第14講、導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算（學(xué)生版）

[在此處鍵入]第14講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算知識梳理知識點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)1、概念函數(shù)在處瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或．知識點(diǎn)詮釋：①增量可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；②當(dāng)時，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在一個常數(shù)與無限接近；③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時變化率．如瞬時速度即是位移在這一時刻的瞬間變化率，即．2、幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率．3、物理意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是物體在時刻的瞬時速度，即；在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是物體在時刻的瞬時加速度，即．知識點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1、求導(dǎo)的基本公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)（為常數(shù)）2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（1）函數(shù)和差求導(dǎo)法則：；（2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：；（3）函數(shù)商的求導(dǎo)法則：，則．3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為：【解題方法總結(jié)】1、在點(diǎn)的切線方程切線方程的計(jì)算：函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．2、過點(diǎn)的切線方程設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過切點(diǎn)的切線方程為：，又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外．必考題型全歸納題型一：導(dǎo)數(shù)的定義【例1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象如圖所示，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練1】（2024·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）已知某容器的高度為20cm，現(xiàn)在向容器內(nèi)注入液體，且容器內(nèi)液體的高度h（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時，液體上升高度的瞬時變化率為3cm/s，則當(dāng)時，液體上升高度的瞬時變化率為（

）A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s【對點(diǎn)訓(xùn)練2】（2024·河北衡水·高三衡水市第二中學(xué)期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若，則（）A． B．1 C．2 D．4【對點(diǎn)訓(xùn)練3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則（

）A．1 B． C．2 D．【對點(diǎn)訓(xùn)練4】（2024·高三課時練習(xí)）若在處可導(dǎo)，則可以等于（

）．A． B．C． D．【解題方法總結(jié)】對所給函數(shù)式經(jīng)過添項(xiàng)、拆項(xiàng)等恒等變形與導(dǎo)數(shù)定義結(jié)構(gòu)相同，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義直接寫出．題型二：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)；(2)；(3)(4)；【對點(diǎn)訓(xùn)練5】（2024·高三課時練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【對點(diǎn)訓(xùn)練6】（2024·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在等比數(shù)列中，，函數(shù)，則__________．【對點(diǎn)訓(xùn)練7】（2024·遼寧大連·育明高中校考一模）已知可導(dǎo)函數(shù)，定義域均為，對任意滿足，且，求__________.【對點(diǎn)訓(xùn)練8】（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則______．【對點(diǎn)訓(xùn)練9】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則__________.【解題方法總結(jié)】對所給函數(shù)求導(dǎo)，其方法是利用和、差、積、商及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，直接轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)求導(dǎo)問題．題型三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義方向1、在點(diǎn)P處切線【例3】（2024·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．【對點(diǎn)訓(xùn)練10】（2024·全國·高三專題練習(xí)）曲線在點(diǎn)處的切線方程為______．【對點(diǎn)訓(xùn)練11】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).若的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為______【對點(diǎn)訓(xùn)練12】（2024·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)是奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為______．方向2、過點(diǎn)P的切線【對點(diǎn)訓(xùn)練13】（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知過原點(diǎn)的直線與曲線相切，則該直線的方程是______．【對點(diǎn)訓(xùn)練14】（2024·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【對點(diǎn)訓(xùn)練15】（2024·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）過點(diǎn)作曲線的切線，寫出一條切線方程：__________.【對點(diǎn)訓(xùn)練16】（2024·海南海口·校聯(lián)考模擬預(yù)測）過軸上一點(diǎn)作曲線的切線，若這樣的切線不存在，則整數(shù)的一個可能值為_________．【對點(diǎn)訓(xùn)練17】（2024·全國·模擬預(yù)測）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為___________.【對點(diǎn)訓(xùn)練18】（2024·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測）若過點(diǎn)有條直線與函數(shù)的圖象相切，則當(dāng)取最大值時，的取值范圍為__________.【對點(diǎn)訓(xùn)練19】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則曲線過點(diǎn)的切線方程為______．方向3、公切線【對點(diǎn)訓(xùn)練20】（2024·云南保山·統(tǒng)考二模）若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練21】（2024·寧夏銀川·銀川一中校考二模）若直線與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為___________.【對點(diǎn)訓(xùn)練22】（2024·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）若曲線與圓有三條公切線，則的取值范圍是____．【對點(diǎn)訓(xùn)練23】（2024·湖南長沙·湖南師大附中?？寄M預(yù)測）若曲線和曲線恰好存在兩條公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________．【對點(diǎn)訓(xùn)練24】（2024·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預(yù)測）已知曲線與曲線有且只有一條公切線，則________．【對點(diǎn)訓(xùn)練25】（2024·福建南平·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知曲線和曲線有唯一公共點(diǎn)，且這兩條曲線在該公共點(diǎn)處有相同的切線l，則l的方程為________．方向4、已知切線求參數(shù)問題【對點(diǎn)訓(xùn)練26】（2024·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若曲線有兩條過的切線，則a的范圍是______.【對點(diǎn)訓(xùn)練27】（2024·山東聊城·統(tǒng)考三模）若直線與曲線相切，則的最大值為（）A．0 B．1 C．2 D．【對點(diǎn)訓(xùn)練28】（2024·重慶·統(tǒng)考三模）已知直線y＝ax－a與曲線相切，則實(shí)數(shù)a＝（

）A．0 B． C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練29】（2024·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知偶函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則（

）A． B．0 C．1 D．2【對點(diǎn)訓(xùn)練30】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是曲線上的任一點(diǎn)，若曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角均是不小于的銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練31】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．16 B．12 C．8 D．4方向5、切線的條數(shù)問題【對點(diǎn)訓(xùn)練32】（2024·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練33】（2024·全國·高三專題練習(xí)）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練34】（2024·湖南·校聯(lián)考二模）若經(jīng)過點(diǎn)可以且僅可以作曲線的一條切線，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B． C． D．或方向6、切線平行、垂直、重合問題【對點(diǎn)訓(xùn)練35】（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)與的圖象有一條公共切線，且該公共切線與直線平行，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練36】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與曲線相交于，且曲線在處的切線平行，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．4 B．4或-3 C．-3或-1 D．-3【對點(diǎn)訓(xùn)練37】（2024·江西撫州·高三金溪一中校考開學(xué)考試）已知曲線在點(diǎn)處的切線互相垂直，且切線與軸分別交于點(diǎn)，記點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為，則（

）A． B．C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練38】（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練39】（2024·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？计谀┤艉瘮?shù)的圖像上存在兩個不同的點(diǎn)，使得在這兩點(diǎn)處的切線重合，則稱為“切線重合函數(shù)”，下列函數(shù)中不是“切線重合函數(shù)”的為（

）A． B．C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練40】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知A，B是函數(shù)，圖象上不同的兩點(diǎn)，若函數(shù)在點(diǎn)A、B處的切線重合，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．方向7、最值問題【對點(diǎn)訓(xùn)練41】（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則最小值為（

）A． B．C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練42】（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練43】（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練44】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，，滿足，則的最小值為（

）A． B．8 C．4 D．16【對點(diǎn)訓(xùn)練45】（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中，．若存在正數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．1【對點(diǎn)訓(xùn)練46】（2024·寧夏銀川·銀川二中校考一模）已知實(shí)數(shù)滿足，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練47】（2024·四川成都·川大附中?？级＃┤酎c(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．方向8、牛頓迭代法【對點(diǎn)訓(xùn)練48】（2024·湖北咸寧·?？寄M預(yù)測）英國數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀(jì)給出一種求方程近似根的方法一Newton-Raphsonmethod譯為牛頓-拉夫森法.做法如下：設(shè)是的根，選取作為的初始近似值，過點(diǎn)做曲線的切線：，則與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱是的一次近似值；重復(fù)以上過程，得的近似值序列，其中，稱是的次近似值.運(yùn)用上述方法，并規(guī)定初始近似值不得超過零點(diǎn)大小，則函數(shù)的零點(diǎn)一次近似值為（

）（精確到小數(shù)點(diǎn)后3位，參考數(shù)據(jù)：）A．2.207 B．2.208 C．2.205 D．2.204【對點(diǎn)訓(xùn)練49】（多選題）（2024·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程根的一種解法.具體步驟如下：設(shè)是函數(shù)的一個零點(diǎn)，任意選取作為的初始近似值，過點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為的1次近似值；過點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱為的2次近似值.一般地，過點(diǎn)（）作曲線的切線，記與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為的次近似值.對于方程，記方程的根為，取初始近似值為，下列說法正確的是（

）A． B．切線：C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練50】（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法一牛頓法.首先，設(shè)定一個起始點(diǎn)，如圖，在處作圖象的切線，切線與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)記作：用替代重復(fù)上面的過程可得；一直繼續(xù)下去，可得到一系列的數(shù)，，，…，，…在一定精確度下，用四舍五入法取值，當(dāng)，近似值相等時，該值即作為函數(shù)的一個零點(diǎn).若要求的近似值(精確到0.1)，我們可以先構(gòu)造函數(shù)，再用“牛頓法”求得零點(diǎn)的近似值，即為的近似值，則下列說法正確的是（

）A．對任意，B．若，且，則對任意，C．當(dāng)時，需要作2條切線即可確定的值D．無論在上取任何有理數(shù)都有【對點(diǎn)訓(xùn)練51】（2024·全國·高三專題練習(xí)）牛頓迭代法（Newton'smethod）又稱牛頓–拉夫遜方法（Newton–Raphsonmethod），是牛頓在17世紀(jì)提出的一種近似求方程根的方法．如圖，設(shè)是的根，選取作為初始近似值，過點(diǎn)作曲線的切線,與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（），稱是的