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知單位向量與向量垂直，若向量滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式1．（2024·湖北武漢·高二湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如果圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式2．（2024·新疆和田·高二期中）如果圓（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，1）變式3．（2024·新疆·高三兵團(tuán)第三師第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面內(nèi)，定點(diǎn)，，，滿足，，動(dòng)點(diǎn)，滿足，，則的最大值為．變式4．（2024·安徽池州·高一池州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面內(nèi)，定點(diǎn)與、、滿足，，動(dòng)點(diǎn)、滿足，，則的最大值為．題型二：隱圓的第二定義：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值例4．（2024·四川廣元·高二四川省劍閣中學(xué)校校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，為兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線上，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值為．例5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知四點(diǎn)共面，，，，則的最大值為．例6．（2024·浙江金華·高二校聯(lián)考期末）已知圓，點(diǎn)，設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，令，則的最小值為．變式5．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）正方形與點(diǎn)在同一平面內(nèi)，已知該正方形的邊長(zhǎng)為1，且，則的取值范圍為.變式6．（2024·上海閔行·高二校考期末）如圖，△是邊長(zhǎng)為1的正三角形，點(diǎn)在△所在的平面內(nèi)，且（為常數(shù)），滿足條件的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．變式7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，是邊長(zhǎng)為1的正三角形，點(diǎn)P在所在的平面內(nèi)，且（a為常數(shù)），下列結(jié)論中正確的是A．當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè)B．當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)C．當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)D．當(dāng)a為任意正實(shí)數(shù)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)總是有限個(gè)題型三：隱圓的第三定義：到兩定點(diǎn)的夾角為90°例7．（2024·湖北武漢·高二湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓和點(diǎn)，若圓上存在兩點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．例8．（2024·江蘇南京·金陵中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知圓C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和點(diǎn)M(5，t)，若圓C上存在兩點(diǎn)A，B，使得MA⊥MB，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是例9．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式8．（2024·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)?？计谀┰O(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C．5 D．10變式9．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的值為（

）A．5 B．10 C． D．變式10．（2024·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，動(dòng)直線：過(guò)定點(diǎn)，動(dòng)直線：過(guò)定點(diǎn)，且，交于點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C．5 D．10變式11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)向量，，滿足，，，則的最小值是（

）A． B． C． D．1變式12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，若圓：上存在一點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的最大值是（）A．4 B．5 C．6 D．7變式13．（2024·江西宜春·高一江西省萬(wàn)載中學(xué)?？计谀┮阎?，是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（

）A． B．2 C． D．變式14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（

）A．1 B．2C． D．變式15．（2024·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）已知和是平面內(nèi)兩個(gè)單位向量，且，若向量滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．變式16．（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第一中學(xué)校?？计谥校┮阎蛄?，是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．題型四：隱圓的第四定義：邊與對(duì)角為定值、對(duì)角互補(bǔ)、數(shù)量積定值例10．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)向量滿足，，，則的最大值等于.例11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在邊長(zhǎng)為8正方形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，若對(duì)于常數(shù)，在正方形的邊上恰有個(gè)不同的點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.例12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面四邊形中，連接對(duì)角線，已知，，，，則對(duì)角線的最大值為（

）A．27 B．16 C．10 D．25變式17．（2024·全國(guó)·高考真題）設(shè)向量滿足，，，則的最大值等于A．4 B．2 C． D．1變式18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面內(nèi),設(shè)A、B為兩個(gè)不同的定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足:(為實(shí)常數(shù))，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．不能確定變式19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，梯形中，，，，,和分別為與的中點(diǎn)，對(duì)于常數(shù)，在梯形的四條邊上恰好有8個(gè)不同的點(diǎn)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．變式20．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）已知正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，如果對(duì)于常數(shù)，在正方形的四條邊上，有且只有8個(gè)不同的點(diǎn)，使得成立，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型五：隱圓的第五定義：到兩定點(diǎn)距離之比為定值例13．（2024·四川宜賓·高二四川省宜賓市第四中學(xué)校校考階段練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得?阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，其中，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．例14．（2024·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A，B的距離之比為，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓、點(diǎn)和點(diǎn)，M為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．例15．（2024·湖南張家界·高二統(tǒng)考期末）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比為，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比為時(shí)的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來(lái)研究與此相關(guān)的一個(gè)問(wèn)題：已知圓上的動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．變式21．（2024·廣東東莞·高三東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）對(duì)平面上兩點(diǎn)A、B，滿足的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，命名為阿波羅尼斯圓，稱點(diǎn)A，B是此圓的一對(duì)阿波羅點(diǎn)．不在圓上的任意一點(diǎn)都可以與關(guān)于此圓的另一個(gè)點(diǎn)組成一對(duì)阿波羅點(diǎn)，且這一對(duì)阿波羅點(diǎn)與圓心在同一直線上，其中一點(diǎn)在圓內(nèi)，另一點(diǎn)在圓外，系數(shù)只與阿波羅點(diǎn)相對(duì)于圓的位置有關(guān)．已知，，，若動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最小值是．變式22．（2024·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：在平面上給定兩點(diǎn)A、B，動(dòng)點(diǎn)P滿足（其中是正常數(shù)，且），則P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓稱之為“阿波羅尼斯圓”．現(xiàn)已知兩定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為變式23．（2024·四川廣安·高二廣安二中?？计谥校┌⒉_尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q，P的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，且，若點(diǎn)，則的最小值為.變式24．（2024·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究