第62講、隱圓問題（學生版）

第62講隱圓問題必考題型全歸納題型一：隱圓的第一定義：到定點的距離等于定長例1．（2024·天津北辰·高三天津市第四十七中學校考期末）平面內(nèi)，定點，，，滿足，且，動點，滿足，，則的最大值為（

）A． B． C． D．例2．（2024·全國·高一階段練習）已知是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例3．（2024·全國·高三專題練習）已知單位向量與向量垂直，若向量滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式1．（2024·湖北武漢·高二湖北省武昌實驗中學?？茧A段練習）如果圓上總存在兩個點到原點的距離為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式2．（2024·新疆和田·高二期中）如果圓（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1上總存在兩個點到原點的距離為2，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，1）變式3．（2024·新疆·高三兵團第三師第一中學?？茧A段練習）在平面內(nèi)，定點，，，滿足，，動點，滿足，，則的最大值為．變式4．（2024·安徽池州·高一池州市第一中學?？茧A段練習）在平面內(nèi)，定點與、、滿足，，動點、滿足，，則的最大值為．題型二：隱圓的第二定義：到兩定點距離的平方和為定值例4．（2024·四川廣元·高二四川省劍閣中學校?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，為兩個定點，動點在直線上，動點滿足，則的最小值為．例5．（2024·全國·高三專題練習）已知四點共面，，，，則的最大值為．例6．（2024·浙江金華·高二校聯(lián)考期末）已知圓，點，設(shè)是圓上的動點，令，則的最小值為．變式5．（2024·高二課時練習）正方形與點在同一平面內(nèi)，已知該正方形的邊長為1，且，則的取值范圍為.變式6．（2024·上海閔行·高二?？计谀┤鐖D，△是邊長為1的正三角形，點在△所在的平面內(nèi)，且（為常數(shù)），滿足條件的點有無數(shù)個，則實數(shù)的取值范圍是．變式7．（2024·全國·高三專題練習）如圖，是邊長為1的正三角形，點P在所在的平面內(nèi)，且（a為常數(shù)），下列結(jié)論中正確的是A．當時，滿足條件的點P有且只有一個B．當時，滿足條件的點P有三個C．當時，滿足條件的點P有無數(shù)個D．當a為任意正實數(shù)時，滿足條件的點總是有限個題型三：隱圓的第三定義：到兩定點的夾角為90°例7．（2024·湖北武漢·高二湖北省武昌實驗中學校考階段練習）已知圓和點，若圓上存在兩點使得，則實數(shù)的取值范圍是．例8．（2024·江蘇南京·金陵中學?？寄M預(yù)測）已知圓C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和點M(5，t)，若圓C上存在兩點A，B，使得MA⊥MB，則實數(shù)t的取值范圍是例9．（2024·高二課時練習）設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式8．（2024·陜西西安·高二西安市鐵一中學校考期末）設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值是（

）A． B． C．5 D．10變式9．（2024·高二課時練習）設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的值為（

）A．5 B．10 C． D．變式10．（2024·全國·高三校聯(lián)考階段練習）設(shè)，動直線：過定點，動直線：過定點，且，交于點，則的最大值是（

）A． B． C．5 D．10變式11．（2024·全國·高三專題練習）設(shè)向量，，滿足，，，則的最小值是（

）A． B． C． D．1變式12．（2024·全國·高三專題練習）已知點，，若圓：上存在一點，使得，則實數(shù)的最大值是（）A．4 B．5 C．6 D．7變式13．（2024·江西宜春·高一江西省萬載中學校考期末）已知，是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（

）A． B．2 C． D．變式14．（2024·全國·高三專題練習）已知是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（

）A．1 B．2C． D．變式15．（2024·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）已知和是平面內(nèi)兩個單位向量，且，若向量滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．變式16．（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第一中學校?？计谥校┮阎蛄?，是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．題型四：隱圓的第四定義：邊與對角為定值、對角互補、數(shù)量積定值例10．（2024·全國·高一專題練習）設(shè)向量滿足，，，則的最大值等于.例11．（2024·全國·高三專題練習）在邊長為8正方形中，點為的中點，是上一點，且，若對于常數(shù)，在正方形的邊上恰有個不同的點，使得，則實數(shù)的取值范圍為.例12．（2024·全國·高三專題練習）在平面四邊形中，連接對角線，已知，，，，則對角線的最大值為（

）A．27 B．16 C．10 D．25變式17．（2024·全國·高考真題）設(shè)向量滿足，，，則的最大值等于A．4 B．2 C． D．1變式18．（2024·全國·高三專題練習）在平面內(nèi),設(shè)A、B為兩個不同的定點,動點P滿足:(為實常數(shù))，則動點P的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．不能確定變式19．（2024·全國·高三專題練習）如圖，梯形中，，，，,和分別為與的中點，對于常數(shù)，在梯形的四條邊上恰好有8個不同的點，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．變式20．（2024·江蘇·高一專題練習）已知正方形的邊長為4，點，分別為，的中點，如果對于常數(shù)，在正方形的四條邊上，有且只有8個不同的點，使得成立，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型五：隱圓的第五定義：到兩定點距離之比為定值例13．（2024·四川宜賓·高二四川省宜賓市第四中學校?？茧A段練習）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得?阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：已知動點與兩定點的距離之比，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，其中，定點為軸上一點，定點的坐標為，若點，則的最小值為（

）A． B． C． D．例14．（2024·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A，B的距離之比為，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系中，圓、點和點，M為圓O上的動點，則的最大值為（

）A． B． C． D．例15．（2024·湖南張家界·高二統(tǒng)考期末）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩定點，的距離之比為，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動點與兩定點，的距離之比為時的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來研究與此相關(guān)的一個問題：已知圓上的動點和定點，，則的最小值為（

）A． B． C． D．變式21．（2024·廣東東莞·高三東莞實驗中學?？奸_學考試）對平面上兩點A、B，滿足的點P的軌跡是一個圓，這個圓最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，命名為阿波羅尼斯圓，稱點A，B是此圓的一對阿波羅點．不在圓上的任意一點都可以與關(guān)于此圓的另一個點組成一對阿波羅點，且這一對阿波羅點與圓心在同一直線上，其中一點在圓內(nèi)，另一點在圓外，系數(shù)只與阿波羅點相對于圓的位置有關(guān)．已知，，，若動點P滿足，則的最小值是．變式22．（2024·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習）古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：在平面上給定兩點A、B，動點P滿足（其中是正常數(shù)，且），則P的軌跡是一個圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓”．現(xiàn)已知兩定點，P是圓上的動點，則的最小值為變式23．（2024·四川廣安·高二廣安二中?？计谥校┌⒉_尼斯是古希臘著名的數(shù)學家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點Q，P的距離之比，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點為軸上一點，且，若點，則的最小值為.變式24．（2024·河北滄州·?？寄M預(yù)測）阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學家，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究