高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)(新教材新高考)第10講圖形類解三角形綜合（核心考點(diǎn)精講精練）(學(xué)生版+解析)

第10講圖形類解三角形綜合（核心考點(diǎn)精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，分值為10-12分【備考策略】1.熟練掌握正余弦定理及面積公式解三角形2.在幾何圖形中能熟練使用相關(guān)定理求解【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容一般會(huì)在解答題中進(jìn)行命題考查，考查學(xué)生的圖形轉(zhuǎn)化及計(jì)算能力，需重點(diǎn)備考復(fù)習(xí)知識(shí)講解正弦定理（其中為外接圓的半徑）余弦定理，，三角形的面積公式，考點(diǎn)一、圖形類解三角形綜合考查1．（2023·湖南郴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，角C的平分線交AB于點(diǎn)D，且，.

(1)求的大?。?2)求.2．（2023·福建泉州·泉州七中?？寄M預(yù)測(cè)）在四邊形ABCD中，，再?gòu)臈l件①，條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，解決下列問題．(1)求BD的長(zhǎng)；(2)求四邊形ABCD的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．3．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知為的直徑，點(diǎn)、在上，，垂足為，交于，且．

(1)求證：；(2)如果，，求的長(zhǎng)．4．（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形中，，，，．

(1)求；(2)若，求的面積．5．（2023·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形中，，，．

(1)若，求的面積；(2)若，，求．1．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）在四邊形中，，，，為的面積，且.(1)求角；(2)若，求四邊形的周長(zhǎng).2．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，過點(diǎn)作，交線段于點(diǎn)，且，，.

(1)求；(2)求的面積.3．（2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）如圖所示，為平面四邊形的對(duì)角線，設(shè)，為等邊三角形，記.(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)設(shè)為四邊形的面積，用含有的關(guān)系式表示，并求的最大值.4．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知________，．

(1)求；(2)如圖，為邊上一點(diǎn)，，，求的面積．5．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，平面四邊形中，的三內(nèi)角對(duì)應(yīng)的三邊為．給出以下三個(gè)條件：①②③的面積為(1)從以上三個(gè)條件中任選一個(gè)，求角；(2)設(shè)，在（1）的條件下，求四邊形的面積的最大值．【基礎(chǔ)過關(guān)】1．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考三模）如圖，中，角、、的對(duì)邊分別為、、.

(1)若，求角的大小；(2)已知、，若為外接圓劣弧上一點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最大值.2．（2023·北京大興·?？既＃┤鐖D，平面四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，，，.

(1)求的面積；(2)求的值及的長(zhǎng)度.3．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？既＃┤鐖D，是邊長(zhǎng)為2的正三角形所在平面上一點(diǎn)（點(diǎn)、、、逆時(shí)針排列），且滿足，記.

(1)若，求的長(zhǎng)；(2)用表示的面積，并求的取值范圍.4．（2023·河南開封·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，．(1)求的長(zhǎng)；(2)若的面積為，求的長(zhǎng)．5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，為外一點(diǎn)，．(1)若，求；(2)若，求．6．（2023·江蘇南京·南京市第九中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，D為外一點(diǎn)，且，，

(1)求sin∠ACD的值；(2)求BD的長(zhǎng).7．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)校考三模）如圖，平面四邊形中，，，．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足．(1)判斷四邊形是否有外接圓？若有，求其半徑；若無，說明理由；(2)求內(nèi)切圓半徑的取值范圍．8．（2023·湖南衡陽·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，過點(diǎn)作，交線段于點(diǎn)，且，.(1)求；(2)求的面積.9．（2023·遼寧·校聯(lián)考三模）如圖，在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，過點(diǎn)作，交線段于點(diǎn)，且．①；②；③．以其中兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．10．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，已知，．(1)求；(2)求四邊形面積的最大值．【能力提升】1．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，的面積為，記內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，.

(1)求的值；(2)已知點(diǎn)在線段上，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，求.2．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在中，，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，且．(1)求；(2)若面積為，求．3．（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預(yù)測(cè)）在①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c且__________，作AB⊥AD，使得四邊形ABCD滿足，．(1)求角B的值；(2)求BC的取值范圍．4．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，.

(1)求角；(2)從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，求角.①；②.5．（2023·天津和平·耀華中學(xué)?？级＃┤鐖D，在平面四邊形ABCD中，，，，，．

(1)求和的值；(2)記，求的值．6．（2023·安徽阜陽·安徽省臨泉第一中學(xué)校考三模）在中，角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，滿足.

(1)求的大?。?2)，點(diǎn)D在BC上，，在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為條件，求的面積.7．（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）如圖，在平面四邊形中，，，.

(1)當(dāng)四邊形內(nèi)接于圓O時(shí)，求角C；(2)當(dāng)四邊形面積最大時(shí)，求對(duì)角線的長(zhǎng).8．（2023·安徽安慶·安慶市第二中學(xué)校考二模）如圖，在中，分別為邊上一點(diǎn)，.(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若，求的長(zhǎng).9．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn).

(1)若（圖1），求的面積；(2)若（圖2），求的最小值.10．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD中，已知，.

(1)若ABC的面積為，求ABC的周長(zhǎng)；(2)若，，，求∠BDC的值.【真題感知】1．（全國(guó)·高考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝90°.(1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．2．（北京·高考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，且，.（1）求；（2）求的長(zhǎng).3．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求的值．4．（陜西·高考真題）在三角形ABC中，已知B=45°,D是BC邊上的一點(diǎn)，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的長(zhǎng).5．（全國(guó)·高考真題）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為已知.（1）求角和邊長(zhǎng)；（2）設(shè)為邊上一點(diǎn)，且,求的面積.

第10講圖形類解三角形綜合（核心考點(diǎn)精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，分值為10-12分【備考策略】1.熟練掌握正余弦定理及面積公式解三角形2.在幾何圖形中能熟練使用相關(guān)定理求解【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容一般會(huì)在解答題中進(jìn)行命題考查，考查學(xué)生的圖形轉(zhuǎn)化及計(jì)算能力，需重點(diǎn)備考復(fù)習(xí)知識(shí)講解1. 正弦定理（其中為外接圓的半徑）2. 余弦定理，，3. 三角形的面積公式，考點(diǎn)一、圖形類解三角形綜合考查1．（2023·湖南郴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，角C的平分線交AB于點(diǎn)D，且，.

(1)求的大?。?2)求.【答案】(1)(2)2【分析】（1）由正弦定理結(jié)合兩角和差的正弦公式求得結(jié)果；（2）由正弦定理、余弦定理結(jié)合三角形面積公式求得結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理得，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，所?（2）已知角C的平分線交AB于點(diǎn)D，且，.在中，由正弦定理得,在中，由正弦定理得,因?yàn)椋?，所以，所?設(shè)，由余弦定理得，即，解得，因?yàn)?，所?解得.2．（2023·福建泉州·泉州七中校考模擬預(yù)測(cè)）在四邊形ABCD中，，再?gòu)臈l件①，條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，解決下列問題．(1)求BD的長(zhǎng)；(2)求四邊形ABCD的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)選①，；選②，(2)選①，；選②，【分析】（1）選①，利用余弦定理得到；選②，利用互補(bǔ)得到，結(jié)合余弦定理列出方程，求出答案；（2）選①，在（1）的基礎(chǔ)上，得到⊥，結(jié)合三角形面積公式求出和的面積，相加即可；選②，在（1）的基礎(chǔ)上求出和，利用三角形面積公式求出和的面積，相加得到答案.【詳解】（1）選①，由余弦定理得，解得，選②，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，即，解?（2）選①，，，故，在中，，所以⊥，故，所以四邊形ABCD的面積為；選②，，故，故，因?yàn)?，所以，故，，故四邊形ABCD的面積為.3．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知為的直徑，點(diǎn)、在上，，垂足為，交于，且．

(1)求證：；(2)如果，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)8【分析】（1）連接，由已知條件推導(dǎo)出，，從而得到，由此能證明．（2）由已知條件推導(dǎo)出，，，從而得到，由（1）得，在中，由即可得出．【詳解】（1）證明：連接，，，，又是的直徑，，，，又，，，，，．（2）解：，，，是的直徑，，，，且為銳角，，由（1）得，，在中，，即．

4．（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形中，，，，．

(1)求；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)的面積為.【分析】（1）利用余弦定理即可求得邊BC的長(zhǎng)，再由正弦定理求；（2）利用正弦定理求，根據(jù)四邊形內(nèi)角和關(guān)系結(jié)合二倍角公式求，進(jìn)而求得的面積．【詳解】（1）因?yàn)?，為銳角，所以．因?yàn)?，，在中，由余弦定理得，即，得．在中，由正弦定理得，所以，所以，因?yàn)?，所以，故，所以；?）在中，由正弦定理得，又，，，即，所以．因?yàn)?，，，所以，所以，所以，所以的面積.5．（2023·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形中，，，．

(1)若，求的面積；(2)若，，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，利用余弦定理求出，再利用面積公式即可求出結(jié)果；（2）在和中，利用正弦定理，建立等量關(guān)系和，從而得到，再化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，由余弦定理得，所以，即，解得，所以．?）設(shè)，在中，由正弦定理得，所以①，

在中，，，則，即②

由①②得：，即，∴，整理得，所以．

1．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）在四邊形中，，，，為的面積，且.(1)求角；(2)若，求四邊形的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式及數(shù)量積的定義化簡(jiǎn)方程可得，即可得解；（2）求出，再由正弦定理求出AB=BC=1，即可得解.【詳解】（1）由，在中得，即，可得，因?yàn)椋?（2）由，所以，所以為等邊三角形，，所以，由正弦定理知，得，故四邊形的周長(zhǎng)為.2．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，過點(diǎn)作，交線段于點(diǎn)，且，，.

(1)求；(2)求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）先由正弦定理將條件等式角化邊，再由余弦定理求解即可；（2）先求出，再用正弦定理求出，然后求和，即可求出的面積.【詳解】（1）∵，∴由正弦定理得，即，∴由余弦定理，，又∵，∴.（2）∵，∴，由第（1）問，，∴，又∵，∴，∴在中，由正弦定理，，∴，又∵，∴，∴的面積.3．（2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）如圖所示，為平面四邊形的對(duì)角線，設(shè)，為等邊三角形，記.(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)設(shè)為四邊形的面積，用含有的關(guān)系式表示，并求的最大值.【答案】(1)；(2)；.【分析】（1）利用正弦定理及余弦定理結(jié)合條件即得；（2）利用余弦定理及三角形面積公式可表示出四邊形的面積，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】（1）在中，因?yàn)椋烧叶ɡ?，所以，由余弦定理，得，其中，故；?）在中，因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ砜傻?，因?yàn)闉榈冗吶切危?，因?yàn)椋运倪呅蔚拿娣e為，因?yàn)?，所以，故?dāng)時(shí)，取得最大值1，即的最大值為.4．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知________，．

(1)求；(2)如圖，為邊上一點(diǎn)，，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）若選擇條件①，利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；若選擇條件②，利用正弦定理將邊化角，再利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式求出，即可求出，最后利用二倍角正弦公式計(jì)算可得；（2）設(shè)，易知，，再利用余弦定理求出，最后由面積公式計(jì)算可得.【詳解】（1）若選擇條件①，在中，由正弦定理得，，，即，，又，；若選擇條件②，，，即，又，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，則，.（2）設(shè)，易知，，因?yàn)榍覟殇J角，所以，在中，由余弦定理，即，解得或（舍去），所以，，.5．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，平面四邊形中，的三內(nèi)角對(duì)應(yīng)的三邊為．給出以下三個(gè)條件：①②③的面積為(1)從以上三個(gè)條件中任選一個(gè)，求角；(2)設(shè)，在（1）的條件下，求四邊形的面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）對(duì)于①②：利用正、余弦定理結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算求解；對(duì)于③：利用余弦定理和面積公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意利用余弦定理建立邊角關(guān)系，結(jié)合面積公式整理可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）若選①：，則，整理得：，由正弦定理得，所以，因?yàn)椋?；若選②：因?yàn)椋瑒t，可得，由正弦定理得：，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，則，可得，所以，，即．若選③：的面積為，則，所以，所以，因?yàn)椋裕?）因?yàn)?，由?）可知，所以為正三角形，設(shè)，則，可得，在中，由余弦定理，可得，所以四邊形的面積，因?yàn)椋?，所以?dāng)，即時(shí)，四邊形的面積取到最大值.【基礎(chǔ)過關(guān)】1．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考三模）如圖，中，角、、的對(duì)邊分別為、、.

(1)若，求角的大小；(2)已知、，若為外接圓劣弧上一點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再結(jié)合和角的正弦求解作答.（2）由（1）及給定條件，求出，再利用余弦定理結(jié)合均值不等式求解作答.【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，即，則，整理得，而，即，又因?yàn)?，所?（2）在中，，由余弦定理得，于是，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)取得最大值.2．（2023·北京大興·?？既＃┤鐖D，平面四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，，，.

(1)求的面積；(2)求的值及的長(zhǎng)度.【答案】(1)(2)，【分析】（1）根據(jù)勾股定理可得，結(jié)合再根據(jù)面積公式求解即可；（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得，再用同角三角函數(shù)的關(guān)系與二倍角公式可得，然后根據(jù)，利用兩角和的正弦公式求解，由正弦定理求解即可.【詳解】（1）∵，，，，;（2），，，則.，，，，又，在中，，由正弦定理可知，，.3．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？既＃┤鐖D，是邊長(zhǎng)為2的正三角形所在平面上一點(diǎn)（點(diǎn)、、、逆時(shí)針排列），且滿足，記.

(1)若，求的長(zhǎng)；(2)用表示的面積，并求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理直接計(jì)算即可；（2）由正弦定理求出AP，然后代入三角形面積公式，結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)值域求出面積范圍.【詳解】（1）由，且是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則，且，所以在中，由余弦定理得，所以；（2）由，則，則，在中，由正弦定理有，得，所以，又，且，則，所以，所以，則，故的取值范圍為.4．（2023·河南開封·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，．(1)求的長(zhǎng)；(2)若的面積為，求的長(zhǎng)．【答案】(1)6(2)6【分析】（1）先求根據(jù)正弦定理可得.（2）由的面積先求，再由余弦定理可得.【詳解】（1），，且，根據(jù)正弦定理，可得；（2），，，得，又，由余弦定理得，．5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，為外一點(diǎn)，．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）在中求出，再在中利用余弦定理求解作答.（2）根據(jù)給定條件，求出，利用（1）的結(jié)論結(jié)合正弦定理求解作答.【詳解】（1）在中，，，，則，在中，，，則，，在中，由余弦定理得.（2）由（1）知，，因?yàn)?，，則，，，由（1）知，，在中，由正弦定理得：，則，又是銳角，則，所以.6．（2023·江蘇南京·南京市第九中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，D為外一點(diǎn)，且，，

(1)求sin∠ACD的值；(2)求BD的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理求出邊的長(zhǎng)，用勾股定理得出邊的長(zhǎng)，即可求出sin∠ACD的值；（2）由正弦定理求出與的關(guān)系，由余弦定理即可求出BD的長(zhǎng).【詳解】（1）由題意，在中，，，，由余弦定理得，，..在中，，，，.（2）由題意及（1）得，在中，由正弦定理得，.∴，且.又，∴，∴.在中，，，由余弦定理得，，∴，∴.7．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)校考三模）如圖，平面四邊形中，，，．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足．(1)判斷四邊形是否有外接圓？若有，求其半徑；若無，說明理由；(2)求內(nèi)切圓半徑的取值范圍．【答案】(1)有，(2)【分析】(1)先由余弦定理求，再由正弦定理結(jié)合條件得，所以，，所以四點(diǎn)共圓，則四邊形的外接圓半徑就等于外接圓的半徑．由正弦定理即可求出；(2)由三角形面積公式得到，則，由正弦定理得，，化簡(jiǎn)得，因?yàn)椋?，即可得到的取值范圍，從而得到半徑的取值范圍．【詳解】?）在中，，所以，由正弦定理，，可得，再由余弦定理，，又，所以．因?yàn)?，所以，所以四點(diǎn)共圓，則四邊形的外接圓半徑就等于外接圓的半徑．又，所以．（2）由（1）可知：，則，，則．在中，由正弦定理，，所以，，則，又，所以，所以，，即，因?yàn)?，所以?．（2023·湖南衡陽·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，過點(diǎn)作，交線段于點(diǎn)，且，.(1)求；(2)求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理和余弦定理可求出結(jié)果；（2）根據(jù)，，推出，再根據(jù)，求出，再根據(jù)三角形面積公式可求出結(jié)果.【詳解】（1）由，根據(jù)正弦定理可得，即，根據(jù)余弦定理可得，因?yàn)椋?；?）因?yàn)椋?，所以，則，所以，所以.所以，即，在三角形中，，，所以，故.9．（2023·遼寧·校聯(lián)考三模）如圖，在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，過點(diǎn)作，交線段于點(diǎn)，且．①；②；③．以其中兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】證明見解析.【分析】選①②③，利用正弦、余弦定理求出，進(jìn)而求出即可推理作答；選②③①，利用正弦、余弦定理求出，再利用三角形面積公式、正弦定理推理作答；選①③②，作于點(diǎn)，利用三角形面積公式求出，再由直角三角形銳角三角函數(shù)求出，由正余弦定理推理作答.【詳解】選擇①②為條件，證明③：在中，由及正弦定理得，即，由余弦定理得，而，則，又因?yàn)?，且，即，有，因此，由正弦定理得，所?選擇②③為條件，證明①：在中，由及正弦定理得，即，由余弦定理得，而，則，因?yàn)椋?，則有，此時(shí)，，因此，解得，由正弦定理得．選擇①③為條件，證明②：因?yàn)?，且，設(shè)，在中，，有，，而，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，于是，解得，在中，有，在中，有，則有，而，解得或，當(dāng)時(shí)，，又為的內(nèi)角，則，，即，所以，由余弦定理得，即，由正弦定理得：，其中為外接圓直徑，所以．當(dāng)時(shí)，，顯然，即，則此時(shí)，結(jié)論不成立.10．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，已知，．(1)求；(2)求四邊形面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）依據(jù)題給條件，利用正弦定理和二倍角正弦公式即可求得；（2）先求得△ADC面積最大值，進(jìn)而求得四邊形面積的最大值．【詳解】（1）設(shè)四邊形ABCD外接圓的半徑為R，，則，且，∴如圖，在△ABD和△BCD中，由正弦定理得．即∴，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴（2）連接AC，由（1）知，∴又，∴△ABC為等腰直角三角形，∴解法一：取BC的中點(diǎn)O，AC的中點(diǎn)E，連接OE，則，∴當(dāng)點(diǎn)D在OE的延長(zhǎng)線上時(shí)，，此時(shí)△ADC面積最大，最大值為∴四邊形ABCD面積的最大值為．解法二：在△ADC中，由余弦定理得即即，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．∴∴四邊形ABCD面積的最大值為．【能力提升】1．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，的面積為，記內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，.

(1)求的值；(2)已知點(diǎn)在線段上，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）將中的替換為，邊化角求得，再由三角形面積求即可；（2）在中由余弦定理求得，向量法求得中線，在中由余弦定理求得的余弦值，再利用平方關(guān)系求得的正弦值，最后用求解即可.【詳解】（1）∵在中，，，∴，∴由正弦定理得，，∴，又∵，∴，又∵，∴，又∵的面積，∴解得.（2）在中，由余弦定理得，，∴，又∵為中點(diǎn)，∴.∵為的中點(diǎn)，故，∴，∴，在中，由余弦定理得，∴，∴.2．（2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，且．(1)求；(2)若面積為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，利用余弦定理求得，再在和中兩次利用正弦定理即可求出比值.（2）利用三角形面積公式即可求出（1）問的值，再利用余弦定理即可.【詳解】（1）因?yàn)?設(shè),則,由余弦定理得，因?yàn)?，所以在?由正弦定理得,在中,由正弦定理得,因?yàn)?所以整理得.（2）由得,由（1）得,所以,在中,,由余弦定理得.3．（2023·遼寧大連·大連二十四中校考模擬預(yù)測(cè)）在①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c且__________，作AB⊥AD，使得四邊形ABCD滿足，．(1)求角B的值；(2)求BC的取值范圍．【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)所選條件，采用正余弦定理或者三角形面積公式一一計(jì)算即可（2）根據(jù)題意，選擇①②③求得，設(shè)，則，在中，由正弦定理求得，在中，由正弦定理求得可得，結(jié)合和三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）選①：，即，由正弦定理可得：，整理得，所以，即，又，所以,得到，又，所以.選②：，由正弦定理可得：，整理得，即，又由余弦定理，所以，又，所以.選③：，根據(jù)條件得，得到，又，所以.綜上，無論選擇哪個(gè)條件，（2）設(shè)，則，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦定理得，可得，因?yàn)椋傻?，?dāng)時(shí)，即，可得，當(dāng)時(shí)，即，可得，所以的取值范圍是.4．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，.

(1)求角；(2)從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，求角.①；②.【答案】(1)(2)選擇條件①或②，都有【分析】（1）由余弦定理求解即可；（2）選擇條件①，在中，由正弦定理及角的范圍求解即可；選擇條件②，在中，由正弦定理及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式求得結(jié)果.【詳解】（1）在中，由余弦定理可知：，又，.（2）若選擇條件①：在中，由正弦定理可知：，即，解得.在中，，從而，必有，又，故.若選擇條件②：在中，，，由正弦定理可知：，即，解得，又，則，，，故，在中，.5．（2023·天津和平·耀華中學(xué)?？级＃┤鐖D，在平面四邊形ABCD中，，，，，．

(1)求和的值；(2)記，求的值．【答案】(1),(2)【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理求解即可；（2）先利用平方和關(guān)系求出，進(jìn)而求，，然后用兩角和的余弦公式求解即可.【詳解】（1）在中，由正弦定理得．由題設(shè)知，，所以．所以．在中，由余弦定理得．所以．（2）因?yàn)椋裕?，．所以?．（2023·安徽阜陽·安徽省臨泉第一中學(xué)校考三模）在中，角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，滿足.

(1)求的大小；(2)，點(diǎn)D在BC上，，在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為條件，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正余弦定理邊角互化計(jì)算即可；（2）由題意分析可得，不管選哪個(gè)條件都需要利用正余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，求出AC，再利用三角形面積公式求值即可.【詳解】（1）由已知及正弦定理得：，即.由余弦定理得：，又，所以.

（2）選①：由上可知，在中，，由正弦定理得：，所以.故，在中，為銳角，，故，..在中，，故.所以的面積.選②：因?yàn)?，所?所以..在中，，故.所以的面積.選③：在中，由正弦定理得：；在中，由正弦定理得：.，故.所以的面積.7．（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）如圖，在平面四邊形中，，，.

(1)當(dāng)四邊形內(nèi)接于圓O時(shí)，求角C；(2)當(dāng)四邊形面積最大時(shí)，求對(duì)角線的長(zhǎng).【答案】(1)(2).【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合余弦定理求解即可；（2）將四邊形的面積拆成兩個(gè)三角形的面積之和，由余弦定理和三角形面積公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由余弦定理可得：，，所以.又四邊形內(nèi)接于圓，所以，所以，化簡(jiǎn)可得，又，所以.（2）設(shè)四邊形的面積為S，則，又，所以，即平方后相加得，即，又，所以時(shí)，有最大值，即S有最大值.此時(shí)，，代入得.又，所以在中，可得：，即.所以，對(duì)角線的長(zhǎng)為.8．（2023·安徽安慶·安慶市第二中學(xué)校考二模）如圖，在中，分別為邊上一點(diǎn)，.(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若，求的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）在中由余弦定理求，在中由勾股定理求的長(zhǎng)；（2）設(shè)，在中由正弦定理求得，再由正弦定理求.【詳解】（1）在中由余弦定理可得，又，所以，所以，解得或，因?yàn)闉榈男边叄?，故，所以，且；?）設(shè)，則，又，故，因?yàn)?，所以，所以，在中，由正弦定理得，所以，所以，所以，所以，所以，設(shè)，則，故，因?yàn)椋?，所以，所以，即，由正弦定理可得，所以，所?9．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn).

(1)若（圖1），求的面積；(2)若（圖2），求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，由余弦定理得，從而可得，利用面積公式即可求解；（2）設(shè)，，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，利用即可求解．【詳解】（1）在中，，，由余弦定理得，又，，故．（2）設(shè)，因?yàn)椋瑒t，則，在中，由正弦定理可得，即，故，在中，，由余弦定理可得，其中，，，因?yàn)椋瑒t，即當(dāng)時(shí)，．10．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD中，已知，.

(1)若ABC的面積為，求ABC的周長(zhǎng)；(2)若，，，求∠BDC的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，結(jié)合余弦定理可得，由ABC的面積為可得，后由余弦定理可得AC即可得周長(zhǎng)；（2）由（1）結(jié)合，，可設(shè)，則，后由正弦定理可得，即可得答案.【詳解】（1）由余弦定理，在中，.又，，則.又ABC的面積為，則.則，則ABC的周長(zhǎng)為.（2）由（1）可知，又，，四邊形內(nèi)角和為，則.設(shè)，則.在中，由正弦定理，.在中，由正弦定理，.消去，得.因，則，則.則.【真題感知】1．（全國(guó)·高考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝90°.(1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．【答案】（1）（2）【詳解】試題分析:（1）在三角形中，兩邊和一角知道，該三角形是確定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三邊.（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求角的正切值.（3）若是已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)大邊對(duì)大角進(jìn)行判斷.（4）在三角形中，注意這個(gè)隱含條件的使用.試題解析:解：（1）由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝.故PA＝.5分（2）設(shè)∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理得，化簡(jiǎn)得cosα＝4s