第53講、傳統方法求角度與距離（學生版）

第53講傳統方法求角度與距離知識點1：線與線的夾角（1）位置關系的分類：（2）異面直線所成的角①定義：設是兩條異面直線，經過空間任一點作直線，把與所成的銳角（或直角）叫做異面直線與所成的角（或夾角）．②范圍：=3\*GB3③求法：平移法：將異面直線平移到同一平面內，放在同一三角形內解三角形．知識點2：線與面的夾角①定義：平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角．②范圍：=3\*GB3③求法：常規(guī)法：過平面外一點做平面，交平面于點；連接，則即為直線與平面的夾角．接下來在中解三角形．即（其中即點到面的距離，可以采用等體積法求，斜線長即為線段的長度）；知識點3：二面角（1）二面角定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個平面稱為二面角的面．（二面角或者是二面角）（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一點為端點，在兩個半平面內分別做垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角；范圍．（3）二面角的求法法一：定義法在棱上取點，分別在兩面內引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，如圖在二面角的棱上任取一點，以為垂足，分別在半平面和內作垂直于棱的射線和，則射線和所成的角稱為二面角的平面角（當然兩條垂線的垂足點可以不相同，那求二面角就相當于求兩條異面直線的夾角即可）．法二：三垂線法在面或面內找一合適的點，作于，過作于，則為斜線在面內的射影，為二面角的平面角．如圖1，具體步驟：①找點做面的垂線；即過點，作于；②過點（與①中是同一個點）做交線的垂線；即過作于，連接；③計算：為二面角的平面角，在中解三角形．圖1圖2圖3法三：射影面積法凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（，如圖2）求出二面角的大??；法四：補棱法當構成二面角的兩個半平面沒有明確交線時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題．當二平面沒有明確的交線時，也可直接用法三的攝影面積法解題．法五：垂面法由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是二面角的平面角．例如：過二面角內一點作于，作于，面交棱于點，則就是二面角的平面角．如圖3．此法實際應用中的比較少，此處就不一一舉例分析了．知識點4：空間中的距離求點到面的距離轉化為三棱錐等體積法求解．必考題型全歸納題型一：異面直線所成角例1．（2024·四川綿陽·綿陽中學?？级＃┤鐖D，圓柱的軸截面為矩形，點，分別在上、下底面圓上，，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．例2．（2024·全國·高三校聯考開學考試）如圖，在直三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．例3．（2024·江西·高三統考階段練習）如圖，二面角的大小為，且與交線所成的角為，則直線所成的角的正切值的最小值為（

）

A． B． C． D．變式1．（2024·河南·洛寧縣第一高級中學校聯考模擬預測）在正三棱柱中，，D為的中點，E為的中點，則異面直線AD與BE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．變式2．（2024·全國·高三對口高考）兩條異面直線a、b所成角為一條直線l與a、b成角都等于，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式3．（2024·四川·校聯考模擬預測）在正四棱臺中，，其體積為為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．變式4．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校?？既＃┱庵睦忾L均相等，E是的中點，則異面直線與BE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．題型二：線面角例4．（2024·貴州貴陽·校聯考三模）如圖，在直三棱柱中，，，則與平面所成角的正弦值等于（

）

A． B． C． D．例5．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，，，是等邊三角形，，，.(1)求的長度；(2)求直線與平面所成的角的正弦值.例6．（2024·廣東陽江·高三統考開學考試）在正三棱臺中，，，為中點，在上，.

(1)請作出與平面的交點，并寫出與的比值（在圖中保留作圖痕跡，不必寫出畫法和理由）；(2)求直線與平面所成角的正弦值.變式5．（2024·海南海口·海南華僑中學?？级＃┤鐖D，在多面體中，平面平面，底面是等腰直角三角形，，側面是正方形，平面，且，.

(1)證明：．(2)若是的中點，平面，求直線與平面所成角的正弦值．變式6．（2024·全國·高三專題練習）在三棱錐中，，平面平面，且.

(1)證明：；(2)若是直線上的一個動點，求直線與平面所成的角的正切值最大值.變式7．（2024·湖南邵陽·高三統考學業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，與交于點，面，且.

(1)求證平面.；(2)求與平面所成角的大?。兪?．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)證明：；(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．變式9．（2024·全國·模擬預測）如圖，在多面體ABCDE中，平面平面，平面，是邊長為2的正三角形，，．

(1)點為線段上一點，求證：；(2)求與平面所成角的正弦值．變式10．（2024·海南?？凇そy考模擬預測）如圖，四棱錐中，，，平面平面.

(1)證明：平面平面；(2)若，，，與平面所成的角為，求的最大值.變式11．（2024·全國·模擬預測）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，底面，且，，分別為，的中點．(1)證明：．(2)求與平面所成角的正弦值．變式12．（2024·全國·高三專題練習）如圖所示，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，．(1)求證：平面平面；(2)設為的中點，求直線與平面所成角的正弦值．題型三：二面角例7．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在三棱柱中，已知平面，且.

(1)求的長；(2)若為線段的中點，求二面角的余弦值.例8．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在三棱柱中，側面為菱形，.

(1)證明：平面平面；(2)求二面角的余弦值.例9．（2024·廣東深圳·高三校聯考開學考試）在四棱錐中，底面ABCD為正方形，.(1)證明：平面平面ABCD；(2)若，，求平面PAD與平面PBC夾角的余弦值.變式13．（2024·四川成都·高三川大附中?？茧A段練習）如圖，是圓的直徑，點在圓所在平面上的射影恰是圓上的點，且，點是的中點，與交于點，點是上的一個動點.

(1)求證：；(2)求二面角平面角的余弦值.變式14．（2024·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習）已知在四棱錐中，，，，，，E為CD的中點.

(1)證明：平面平面PAE；(2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求二面角的正弦值.變式15．（2024·廣東廣州·高三廣州市第六十五中學?？茧A段練習）如圖，在五面體中，平面ABC，，，.

(1)問：在線段CD上是否存在點P，使得平面ACD?若存在，請指出點P的位置，并證明；若不存在，請說明理由.(2)若，，，求平面ECD與平面ABC夾角的余弦值.變式16．（2024·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預測）如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，.

(1)求證：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值；(3)若點在線段上運動，設平面與平面所成二面角的平面角為，試求的范圍.變式17．（2024·吉林·長春吉大附中實驗學校?？寄M預測）如圖，是圓的直徑，點是圓上異于的點，直線平面分別是的中點．

(1)記平面與平面的交線為，證明：平面；(2)設（1）中的直線與圓的另一個交點為，且點滿足．記直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，二面角的大小為，求證：．變式18．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，.

(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.變式19．（2024·廣東廣州·統考三模）如圖，在幾何體中，矩形所在平面與平面互相垂直，且，，．

(1)求證：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值．變式20．（2024·浙江·校聯考模擬預測）已知四棱錐中，底面為平行四邊形，，平面平面.

(1)若為的中點，證明：平面；(2)若，求平面與平面所夾角的余弦值.變式21．（2024·河南·洛寧縣第一高級中學校聯考模擬預測）在圖1中，為等腰直角三角形，，，為等邊三角形，O為AC邊的中點，E在BC邊上，且，沿AC將進行折疊，使點D運動到點F的位置，如圖2，連接FO，FB，FE，使得．

(1)證明：平面．(2)求二面角的余弦值．變式22．（2024·江蘇蘇州·校聯考三模）如圖，在三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，且，平面，垂足為平面，垂足為，連接并延長交于點.

(1)求二面角的余弦值；(2)在平面內找一點，使得平面，說明作法及理由，并求四面體PDEF的體積.變式23．（2024·全國·高三專題練習）已知四棱錐的底面為梯形，且，又，，，平面平面，平面平面．

(1)判斷直線和的位置關系，并說明理由；(2)若點到平面的距離為，請從下列①②中選出一個作為已知條件，求二面角余弦值大小．①；②為二面角的平面角．題型四：距離問題例10．（2024·山東濱州·高三山東省北鎮(zhèn)中學?？茧A段練習）如圖所示的斜三棱柱中，是正方形，且點在平面上的射影恰是AB的中點H，M是的中點．(1)判斷HM與面的關系，并證明你的結論；(2)若，，求斜三棱柱兩底面間的距離．例11．（2024·北京海淀·高三海淀實驗中學?？计谀┤鐖D，在三棱柱中，平面平面，側面是邊長為2的正方形，分別為的中點.(1)證明：面(2)請再從下列三個條件中選擇一個補充在題干中，完成題目所給的問題.①直線與平面所成角的大小為；②三棱錐的體積為；③.若選擇條件___________.求（i）求二面角的余弦值；（ii）求直線與平面的距離.例12．（2024·全國·高三專題練習）如圖，三棱錐中，，均為等邊三角形，，O為AB中點，點D在AC上，滿足，且面面ABC．(1)證明：面POD；(2)若點E為PB中點，問：直線AC上是否存在點F，使得面POD，若存在，求出FC的長及EF到面POD的距離；若不存在，說明理由．變式24．（2024·廣東河源·高三校聯考開學考試）在長方體中，，，，為，的中點，在上，且.過，，三點的平面與長方體的六個面相交得到六邊形，則點到直線的距離為.變式25．（2024·黑龍江·黑龍江實驗中學?？级＃┰趫A臺中，是其軸截面，，過與軸截面垂直的平面交下底面于，若點到平面的距離是，則圓臺的體積等于.變式26．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知AB，CM分別為圓柱上、下底面的直徑，且AB＝2，圓柱的高為，，則點M到平面ABC的距離為.變式27．（2024·湖北武漢·高三武漢市黃陂區(qū)第一中學?？茧A段練習）在四面體中，，與所在的直線間的距離為3，且與所成的角為，則四面體的體積為.變式28．（2024·浙江紹興·高三統考開學考試）在正三棱錐中，，設分別是棱的中點，是三棱錐的外接球的球心，若，則到平面的