高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)核心考點精講精練(新高考專用)專題3.3函數(shù)的奇偶性與周期性【原卷版+解析】

專題3.3函數(shù)的奇偶性與周期性【核心素養(yǎng)】1.以常見函數(shù)為載體，考查函數(shù)的奇偶性與周期性，凸顯直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．2.與不等式、方程等相結(jié)合考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，凸顯分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．3.與函數(shù)、不等式結(jié)合，考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，凸顯直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．知識點一知識點一函數(shù)的奇偶性1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點對稱2.函數(shù)奇偶性的幾個重要結(jié)論(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關(guān)于原點對稱的非空數(shù)集．(4)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．即“奇同偶反”.3．有關(guān)對稱性的結(jié)論(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)為偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝a對稱．若函數(shù)y＝f(x＋a)為奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(a,0)對稱．(2)若f(x)＝f(2a－x)，則函數(shù)f(x)關(guān)于x＝a對稱；若f(x)＋f(2a－x)＝2b，則函數(shù)f(x)關(guān)于點(a，b)對稱．知識點二知識點二函數(shù)的周期性1.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.2．常用結(jié)論周期性常用的幾個結(jié)論如下：定義式f(x＋T)＝f(x)對定義域內(nèi)的x是恒成立的．（1）對時，若或（）恒成立，則是的一個周期；（2）對時，若或或（）恒成立，則是的一個周期；（3）若為偶函數(shù)，其圖象又關(guān)于對稱，則是以為一個周期的周期函數(shù)；（4）若為奇函數(shù)，其圖象又關(guān)于對稱，則是以為一個周期的周期函數(shù).（5）若f(x＋a)＝f(x＋b)，則函數(shù)f(x)的周期為T＝|a－b|；?？碱}型剖析常考題型剖析題型一：函數(shù)奇偶性的判斷【典例分析】例1-1.（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．例1-2.（2023·北京·北京八十中校考模擬預(yù)測）下列函數(shù)中，與函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性均相同的是（

）．A． B． C． D．【知識拓展】(1)奇、偶函數(shù)定義域的特點．由于f(x)和f(－x)須同時有意義，所以奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱．這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)奇、偶函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系的特點．①奇函數(shù)有f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?eq\f(f－x,fx)＝－1(f(x)≠0)；②偶函數(shù)有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?eq\f(f－x,fx)＝1(f(x)≠0)．(3)函數(shù)奇偶性的三個關(guān)注點．①若奇函數(shù)在原點處有定義，則必有f(0)＝0.有時可以用這個結(jié)論來否定一個函數(shù)為奇函數(shù)；②既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關(guān)于原點對稱的非空集合；③函數(shù)根據(jù)奇偶性可分為奇函數(shù)、偶函數(shù)、既奇又偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)．【變式訓(xùn)練】變式1-1.（2023春·上海寶山·高三上海交大附中校考期中）函數(shù)的奇偶性為（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既奇又偶函數(shù)變式1-2.（2023·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．題型二：由函數(shù)的奇偶性求解析式（函數(shù)值）例2-1.（2019·全國高考真題（文））設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)=，則當(dāng)x<0時，f(x)=（）A． B．C． D．例2-2.（2023·全國·高三對口高考）已知函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則__________．【規(guī)律方法】應(yīng)用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式①將所求解析式自變量的范圍轉(zhuǎn)化為已知解析式中自變量的范圍；②將轉(zhuǎn)化后的自變量代入已知解析式；③利用函數(shù)的奇偶性求出解析式．【變式訓(xùn)練】變式2-1.（2023春·湖南邵陽·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知是定義域為R的奇函數(shù)，時，，則（

）A．0 B． C． D．2變式2-2.（2021·上海高三二模）已知函數(shù)為奇函數(shù)，若，則___________．題型三：由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值【典例分析】例3-1.（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若為偶函數(shù)，則（

）．A． B．0 C． D．1例3-2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2【規(guī)律方法】利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值：在定義域關(guān)于原點對稱的前提下，根據(jù)奇函數(shù)滿足f(－x)＝－f(x)或偶函數(shù)滿足f(－x)＝f(x)列等式，根據(jù)等式兩側(cè)對應(yīng)相等確定參數(shù)的值．特別要注意的是：若能夠確定奇函數(shù)的定義域中包含0，可以根據(jù)f(0)＝0列式求解，若不能確定則不可用此法．【變式訓(xùn)練】變式3-1.（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B．1 C． D．2變式3-2.若函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．題型四：函數(shù)周期性及其應(yīng)用【典例分析】例4-1.（2023·全國·高三對口高考）已知是定義在上的偶函數(shù)，并且滿足，當(dāng)時，，則等于（

）A． B． C． D．例4-2．（2023·全國·高三對口高考）若存在常數(shù)，使得函數(shù)滿足，則的一個正周期為__________．【規(guī)律方法】1．求函數(shù)周期的方法求一般函數(shù)周期常用遞推法和換元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝計算．遞推法：若f(x＋a)＝－f(x)，則f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.換元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，則f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．2．判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題．3．根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問題時，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．【變式訓(xùn)練】變式4-1.已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足,若，則()A． B． C． D．變式4-2.（2023·全國·高三對口高考）函數(shù)的周期為，且當(dāng)時，，則，的解析式為__________．題型五：函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性綜合應(yīng)用【典例分析】例5-1.（2020·海南·高考真題）若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．例5-2.（2023·廣東汕頭·金山中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)，則使得成立的實數(shù)的取值范圍為__________.【總結(jié)提升】函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合．注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性．【變式訓(xùn)練】變式5-1.（2023·全國·高三對口高考）設(shè)奇函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，且，則不等式，的解集為（

）A． B．C． D．變式5-2.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）為定義在上的偶函數(shù)，對任意的，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．題型六：函數(shù)的奇偶性、周期性綜合應(yīng)用【典例分析】例6-1.（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，．若，則（

）A． B． C． D．例6-2.【多選題】（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）定義在上的奇函數(shù)滿足：是偶函數(shù)，且，則（

）A． B．C．的圖象不關(guān)于直線對稱 D．【規(guī)律方法】1.周期性與奇偶性的綜合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．2.應(yīng)用奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱．【變式訓(xùn)練】變式6-1.（2023·新疆喀什·?？寄M預(yù)測）已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，則以下說法錯誤的是（

）A． B．的周期為2C． D．變式6-2.【多選題】（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）定義在上的函數(shù)滿足，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則（

）A．的圖象關(guān)于對稱 B．是的一個周期C． D．題型七：函數(shù)的奇偶性、周期性及單調(diào)性的綜合應(yīng)用例7-1.【多選題】（2023春·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，的圖象關(guān)于點成中心對稱，當(dāng)時，，則下列說法正確的是（

）A．B．函數(shù)的值域為C．直線y＝1與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有4個交點D．例7-2.（2023·全國·高三對口高考）已知定義在上的奇函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù)，則、、的大小關(guān)系為__________．【總結(jié)提升】單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合問題,通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解．【變式訓(xùn)練】變式7-1.（2023·全國·高三對口高考）函數(shù)均為偶函數(shù)，且當(dāng)時，是減函數(shù)，設(shè)，，則a、b、c的大小是（

）A． B．C． D．變式7-2.（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)對都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且對，當(dāng)時，都有，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是偶函數(shù)C．是周期為4的周期函數(shù) D．一、單選題1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A．0 B． C． D．2．（2023·全國·高三對口高考）函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，，則的最大值與最小值之和為（

）A．0 B．1 C．2 D．33.（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù),則（

）A．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 D．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．5.（2023·北京大興·校考三模）已知函數(shù)對任意都有，且，當(dāng)時，.則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．當(dāng)時，D．函數(shù)的最小正周期為26.（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．函數(shù)的周期為3 B．C． D．二、多選題7．（2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，則（

）A． B．C． D．8．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，都是定義在上且不恒為0的函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù)B．為奇函數(shù)C．若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)D．若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則為非奇非偶函數(shù)三、填空題9.（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則______________．10．（2023·全國·高三對口高考）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線對稱，則__________．11．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）已知定義在上的偶函數(shù)，滿足，若，則的值為________．四、解答題12．（2023·全國·高三對口高考）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)，恒有．當(dāng)時，．(1)求證：是周期函數(shù)；(2)當(dāng)時，求的解析式；(3)計算．專題3.3函數(shù)的奇偶性與周期性【核心素養(yǎng)】1.以常見函數(shù)為載體，考查函數(shù)的奇偶性與周期性，凸顯直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．2.與不等式、方程等相結(jié)合考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，凸顯分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．3.與函數(shù)、不等式結(jié)合，考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，凸顯直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．知識點一知識點一函數(shù)的奇偶性1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點對稱2.函數(shù)奇偶性的幾個重要結(jié)論(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關(guān)于原點對稱的非空數(shù)集．(4)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．即“奇同偶反”.3．有關(guān)對稱性的結(jié)論(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)為偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝a對稱．若函數(shù)y＝f(x＋a)為奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(a,0)對稱．(2)若f(x)＝f(2a－x)，則函數(shù)f(x)關(guān)于x＝a對稱；若f(x)＋f(2a－x)＝2b，則函數(shù)f(x)關(guān)于點(a，b)對稱．知識點二知識點二函數(shù)的周期性1.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.2．常用結(jié)論周期性常用的幾個結(jié)論如下：定義式f(x＋T)＝f(x)對定義域內(nèi)的x是恒成立的．（1）對時，若或（）恒成立，則是的一個周期；（2）對時，若或或（）恒成立，則是的一個周期；（3）若為偶函數(shù)，其圖象又關(guān)于對稱，則是以為一個周期的周期函數(shù)；（4）若為奇函數(shù)，其圖象又關(guān)于對稱，則是以為一個周期的周期函數(shù).（5）若f(x＋a)＝f(x＋b)，則函數(shù)f(x)的周期為T＝|a－b|；?？碱}型剖析?？碱}型剖析題型一：函數(shù)奇偶性的判斷【典例分析】例1-1.（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出選項的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.【詳解】由題意可得，對于A，不是奇函數(shù)；對于B，是奇函數(shù)；對于C，，定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)；對于D，，定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù).故選：B例1-2.（2023·北京·北京八十中?？寄M預(yù)測）下列函數(shù)中，與函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性均相同的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再判斷選項AC的奇偶性，排除AC，判斷選項B的單調(diào)性，排除B，判斷選項D的奇偶性和單調(diào)性確定結(jié)論.【詳解】函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，由，所以函數(shù)為奇函數(shù)，因為函數(shù)為上的增函數(shù)，函數(shù)為上的減函數(shù)，所以函數(shù)為上的增函數(shù)，對于A，設(shè)，函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，因為，，因為，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，A錯誤；對于B，設(shè)，則，故函數(shù)不是其定義域上的增函數(shù)，B錯誤；對于C，設(shè)，函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，C錯誤；對于D，設(shè)，則的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又函數(shù)為上的增函數(shù)，D正確；故選：D.【知識拓展】(1)奇、偶函數(shù)定義域的特點．由于f(x)和f(－x)須同時有意義，所以奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱．這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)奇、偶函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系的特點．①奇函數(shù)有f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?eq\f(f－x,fx)＝－1(f(x)≠0)；②偶函數(shù)有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?eq\f(f－x,fx)＝1(f(x)≠0)．(3)函數(shù)奇偶性的三個關(guān)注點．①若奇函數(shù)在原點處有定義，則必有f(0)＝0.有時可以用這個結(jié)論來否定一個函數(shù)為奇函數(shù)；②既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關(guān)于原點對稱的非空集合；③函數(shù)根據(jù)奇偶性可分為奇函數(shù)、偶函數(shù)、既奇又偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)．【變式訓(xùn)練】變式1-1.（2023春·上海寶山·高三上海交大附中校考期中）函數(shù)的奇偶性為（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既奇又偶函數(shù)【答案】C【分析】求出的定義域不關(guān)于原點對稱，即可判斷為非奇非偶函數(shù).【詳解】函數(shù)的定義域為，則，由于定義域不關(guān)于原點對稱，故為非奇非偶函數(shù).故選：C.變式1-2.（2023·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對稱性分析可得函數(shù)有且僅有一個對稱中心，結(jié)合圖象變換分析判斷.【詳解】由題意可得：，因為，若為定值，則，解得，此時，所以函數(shù)有且僅有一個對稱中心.對于選項A：有且僅有一個對稱中心為，不合題意，故A錯誤；對于選項B：有且僅有一個對稱中心為，符合題意，故B正確；對于選項C：有且僅有一個對稱中心為，不合題意，故C錯誤；對于選項D：有且僅有一個對稱中心為，不合題意，故D錯誤；故選：B.題型二：由函數(shù)的奇偶性求解析式（函數(shù)值）例2-1.（2019·全國高考真題（文））設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)=，則當(dāng)x<0時，f(x)=（）A． B．C． D．【答案】D【解析】是奇函數(shù)，x≥0時，．當(dāng)時，，，得．故選D．例2-2.（2023·全國·高三對口高考）已知函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則__________．【答案】【分析】由條件結(jié)合奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)可得，，賦值可求.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，取可得因為是偶函數(shù)，所以，取可得，所以，又，所以.故答案為：.【規(guī)律方法】應(yīng)用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式①將所求解析式自變量的范圍轉(zhuǎn)化為已知解析式中自變量的范圍；②將轉(zhuǎn)化后的自變量代入已知解析式；③利用函數(shù)的奇偶性求出解析式．【變式訓(xùn)練】變式2-1.（2023春·湖南邵陽·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知是定義域為R的奇函數(shù)，時，，則（

）A．0 B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】，由于是定義域為R的奇函數(shù)，所以，故選：C變式2-2.（2021·上海高三二模）已知函數(shù)為奇函數(shù)，若，則___________．【答案】【解析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)，代入1和-1，即可求得函數(shù)值.【詳解】由題知：，又為奇函數(shù)，則，故，故答案為：題型三：由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值【典例分析】例3-1.（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若為偶函數(shù)，則（

）．A． B．0 C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出值，再檢驗即可.【詳解】因為為偶函數(shù)，則，解得，當(dāng)時，，，解得或，則其定義域為或，關(guān)于原點對稱.，故此時為偶函數(shù).故選：B.例3-2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運算求解.【詳解】因為為偶函數(shù)，則，又因為不恒為0，可得，即，則，即，解得.故選：D.【規(guī)律方法】利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值：在定義域關(guān)于原點對稱的前提下，根據(jù)奇函數(shù)滿足f(－x)＝－f(x)或偶函數(shù)滿足f(－x)＝f(x)列等式，根據(jù)等式兩側(cè)對應(yīng)相等確定參數(shù)的值．特別要注意的是：若能夠確定奇函數(shù)的定義域中包含0，可以根據(jù)f(0)＝0列式求解，若不能確定則不可用此法．【變式訓(xùn)練】變式3-1.（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】方法一：由偶函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的值；方法二：由偶函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，求出二次函數(shù)對稱軸，列出方程求解即可．【詳解】方法一：因為，所以，由，得，解得；方法二：，因為是偶函數(shù)，所以圖像關(guān)于直線對稱，所以，解得，故選：D．變式3-2.若函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】為奇函數(shù)當(dāng)時，又時，本題正確選項：題型四：函數(shù)周期性及其應(yīng)用【典例分析】例4-1.（2023·全國·高三對口高考）已知是定義在上的偶函數(shù)，并且滿足，當(dāng)時，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推導(dǎo)出函數(shù)為周期函數(shù)，確定該函數(shù)的周期，結(jié)合函數(shù)的周期性和奇偶性可求得的值.【詳解】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，并且滿足，則，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且當(dāng)時，，則.故選：B.例4-2．（2023·全國·高三對口高考）若存在常數(shù)，使得函數(shù)滿足，則的一個正周期為__________．【答案】/【分析】令，利用函數(shù)周期性的定義推導(dǎo)可得出結(jié)論.【詳解】令，對任意的，存在常數(shù)，使得，即，故函數(shù)的一個周期為，即函數(shù)的一個正周期為.故答案為：.【規(guī)律方法】1．求函數(shù)周期的方法求一般函數(shù)周期常用遞推法和換元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝計算．遞推法：若f(x＋a)＝－f(x)，則f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.換元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，則f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．2．判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題．3．根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問題時，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．【變式訓(xùn)練】變式4-1.已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足,若，則()A． B． C． D．【答案】C【解析】由函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，所以，且，又由，即，進而可得，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，又由，可得，，則，所以．故選C．變式4-2.（2023·全國·高三對口高考）函數(shù)的周期為，且當(dāng)時，，則，的解析式為__________．【答案】/【分析】由求出的取值范圍，再結(jié)合函數(shù)的周期性可求得在上的解析式.【詳解】因為函數(shù)的周期為，當(dāng)時，，且，當(dāng)時，則，故當(dāng)時，.故答案為：.題型五：函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性綜合應(yīng)用【典例分析】例5-1.（2020·海南·高考真題）若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，得到函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號，再根據(jù)兩個數(shù)的乘積大于等于零，分類轉(zhuǎn)化為對應(yīng)自變量不等式，最后求并集得結(jié)果.【詳解】因為定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上也是單調(diào)遞減，且，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以由可得：或或解得或，所以滿足的的取值范圍是，故選：D.例5-2.（2023·廣東汕頭·金山中學(xué)校考三模）已知函數(shù)，則使得成立的實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域為,因為,所以,故函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時,,且在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,,且在上單調(diào)遞減,而,故在上單調(diào)遞減,且.則使得成立，需，所以且，所以且，所以且解得或，故答案為：.【總結(jié)提升】函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合．注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性．【變式訓(xùn)練】變式5-1.（2023·全國·高三對口高考）設(shè)奇函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，且，則不等式，的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意結(jié)合的奇偶性和單調(diào)性的示意圖，化簡不等式為，數(shù)形結(jié)合，求得它的解集．【詳解】由題意可得，奇函數(shù)在和上都為單調(diào)遞增函數(shù)，且，函數(shù)圖像示意圖如圖所示：

故不等式，即，即，結(jié)合的示意圖可得它的解集為或故選：D．變式5-2.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）為定義在上的偶函數(shù)，對任意的，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，進而可得，即得.【詳解】對任意的，都有，則，令，則在上單調(diào)遞增，因為為定義在上的偶函數(shù)，所以，即為偶函數(shù)，又，由，可得，即，所以，所以的解集為，故選：A.題型六：函數(shù)的奇偶性、周期性綜合應(yīng)用【典例分析】例6-1.（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過是奇函數(shù)和是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式，進而利用定義或周期性結(jié)論，即可得到答案．【詳解】[方法一]：因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路一：從定義入手．所以．[方法二]：因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路二：從周期性入手由兩個對稱性可知，函數(shù)的周期．所以．故選：D．例6-2.【多選題】（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）定義在上的奇函數(shù)滿足：是偶函數(shù)，且，則（

）A． B．C．的圖象不關(guān)于直線對稱 D．【答案】ACD【分析】根據(jù)奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì)判斷A，結(jié)合周期函數(shù)的定義證明函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，根據(jù)周期函數(shù)性質(zhì)判斷B，舉反例判斷C，結(jié)合周期性，利用分組求和法計算判斷D.【詳解】∵是偶函數(shù)，∴，將代換為可得，，因為函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，所以，故，所以，故A正確；因為，，所以，即，所以所以函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，∴，故B錯誤；對于選項C，若的圖象關(guān)于直線對稱，則，但是又，這與假設(shè)矛盾，所以選項C正確；∵是周期為8的周期函數(shù)，∴的正奇數(shù)項的周期為4，又，，，∴，故D正確.故選：ACD.【規(guī)律方法】1.周期性與奇偶性的綜合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．2.應(yīng)用奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱．【變式訓(xùn)練】變式6-1.（2023·新疆喀什·?？寄M預(yù)測）已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，則以下說法錯誤的是（

）A． B．的周期為2C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)是R上的奇函數(shù)，可得，且，即可判斷A，根據(jù)即可判斷B，根據(jù)，令，求出，再結(jié)合函數(shù)的周期性即可判斷CD.【詳解】因為函數(shù)是R上的奇函數(shù)，所以，且，故A正確；因為，所以的周期為2，故B正確；由，令，則，所以，所以，故C錯誤；，所以，故D正確.故選：C.變式6-2.【多選題】（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）定義在上的函數(shù)滿足，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則（

）A．的圖象關(guān)于對稱 B．是的一個周期C． D．【答案】ACD【分析】由函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，可得，即可判斷A；先求出最小正周期為，再推出由可判斷B；令，求出可判斷C；求出，可判斷D.【詳解】對于A，由函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，可推得，令等價于，則，的圖象關(guān)于對稱，所以A正確.對于B，令由，，所以，，所以關(guān)于對稱.由，所以，所以，，所以，關(guān)于對稱.令等價于，則，又因為，所以令等價于，所以，所以可得出最小正周期為.，，所以不是的周期，所以B錯誤.對于C，令，則，所以，所以C正確.

對于D，因為圖象關(guān)于對稱，所以，因為，，因為最小正周期為，所以，所以，，有，選項D正確.故選：ACD.題型七：函數(shù)的奇偶性、周期性及單調(diào)性的綜合應(yīng)用例7-1.【多選題】（2023春·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，的圖象關(guān)于點成中心對稱，當(dāng)時，，則下列說法正確的是（

）A．B．函數(shù)的值域為C．直線y＝1與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有4個交點D．【答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合奇偶函數(shù)的定義，可得關(guān)于對稱和關(guān)于對稱，由此推理計算即可判斷各命題作答.【詳解】的定義域為，由為偶函數(shù)，得，令等價于，所以，所即，所以關(guān)于對稱，由圖象關(guān)于成中心對稱，得，于是，令等價于，所以，所以關(guān)于對稱，則，因此，所以，所以，則是周期為4的周期函數(shù)，當(dāng)時，，，故A正確；在的圖象如下圖所示，

故B正確；

直線y＝1與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有5個交點，故C不正確；當(dāng)時，，可得：，，，，即，因此，故D正確；故選：ABD.例7-2.（2023·全國·高三對口高考）已知定義在上的奇函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù)，則、、的大小關(guān)系為__________．【答案】/【分析】推導(dǎo)出函數(shù)為周期函數(shù)，確定該函數(shù)的周期，計算可得，，然后分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因為定義在上的奇函數(shù)，滿足，則，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，所以，，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，則該函數(shù)在上也為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，即.故答案為：.【總結(jié)提升】單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合問題,通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解．【變式訓(xùn)練】變式7-1.（2023·全國·高三對口高考）函數(shù)均為偶函數(shù)，且當(dāng)時，是減函數(shù)，設(shè)，，則a、b、c的大小是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和周期函數(shù)的定義證明，由此轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)的單調(diào)性比較其大小.【詳解】因為函數(shù)均為偶函數(shù)，所以，，所以，所以，，因為，當(dāng)時，是減函數(shù)，所以，所以.故選：A.變式7-2.（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)對都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且對，當(dāng)時，都有，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是偶函數(shù)C．是周期為4的周期函數(shù) D．【答案】ABC【分析】由圖象的平移可得是偶函數(shù)，從而判斷B；對都有，取，可求得，從而判斷A；進而得到恒成立，從而判斷C；再由已知可得在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)及周期性，從而判斷D.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故是偶函數(shù)，B正確；因為函數(shù)對都有，所以取，可得，又是偶函數(shù)，所以，從而可得，A正確；由，知，故是周期為4的周期函數(shù)，C正確；因為是偶函數(shù)，且是周期為4的周期函數(shù)，所以，，又對，當(dāng)時，都有，所以在上單調(diào)遞增，，即，D錯誤.故選：ABC.一、單選題1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】利用即可求出，即可求解【詳解】，因為為奇函數(shù)，所以，即，所以，經(jīng)檢驗，滿足題意,所以，所以.故選：B.2．（2023·全國·高三對口高考）函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，，則的最大值與最小值之和為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合奇函數(shù)的對稱性分析運算.【詳解】因為與的單調(diào)性相同，且為奇函數(shù)，設(shè)在處取到最大值，則在處取到最小值，可得，且在處取到最大值，在處取到最小值，所以.故選：C.3.（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù),則（

）A．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 D．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可知函數(shù)的定義域為，利用定義可得出函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性法則，即可解出．【詳解】因為函數(shù)定義域為，其關(guān)于原點對稱，而，所以函數(shù)為奇函數(shù)．又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增．故選：A．4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出，結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個選項未知.故選：B.5.（2023·北京大興·?？既＃┮阎瘮?shù)對任意都有，且，當(dāng)時，.則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．當(dāng)時，D．函數(shù)的最小正周期為2【答案】D【分析】根據(jù)得到，所以的周期為4，根據(jù)得到關(guān)于對稱，畫出的圖象，從而數(shù)形結(jié)合得到AB錯誤；再根據(jù)求出時函數(shù)解析式；D選項，根據(jù)的最小正周期，得到的最小正周期.【詳解】因為，所以，故，所以的周期為4，又，所以，故關(guān)于對稱，又時，，故畫出的圖象如下：

A選項，函數(shù)的圖象關(guān)于點不中心對稱，故A錯誤；B選項，函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，B錯誤；C選項，當(dāng)時，，則，C錯誤；D選項，由圖象可知的最小正周期為4，又，故的最小正周期為2，D正確.故選：D6.（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知