第81講、圓錐曲線拓展題型一（教師版）

第81講圓錐曲線拓展題型一必考題型全歸納題型一：定比點差法例1．已知橢圓（）的離心率為，過右焦點且斜率為（）的直線與相交于，兩點，若，求【解析】由，可設(shè)橢圓為（），設(shè)，，，由，所以，．又由（1）-（3）得，又．又．例2．已知，過點的直線交橢圓于，（可以重合），求取值范圍．【解析】設(shè)，，，由，所以．由由（1）-（3）得：，又，又，從而．例3．已知橢圓的左右焦點分別為，，，，是橢圓上的三個動點，且，若，求的值．【解析】設(shè)，，，，由，得①滿足滿足②由③由（1）-（3）得：，又，同理可得．變式1．設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點，點，在橢圓上，若，求點的坐標【解析】記直線反向延長交橢圓于，由及橢圓對稱性得，設(shè)，，．①由定比分點公式得．②又③由（1）-（3）得，又．變式2．已知橢圓，設(shè)過點的直線與橢圓交于，，點是線段上的點，且，求點的軌跡方程．【解析】設(shè)，，由，記，即，．①，由定比分點得：，由定比分點得②又③由（1）-（3）得：，即．題型二：齊次化例4．已知拋物線，過點的直線與拋物線交于P，Q兩點，為坐標原點．證明：．【解析】直線由，得則由，得：，整理得：，即：．所以，則，即：．例5．如圖，橢圓，經(jīng)過點，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點P，Q（均異于點，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2．【解析】設(shè)直線則．由，得：．則，故．所以．即．例6．已知橢圓，設(shè)直線不經(jīng)過點且與相交于A，B兩點．若直線與直線的斜率的和為，證明：直線過定點．【解析】設(shè)直線．．．．．．（1）由，得即：．．．．．．（2）由（1）（2）得：整理得：則，則，代入直線，得：顯然，直線過定點．變式3．已知橢圓，，，為上的兩個不同的動點，，求證：直線過定點．【解析】設(shè)直線方程為：則即，又因為化簡得或（舍去）．即直線為，即直線過定點．題型三：極點極線問題例7．（2024·全國·高三專題練習）橢圓方程，平面上有一點．定義直線方程是橢圓在點處的極線．已知橢圓方程．(1)若在橢圓上，求橢圓在點處的極線方程；(2)若在橢圓上，證明：橢圓在點處的極線就是過點的切線；(3)若過點分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點為，，割線交橢圓于，兩點，過點，分別作橢圓的兩條切線，且相交于點．證明：，，三點共線．【解析】（1）由題意知，當時，，所以或．由定義可知橢圓在點處的極線方程為，所以橢圓在點處的極線方程為，即點處的極線方程為，即（2）因為在橢圓上，所以，由定義可知橢圓在點處的極線方程為，當時，，此時極線方程為，所以處的極線就是過點的切線．當時，極線方程為．聯(lián)立，得．．綜上所述，橢圓在點處的極線就是過點的切線；（3）設(shè)點，，，由（2）可知，過點的切線方程為，過點N的切線方程為．因為，都過點，所以有，則割線的方程為；同理可得過點的兩條切線的切點弦的方程為．又因為割線過點，代入割線方程得．所以，，三點共線，都在直線上．例8．（2024·全國·高三專題練習）閱讀材料：（一）極點與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：，則稱點P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點P(，)對應(yīng)的極線方程.特別地，對于橢圓，與點P(，)對應(yīng)的極線方程為；對于雙曲線，與點P(，)對應(yīng)的極線方程為；對于拋物線，與點P(，)對應(yīng)的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應(yīng)的關(guān)系.（二）極點與極線的基本性質(zhì)?定理①當P在圓錐曲線G上時，其極線l是曲線G在點P處的切線；②當P在G外時，其極線l是曲線G從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）；③當P在G內(nèi)時，其極線l是曲線G過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：(1)已知橢圓C：經(jīng)過點P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點P對應(yīng)的極線方程；(2)已知Q是直線l：上的一個動點，過點Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點分別為M，N，是否存在定點T恒在直線MN上，若存在，當時，求直線MN的方程；若不存在，請說明理由.【解析】（1）因為橢圓過點P(4,0)，則，得，又，所以，所以，所以橢圓C的方程為.根據(jù)閱讀材料，與點P對應(yīng)的極線方程為，即；（2）由題意，設(shè)點Q的坐標為(,)，因為點Q在直線上運動，所以，聯(lián)立，得，，該方程無實數(shù)根，所以直線與橢圓C相離，即點Q在橢圓C外，又QM，QN都與橢圓C相切，所以點Q和直線MN是橢圓C的一對極點和極線.對于橢圓，與點Q(,)對應(yīng)的極線方程為，將代入，整理得，又因為定點T的坐標與的取值無關(guān)，所以，解得，所以存在定點T(2,1)恒在直線MN上.當時，T是線段MN的中點，設(shè)，直線MN的斜率為，則，兩式相減，整理得，即，所以當時，直線MN的方程為，即.例9．（2024秋·北京·高三中關(guān)村中學?？奸_學考試）已知橢圓M：（a＞b＞0）過A（－2，0），B（0，1）兩點．（1）求橢圓M的離心率；（2）設(shè)橢圓M的右頂點為C，點P在橢圓M上（P不與橢圓M的頂點重合），直線AB與直線CP交于點Q，直線BP交x軸于點S，求證：直線SQ過定點．【解析】（1）因為點，都在橢圓上，所以，．所以．所以橢圓的離心率．（2）由（1）知橢圓的方程為，．由題意知：直線的方程為．設(shè)（，），，．因為三點共線，所以有，，所以．所以．所以．因為三點共線，所以，即．所以．所以直線的方程為，即．又因為點在橢圓上，所以．所以直線的方程為．所以直線過定點．變式4．（2024·全國·高三專題練習）若雙曲線與橢圓共頂點，且它們的離心率之積為．（1）求橢圓C的標準方程；（2）若橢圓C的左、右頂點分別為，，直線l與橢圓C交于P、Q兩點，設(shè)直線與的斜率分別為，，且．試問，直線l是否過定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．【解析】（1）由已知得雙曲線的離心率為，又兩曲線離心率之積為，所以橢圓的離心率為；由題意知，所以，．所以橢圓的標準萬程為．（2）當直線l的斜率為零時，由對稱性可知：，不滿足，故直線l的斜率不為零．設(shè)直線l的方程為，由，得：，因為直線l與橢圓C交于P、Q兩點，所以，整理得：，設(shè)、，則，，，．因為，所以，整理得：，，將，代入整理得：要使上式恒成立，只需，此時滿足，因此，直線l恒過定點．變式5．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，且過點，A，B分別為橢圓E的左，右頂點，P為直線上的動點（不在x軸上），與橢圓E的另一交點為C，與橢圓E的另一交點為D，記直線與的斜率分別為，．（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）證明：直線過一個定點，并求出此定點的坐標．【解析】（1）由條件可知：且，解得，所以橢圓的方程為；（2）因為，設(shè)，所以，所以；（3）設(shè)，所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以直線過定點.題型四：蝴蝶問題例10．（2003·全國·高考真題）如圖，橢圓的長軸與x軸平行，短軸在y軸上，中心為．(1)寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點坐標及離心率；(2)直線交橢圓于兩點；直線交橢圓于兩點，．求證：；(3)對于（2）中的中的在，，，，設(shè)交軸于點，交軸于點，求證：（證明過程不考慮或垂直于軸的情形）【解析】（1）橢圓的長軸與軸平行，短軸在軸上，中心，橢圓方程為焦點坐標為，離心率（2）證明：將直線的方程代入橢圓方程，得整理得根據(jù)韋達定理，得，，所以①將直線的方程代入橢圓方程，同理可得②由①、②得所以結(jié)論成立.（3）證明：設(shè)點，點由、、共線，得解得由、、共線，同理可得由變形得所以即例11．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓（），四點，，，，中恰有三點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）蝴蝶定理：如圖1，為圓的一條弦，是的中點，過作圓的兩條弦，.若，分別與直線交于點，，則.該結(jié)論可推廣到橢圓.如圖2所示，假定在橢圓中，弦的中點的坐標為，且兩條弦，所在直線斜率存在，證明：.【解析】（1）由于，兩點關(guān)于軸對稱，故由題設(shè)知經(jīng)過，兩點，又由知，不過點，所以點在上，因此，解得，故橢圓的方程為；（2）因點的坐標在軸上，且為的中點，所以直線平行于軸，設(shè)，，，，設(shè)直線的方程為，代入橢圓，得：，根據(jù)韋達定理得：，，①同理，設(shè)直線的方程為，代入橢圓，得：，根據(jù)韋達定理得：，，②由于、、三點共線，得，，同理，由于、、三點共線，得：，結(jié)合①和②可得：即，所以，即.例12．（2021·全國·高三專題練習）（蝴蝶定理）過圓弦的中點M，任意作兩弦和，與交弦于P、Q，求證：.【解析】如圖所示，以為原點，所在直線為x軸建立直角坐標系，設(shè)圓方程為設(shè)直線、的方程分別為，.將它們合并為，于是過點C、D、E、F的曲線系方程為.令，得，即過點C、D、E、F的曲線系與交于點P、Q的橫坐標是方程的兩根.由韋達定理得，即是的中點，故.變式6．（2024·全國·高三專題練習）蝴蝶定理因其美妙的構(gòu)圖，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代數(shù)學名家蜂擁而證，正所謂花若芬芳蜂蝶自來.如圖，已知圓的方程為，直線與圓交于，，直線與圓交于，.原點在圓內(nèi).（1）求證：.（2）設(shè)交軸于點，交軸于點.求證：.【解析】（1）已知圓的方程為，直線與圓交于，，聯(lián)立，化簡得，則，，所以，同理線與圓交于，，聯(lián)立化簡得，則，，所以，故有，所以成立；（2）不妨設(shè)點，點，因為、、三點共線，所以，化簡得，因為點在直線上，所以，點在直線上，所以，則，同理因為、、三點共線，所以，化簡得，因為點在直線上，所以，點在直線上，所以，則，又由，可得，，即，所以，則，所以，所以成立.變式7．（2024·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）已知橢圓的左?右頂點分別為點，，且，橢圓離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點，直線，的交于點，求證：點在直線上.【解析】（1）因為，橢圓離心率為，所以，解得，.所以橢圓的方程是.（2）①若直線的斜率不存在時，如圖，因為橢圓的右焦點為，所以直線的方程是.所以點的坐標是，點的坐標是.所以直線的方程是，直線的方程是.所以直線，的交點的坐標是.所以點在直線上.②若直線的斜率存在時，如圖.設(shè)斜率為.所以直線的方程為.聯(lián)立方程組消去，整理得.顯然.不妨設(shè)，，所以，.所以直線的方程是.令，得.直線的方程是.令，得.所以分子..所以點在直線上.變式8．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A，B，離心率為，點P為橢圓上一點．（1）求橢圓C的標準方程；（2）如圖，過點C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1＝2k2，求直線l斜率的值．【解析】(1)因為橢圓的離心率為，所以a＝2c.又因為a2＝b2＋c2，所以b＝c.所以橢圓的標準方程為＋＝1.又因為點P為橢圓上一點，所以＋＝1，解得c＝1.所以橢圓的標準方程為＋＝1.(2)由橢圓的對稱性可知直線l的斜率一定存在，設(shè)其方程為y＝kx＋1.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)．聯(lián)立方程組消去y可得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0.所以由根與系數(shù)關(guān)系可知x1＋x2＝－，x1x2＝－.因為k1＝，k2＝，且k1＝2k2，所以＝.即＝.①又因為M(x1，y1)，N(x2，y2)在橢圓上，所以＝(4－)，＝(4－)．②將②代入①可得：＝，即3x1x2＋10(x1＋x2)＋12＝0.所以3＋10＋12＝0，即12k2－20k＋3＝0.解得k＝或k＝，又因為k>1，所以k＝.變式9．（2021秋·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎獧E圓的右焦點是，過點F的直線交橢圓C于A，B兩點，若線段AB中點Q的坐標為．(1)求橢圓C的方程；(2)已知是橢圓C的下頂點，如果直線y=kx+1（k≠0）交橢圓C于不同的兩點M，N，且M，N都在以P為圓心的圓上，求k的值；(3)過點作一條非水平直線交橢圓C于R、S兩點，若A，B為橢圓的左右頂點，記直線AR、BS的斜率分別為k1、k2，則是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請說明理由．【解析】（1）設(shè)，，直線AB的斜率顯然存在，則，因為線段AB中點Q的坐標為，所以，，直線AB的斜率，A，B兩點在橢圓橢圓C上，所以，，兩式相減得，即，所以，整理得，①又且，②由①②可解得，，所以橢圓C的方程為.（2）由得，則，，，設(shè)M，N中點為，則，，因為M，N都在以P為圓心的圓上，所以，則點P在線段MN的垂直平分線上，依題意，所以線段MN的垂直平分線方程為，M，N中點為在此直線上，所以有，即，解得.所以k的值為.（3）依題意有，，，設(shè)直線的方程為，由得，則，，，所以為定值.變式10．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知橢圓的離心率為，，分別是橢圓的左、右頂點，右焦點，，過且斜率為的直線與橢圓相交于，兩點，在軸上方．(1)求橢圓的標準方程；(2)記，的面積分別為，，若，求的值；(3)設(shè)線段的中點為，直線與直線相交于點，記直線，，的斜率分別為，，，求的值．【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為．依題意可得，，解得，．故．所以橢圓的標準方程為．（2）設(shè)點，，，．若，則，即有，①設(shè)直線的方程為，與橢圓方程，可得，則，，②將①代入②可得，解得，則；（3）由（2