基本不等式及其應(yīng)用12種常見(jiàn)考點(diǎn)（老師版）

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）．A． B．C． D．【答案】C【分析】由為等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判斷.【詳解】解：由圖知：，在中，，所以，即，故選：C2．（22-23高三上·安徽合肥·期中）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無(wú)字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)AC=a，，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用數(shù)形結(jié)合計(jì)算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得結(jié)論．【詳解】設(shè)，可得圓的半徑為，又由，在中，可得，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選：D.3．（2023·陜西寶雞·二模）設(shè)a，，則“a+b≥2”是“”的（

）A．充要條件B．必要不充分條件C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由基本不等式結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】若a+b≥2，則成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，若，不妨設(shè)，則a+b≥2不成立，所以“a+b≥2”是“”的充分不必要條件.故選：C.4．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）已知x，y都是正數(shù)，且，則下列選項(xiàng)不恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式判斷．【詳解】x，y都是正數(shù)，由基本不等式，，，，這三個(gè)不等式都是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而題中，因此等號(hào)都取不到，所以ABC三個(gè)不等式恒成立；中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，如即可取等號(hào)，D中不等式不恒成立．故選：D．考點(diǎn)2由基本不等式比較大小5．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)的妙用進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，對(duì)原條件直接使用基本不等式，即可求解；C選項(xiàng)，將待證明表達(dá)式消去一個(gè)字母，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決；D選項(xiàng)，結(jié)合B選項(xiàng)的分析可解決.【詳解】因?yàn)?，所以，?duì)于A項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，從而在，時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)：因?yàn)?，所以，，?dāng)時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)：因?yàn)椋?，所以，于是等價(jià)于，等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，，所以在1,+∞上單調(diào)遞增；所以恒成立，所以不等式成立，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)：根據(jù)B選項(xiàng)的分析，，則，即，當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：C6．（2024·湖南岳陽(yáng)·二模）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得出，，，然后利用作差法比較與的大小關(guān)系即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，即；因?yàn)?，所以，即，所以，即；因?yàn)?，所以，即，所以，即；又因?yàn)椋?，所以，所以，所以；綜上所述，.故選：A.7．（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，利用二次函數(shù)及均值不等式可得解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列，所以，因?yàn)閎n為等比數(shù)列，所以，而，所以，故A對(duì)C錯(cuò)；因?yàn)?，而可同為正?shù)也可同為負(fù)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以，大小不確定，故BD錯(cuò)誤.故選：A8．（23-24高三下·全國(guó)·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，所以得到，得到，作差比較的大小，利用基本不等式比較大小即可.【詳解】設(shè)，則在0,+∞上單調(diào)遞減，所以，所以，，，，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，所以得到，利用基本不等式比較大小即可.9．【多選】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則下列式子正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【詳解】根據(jù)不等式的性質(zhì)可得A、B的正誤；根據(jù)基本不等式可得C的正誤；利用作差法可得D的正誤.【分析】由，得，所以，A正確．因?yàn)?，所以，所?，所以，B正確．因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，C正確．因?yàn)?，所以，D錯(cuò)誤．故選：ABC．10．【多選】（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【分析】首先結(jié)合選項(xiàng)變形，再根據(jù)基本不等式，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；B.，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；C.，故C正確；D.，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選：ABCD11．【多選】（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）已知，則實(shí)數(shù)滿足（

）本號(hào)資料全部來(lái)源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第*六感A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由條件求出，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，基本不等式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，A正確；，B正確，，C錯(cuò)誤，由，可得，D正確，故選：ABD.12．【多選】（23-24高三上·湖南常德·期末）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)和基本不等式判斷AB，利用特值法判斷CD．【詳解】∵，∴即，∴，A正確；由基本不等式知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立又，∴∴即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；已知,故，B正確;令，，C錯(cuò)誤；令，，分母為零無(wú)意義，D錯(cuò)誤．故選：AB．13．【多選】（23-24高三上·河北保定·階段練習(xí)）已知正數(shù)a，b滿足，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，求出的范圍并結(jié)合均值不等式判斷AB；舉例說(shuō)明判斷C；利用不等式性質(zhì)推理判斷D作答.【詳解】由，，得，即，而，則，A正確；顯然，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，B正確；取，，則滿足，，此時(shí)，C錯(cuò)誤；由，得，即a>2，于是，同理，則，D正確．故選：ABD14．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知分別為上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，，，，則大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性算出表達(dá)式，然后利用的單調(diào)性，奇偶性，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行大小比較.本號(hào)資*料全部來(lái)源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感【詳解】，用代替，，根據(jù)分別為上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，于是，結(jié)合可得.故，設(shè)，則，根據(jù)基本不等式和余弦函數(shù)的范圍，，，于是，則g′(x)在上單調(diào)遞增，注意到，于是時(shí)，遞增.由于是偶函數(shù)，根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，，，于是，，，故只需要比較的大小.由，，根據(jù)基本不等式，，故.由于時(shí)，遞增可知，，結(jié)合是偶函數(shù)可得，，即.故選：C15．（2024·山西晉城·一模）定義表示，，中的最小值．已知實(shí)數(shù)，，滿足，，則（

）A．的最大值是 B．的最大值是C．的最小值是 D．的最小值是【答案】B【分析】由題先分析出實(shí)數(shù)，，一負(fù)兩正，然后利用基本不等式放縮求出最小值的最大值即可.【詳解】因?yàn)?，所以在，，中，?fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為1或3，又，所以在，，中，1個(gè)為負(fù)數(shù)，2個(gè)為正數(shù)，不妨設(shè)，則．因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，則，故的最大值是，無(wú)最小值．故選：B.16．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知某商品近期價(jià)格起伏較大，假設(shè)第一周和第二周的該商品的單價(jià)分別為m元和n元，甲、乙兩人購(gòu)買(mǎi)該商品的方式不同，甲每周購(gòu)買(mǎi)100元的該商品，乙每周購(gòu)買(mǎi)20件該商品，若甲、乙兩次購(gòu)買(mǎi)平均單價(jià)分別為，則（

）本號(hào)*資料全部來(lái)源*于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感A．B．a(chǎn)1<a2 C．a(chǎn)1【答案】B【分析】由題意求出的表達(dá)式，利用基本不等式，比較大小，即得答案.【詳解】由題意得，，因?yàn)椋?，，即a1故選：B考點(diǎn)3由基本不等式證明不等關(guān)系17．（2023·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且滿足.(1)證明：；(2)求的最小值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用基本不等式可得，由，再結(jié)合基本不等式即可證明；（2）配方得到，從而可得，令，從而利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.（2）因?yàn)?，所以，令，則，因?yàn)榈拈_(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，所以，即的最小值為.18．（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測(cè)）已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且．(1)求abc的最大值；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）變形后，利用三元基本不等式求出最值；（2）變形后，利用基本不等式“1”的妙用進(jìn)行求解【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．（2）證明：，當(dāng)且僅當(dāng)同時(shí)成立，即時(shí)等號(hào)成立．19．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足．(1)解不等式；(2)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，使．【答案】(1)或(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)條件，利用“零點(diǎn)分段法”，即可求出結(jié)果；（2）利用三角絕對(duì)不等式得到，再利用重要不等式得到，即可證明結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，由，得到，?dāng)時(shí)，得到，解得，當(dāng)時(shí)，，所以x∈?，當(dāng)時(shí)，得到，解得，綜上，不等式的解集為或.（2）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)，使.20．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足．(1)若，求證：；(2)若a，b，，求證：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題意可得，又，結(jié)合基本不等式可得，化簡(jiǎn)求得，得證；（2）法一，由已知條件得，同理可得，，三式相加得證；法二，根據(jù)已知條件可得，所以，利用柯西不等式求解證明.【詳解】（1）因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，整理得，所以．（2）解法一：因?yàn)?，且a，b，，所以，，，所以，同理可得，，以上三式相加得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．解法二：因?yàn)?，且a，b，，所以，，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．21．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)滿足．求證：(1)；(2)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題意，根據(jù)基本不等式可得，利用作差法，結(jié)合立方和公式和基本不等式計(jì)算即可證明；本號(hào)資料全部來(lái)源于微信公眾號(hào)#：數(shù)學(xué)第六感（2）由題意可得，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可證明.本號(hào)資料全部來(lái)源于微信公眾號(hào)：*數(shù)學(xué)第六感【詳解】（1）由，且可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故．22．（2024·青海·一模）已知正數(shù)滿足．求證：(1)；(2)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合基本不等式，即可得證；（2）由，結(jié)合基本不等式，即可得證.【詳解】（1）證明：因?yàn)檎龜?shù)滿足，由，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立，本號(hào)資料全部來(lái)#源于微信公眾#號(hào)：數(shù)學(xué)第六感可得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立.（2）證明：由，當(dāng)且僅當(dāng)，即，等號(hào)成立.所以.23．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）已知為正數(shù)，且.證明：(1)；(2).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由關(guān)于三個(gè)重要不等式左右分別相加，得到，結(jié)合題設(shè)條件推得代入即得；（2）先證明三維的柯西不等式，再利用柯西不等式將左式化成，再構(gòu)造不等式，化簡(jiǎn)得到，代入條件即得.【詳解】（1）因?yàn)闉檎龜?shù)，，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立，所以.（2）先證明三維的柯西不等式.已知求證:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).證明：設(shè)①當(dāng)，即時(shí)，不等式顯然成立；②當(dāng)時(shí)，∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),∴，即∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故得證.由柯西不等式，得，即.因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故得：.考點(diǎn)4基本不等式求積的最大值24．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先變形，化簡(jiǎn)后換元，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，利用基本不等式求最值.【詳解】，，設(shè)，則，，當(dāng)x=2x，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：D25．（2024·上海奉賢·三模）若，則有最大值為．【答案】/0.25【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，顯然當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以有最大值為.故答案為：.26．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)，滿足，則.【答案】【分析】先利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，，右邊使用不等式，根據(jù)不等式的傳遞性，，換元后利用函數(shù)的單調(diào)性得，所以只能，再根據(jù)取等條件求出即可.【詳解】，，即，根據(jù)不等式得，，令，所以，因?yàn)?，所?，，所以，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以，即，，所以只能，即，所以，當(dāng)成立，即，所以.故答案為：.27．（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）若，，且，則的最小值為【答案】【分析】先對(duì)進(jìn)行等式變形，利用把原式化簡(jiǎn)為，再利用均值不等式可得，然后由函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減，即可得到最小值為.【詳解】由，因?yàn)?，所以上式，又因?yàn)椋?，由均值不等式得：，利用函?shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減可知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值.故答案為：28．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)且，則的最大值為【答案】【分析】根據(jù)題意，利用題設(shè)條件，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)榍遥瑒t，解得：，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為，則，即的最大值為故答案為：29．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與直線，若，則的最大值為.【答案】/0.25【分析】根據(jù)直線垂直的條件得，根據(jù)基本不等式得，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，即的最大值為.故答案為：.30．【多選】（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)，滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】ABD【分析】利用已知條件、基本不等式逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】對(duì)于A：∵，，.∴，.當(dāng)且僅當(dāng)，即，，取“”，∴A正確；對(duì)于B：，由（1）知，∴.∴.∴B正確；對(duì)于C：.∴，∴C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，取“”，∴D正確.故選：ABD.31．【多選】（2022·廣東佛山·一模）在中，所對(duì)的邊為，設(shè)邊上的中點(diǎn)為，的面積為，其中，，下列選項(xiàng)正確的是（）A．若，則 B．的最大值為C． D．角的最小值為【答案】ABC【分析】由余弦定理、三角形面積公式結(jié)合均值不等式判斷ABD三個(gè)選項(xiàng)，利用向量的模的計(jì)算公式判斷C選項(xiàng).【詳解】選項(xiàng)A，若，由余弦定理，得，所以，則三角形面積，A正確；選項(xiàng)B，由基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，由余弦定理可得，則，B正確；選項(xiàng)C，因?yàn)檫吷系闹悬c(diǎn)為，所以，而，即，則，所以，故C正確；選項(xiàng)D，因?yàn)?，即，所以由余弦定理得，又，且函?shù)在上單調(diào)遞減，所以，D錯(cuò)誤.故選：ABC.32．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)球的直徑為，球面上三個(gè)點(diǎn)，，確定的圓的圓心為，，，則面積的最大值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】畫(huà)出圖形，即可得到，由正弦定理求出，再由勾股定理得到及，最后由面積公式及基本不等式計(jì)算可得.【詳解】如圖所示：為直角三角形，，則，又，所以，在中，由正弦定理可得，又，所以，所以，所以是的中點(diǎn)，由，又，，所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即面積的最大值為.故選：B33．（2024·湖南岳陽(yáng)·三模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．有最小值25 B．有最大值25 C．有最小值50 D．有最大值50【答案】B【分析】由，利用等差數(shù)列的性質(zhì)推出，再利用基本不等式計(jì)算即得.【詳解】由可得，因則等差數(shù)列an的公差d≥0，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，取得最大值25.故選：B.考點(diǎn)5基本不等式求和的最小值34．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）下列函數(shù)最小值為4的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，基本不等式確定最小值后判斷．【詳解】選項(xiàng)A，時(shí)，，最小值不是4，A錯(cuò)；選項(xiàng)B，由基本不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，B正確；選項(xiàng)CD中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)最小值為0，CD均錯(cuò)．故選：B．35．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則的最小值為（

）A．4 B． C．6 D．【答案】D【分析】利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).故選：D36．（2024·安徽阜陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的最小值為.【答案】20【分析】由可得，再由基本不等式求解即可.【詳解】依題意，，由可得，所以，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).故答案為：20.37．【多選】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷A；取，可判斷BC；根據(jù)基本不等式可判斷D．【詳解】由題意，得，，，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，取，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確．故選：AD38．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若且，，則的最小值為．【答案】8【分析】先求出函數(shù)過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用基本不等式求最值.【詳解】因?yàn)?，（且），所以函?shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，所以，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，即的最小值為.故答案為：.39．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在橢圓上，，是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得，由基本不等式可得，則由，代入即可得到答案.【詳解】由題知，，b2=1，即，，則，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．故選：D.40．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，，其中，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量平行，得到，結(jié)合基本不等式即可求.【詳解】由題意，因?yàn)?，所以，又，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立．故選：A41．（2024·北京·三模）在中，分別是角的對(duì)邊，且，則角的取值范圍為．【答案】【分析】由余弦定理、基本不等式得出cosB【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即為等邊三角形時(shí)，，又

．故答案為：.42．（2024·寧夏·二模）直線過(guò)函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，則的最小值為（

）A．9 B．8 C．6 D．5【答案】A【分析】先利用函數(shù)圖象平移與奇函數(shù)的性質(zhì)求得的對(duì)稱中心，從而得到，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解．【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于中心對(duì)稱，函數(shù)圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位可得函數(shù)的圖象，所以的對(duì)稱中心為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為．故選：A43．（2024·寧夏石嘴山·三模）若函數(shù)，且的圖象所過(guò)定點(diǎn)恰好在橢圓上，則取最小值時(shí)，n=（）A．4 B．12 C．16 D．6【答案】A【分析】由函數(shù)找到定點(diǎn)，得到一個(gè)關(guān)于的等式，利用它們都是正數(shù)，結(jié)合代換1思想，最后可用均值不等式來(lái)求出最小值.【詳解】由題意得，函數(shù)，且的圖象所過(guò)定點(diǎn)為，則，又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：A.44．（2024·上海·三模）已知函數(shù)，若，，且，則的最小值是【答案】8【分析】由函數(shù)奇偶性的定義可知為奇函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性可知，然后結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以為奇函?shù)，又，所以函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.45．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)給定的遞推公式探求得數(shù)列的周期，再利用周期性及基本不等式求解即得.【詳解】正項(xiàng)數(shù)列中，由，得，則，即數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列，而，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵是求出數(shù)列的周期，再借助周期性求前n項(xiàng)和.46．（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）已知正的邊長(zhǎng)為，中心為，過(guò)的動(dòng)直線與邊，分別相交于點(diǎn)、，，，.（1）若，則；（2）與的面積之比的最小值為.【答案】/【分析】根據(jù)，利用數(shù)量積的定義及運(yùn)算律即可計(jì)算；由題意可得，根據(jù)三點(diǎn)共線可得，利用三角形的面積公式可得，再結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】（1）；（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)镸，O，N三點(diǎn)共線，故，即，又因?yàn)椋?，，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以與的面積之比的最小值為.故答案為：；.考點(diǎn)6二次與二次（或一次）的商式的最值47．（2021·浙江嘉興·二模）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為．【答案】【分析】由已知得a＝，代入＝＝＝﹣2（）2+，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求．【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b滿足b+3a＝2ab，所以a＝，則＝＝＝﹣2（）2+，當(dāng)，即b＝2時(shí)取得最大值．故答案為：．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：b+3a＝2ab，可解出，采用二元化一元的方法減少變量，轉(zhuǎn)化為的一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.48．（2021·天津河西·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的最小值為.【答案】9【分析】由題意得，原函數(shù)表達(dá)式可化為關(guān)于的表達(dá)式，分離常數(shù)，轉(zhuǎn)化為可利用基本不等式求最值的問(wèn)題，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，∴已知函數(shù)的最小值為9.故答案為：9.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值問(wèn)題，難點(diǎn)在于將原函數(shù)的表達(dá)式中的分子按照分母的形式進(jìn)行配湊，分離常數(shù)，轉(zhuǎn)化為可利用基本不等式求最值的問(wèn)題.49．（2020·江蘇南通·二模）已知，，，則的最大值為.【答案】【解析】由已知可得，令，則原式，利用基本不等式即可解決.【詳解】由已知，所以，故，令，原式，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求最值的問(wèn)題，涉及到對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道中檔題.50．（2018·江蘇常州·一模）已知，，2x+y=2，則的最大值為.【答案】【詳解】由題，而即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)則，故答案為．51．（23-24高一下·貴州遵義·期中）已知，則的最小值是．【答案】2【分析】變形式子，由均值等式求最值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)．即時(shí)，等號(hào)成立．故答案為：252．（23-24高一上·江蘇宿遷·期中）已知，則的最小值為.【答案】16【分析】將目標(biāo)式化為，結(jié)合及二次函數(shù)性質(zhì)求最大值即可.【詳解】由，則，而，故當(dāng)時(shí)，目標(biāo)式最小值為16.故答案為：1653．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為.【答案】/【分析】首先化簡(jiǎn)可得，由則可以利用基本不等式求最值即可.【詳解】因?yàn)?，則，所以≤，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為.故答案為：.考點(diǎn)7基本不等式“1”的妙用求最值54．（23-24高一上·廣東河源·階段練習(xí)）若正數(shù)，滿足，則的最小值為．【答案】【分析】由題可得，化簡(jiǎn)利用基本不等式即可得出結(jié)論．【詳解】正數(shù)，滿足，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)．故答案為：．55．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值是．【答案】24【分析】變形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值【詳解】因?yàn)?，且，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故答案為：56．（2024·遼寧鞍山·模擬預(yù)測(cè)）若，，且，則的最小值為．本*號(hào)資料全部來(lái)源于微信公眾*號(hào)：數(shù)學(xué)第六感【答案】9【分析】利用“1”的變形，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】，當(dāng)，即，聯(lián)立，得到時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為9.故答案為：957．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則的最小值為.【答案】【分析】利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).故答案為：58．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到，再利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可求出其范圍.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的取值范圍為.故答案為：59．（2024·河南·三模）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的最小值為．【答案】【分析】是的邊長(zhǎng)，所以它們是正數(shù)，利用乘“1”法結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為．故答案為：.60．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則的最小值是．【答案】/．【分析】利用“1”的巧用及基本不等式即可求解.本號(hào)資料#全部來(lái)源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感【詳解】由，得，因?yàn)?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是．故答案為：．61．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則的最小值為．本號(hào)資料全部來(lái)源于微信公眾#號(hào)：數(shù)學(xué)第六感【答案】12【分析】令，，從而可得，，再根據(jù)，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】令，，則，，且，，所以，．又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，即，時(shí)，等號(hào)成立．故答案為：1262．（2024·陜西渭南·二模）已知直線（，）過(guò)函數(shù)（，且）的定點(diǎn)T，則的最小值為.【答案】【分析】先根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)的特點(diǎn)求得定點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程得，運(yùn)用常值代換法即可求得結(jié)論.【詳解】令時(shí)，可得，可知函數(shù)，且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)槎c(diǎn)在直線上，可得，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.63．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）在中，，P是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），設(shè)，則的最小值是.【答案】【分析】由，得到，從而有，再根據(jù)三點(diǎn)共線，得到，然后利用基本不等式求解.【詳解】解：因?yàn)樵谥校?，所以，又因?yàn)?，則，因?yàn)槿c(diǎn)共線，則，結(jié)合題意知，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：64．（2024·廣西柳州·三模）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，∠ABC=2π3，的平分線交AC于點(diǎn)D，且，則a+4c的最小值為．【答案】【分析】利用三角形面積關(guān)系建立方程關(guān)系，結(jié)合基本不等式1的代換進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示，則的面積為12ac則ac=2a+2c，所以1a+1故a+4c=(a+4c)1當(dāng)且僅當(dāng)4ca=a所以a+4c的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，利用角平分線與三角形面積公式得到的關(guān)系式1a+65．（23-24高一下·寧夏銀川·期中）在中，為上一點(diǎn)，，為線段上任一點(diǎn)，若，則的最小值是．【答案】8【分析】將變形后，由，，三點(diǎn)共線，可得，則，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求出其最小值.本號(hào)資料全部來(lái)源于微*信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感【詳解】因?yàn)椋裕驗(yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，所以．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．所以的最小值是8.故答案為：866．（2024·陜西咸陽(yáng)·二模）已知總體的各個(gè)個(gè)體的值由小到大依次為，且總體的平均值為10，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)平均數(shù)得到方程，求出，由基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】由題意得，解得，由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：考點(diǎn)8條件等式求最值67．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)不同的正數(shù)滿足，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題將條件式化簡(jiǎn)后結(jié)合基本不等式得出關(guān)于ab的不等式，再構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】將兩邊展開(kāi)，得到，從而，故，而，故，又，故，從而．設(shè)函數(shù)，則，觀察易得在0,+∞上單調(diào)遞增，故，又，所以．故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與不等式的綜合，其關(guān)鍵是利用均值不等式構(gòu)造關(guān)于ab的不等式，再構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性解決問(wèn)題.68．（2024·江西宜春·三模）已知，，且滿足，則的最大值為．【答案】【分析】解法1、根據(jù)題意，得到，結(jié)合基本不等式求得，進(jìn)而求得的最大值；解法2、根據(jù)題意，得到，利用權(quán)方和不等式得，進(jìn)而求得的最大值．【詳解】解法1、由，可得，由基本不等式得，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，聯(lián)立方程組，解得，，故的最大值為2．解法2、由，可得，因?yàn)椋蓹?quán)方和不等式得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，聯(lián)立方程組，解得，，故的最大值為2．故答案為：.69．（2024·廣西河池·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)，且，則的最小值為.【答案】4【分析】根據(jù)，將化簡(jiǎn)可得，再根據(jù)基本不等式“1”的巧用求解最值即可.【詳解】由可得，因?yàn)椋?，即，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.70．（2024·四川成都·三模）若正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（用表示）．本號(hào)資料全部來(lái)源于微信公*眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求解即得.【詳解】因?yàn)槭钦龑?shí)數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，于是，所以的最大值為.故答案為：71．（2024·陜西西安·三模）已知，，則的最小值為．【答案】/【分析】依題意可得，再由基本不等式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，且，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為．故答案為：．72．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知正實(shí)數(shù)m，n滿足，則的最大值為．【答案】2【分析】依題意得，再利用基本不等式求解.【詳解】依題意得，則，即，則，解得，則的最大值為2．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值.故答案為：2.73．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，b>12，，則的最大值為．【答案】/【分析】通過(guò)換元，將分式變成整式，再通過(guò)“1”的代換和基本不等式求出即可.【詳解】令，，則，，，，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，即，時(shí)等號(hào)成立．故答案為：74．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則的最小值是.【答案】8【分析】通過(guò)對(duì)變形可得和，然后利用基本不等式可解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?又，所以，即，即，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：8考點(diǎn)9基本不等式的恒成立問(wèn)題75．（2024·四川成都·三模）設(shè)函數(shù)，正實(shí)數(shù)滿足，若，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．2+22 B．4 C． D．【答案】A【分析】依題意可得，從而得到，再令，最后利用基本不等式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，，又，所以，即，因?yàn)?，，所以，所以，所以，又，即，所以，所以，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以，則實(shí)數(shù)的最大值為2+22.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是推導(dǎo)出，從而參變分離得到，再換元、利用基本不等式求出的最小值.76．（2024·江西·一模）已知正數(shù)x，y滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】將變形為，利用均值不等式求的最小值即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，等?hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以，，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是先得到，再進(jìn)一步結(jié)合乘“1”法即可順利得解.77．（23-24高二下·陜西西安·期末）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將問(wèn)題化為，利用基本不等式求左側(cè)的最小值，注意取值條件，即可得參數(shù)范圍.【詳解】由題意，只需在時(shí)即可，又，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，所以，即.故選：A78．（2023·河南·二模）若不等式在時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】參變分離可得，再設(shè)，結(jié)合基本不等式求解的最小值即可.【詳解】解析依題意知，，結(jié)合，知，不等式轉(zhuǎn)化為，須.設(shè)，由，知，設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，因此實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A79．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知正數(shù)滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)基本不等式求得不等式左邊的最小值，建立不等式，解出即可.【詳解】因?yàn)榍遥?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以，解得．故答案為?80．（2023·貴州黔東南·三模）正數(shù)滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【分析】由不等式恒成立可得，利用基本不等式求的最小值，由此可求的取值范圍.【詳解】因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以，由，，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，解得.所以的取值范圍為.故答案為：.81．（2023·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值集合為．【答案】【分析】分析可得原題意等價(jià)于對(duì)任意恒成立，根據(jù)恒成立問(wèn)題結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】∵，則，原題意等價(jià)于對(duì)任意恒成立，由，，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，∴，解得．故正實(shí)數(shù)的取值集合為.故答案為：．82．（2024·山東濰坊·三模）已知均為正實(shí)數(shù)，函數(shù)．（1）若的圖象過(guò)點(diǎn)，則的最小值為；（2）若的圖象過(guò)點(diǎn)，且恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為．本號(hào)資料全*部來(lái)源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感【答案】9【分析】（1）由的圖象過(guò)點(diǎn)得，根據(jù)基本不等式“1”的妙用計(jì)算即可；本號(hào)資料全部來(lái)源#于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)#第六感（2）由的圖象過(guò)點(diǎn)得，進(jìn)而得出，利用換元法及基本不等式即可求得的最大值，即可得出的最小值．【詳解】（1）由的圖象過(guò)點(diǎn)得，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．由恒成立得，，（2）因?yàn)榈膱D象過(guò)點(diǎn)，則，即，當(dāng)時(shí)，不合題意舍，所以，即，則，則由得，所以，設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，則時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：9；．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：第二空由的圖象過(guò)點(diǎn)得出，代入消元得出關(guān)于的齊次式，換元后根據(jù)基本不等式計(jì)算可得．考點(diǎn)10對(duì)勾函數(shù)求最值83．（2024高二·全國(guó)·競(jìng)賽）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）．A．在遞增 B．在遞減C．的最小值是 D．不存在反函數(shù)【答案】D【分析】由基本不等式可判斷C；由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可判斷A，B；在其定義域內(nèi)非單調(diào)函數(shù)，不存在反函數(shù)，可判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，故C錯(cuò)誤；由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可得：在上遞減，上遞增．故A、B不正確．在其定義域內(nèi)非單調(diào)函數(shù)，不存在反函數(shù)，故D正確.故選：D.84．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）給出四個(gè)命題：①的最小值為2；②的最大值為；③的最小值為2；④的最小值為4．其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用基本不等式可判斷①的真假，取特殊值，舉反例可判斷②③的真假，利用換元，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷④的真假，即得答案.【詳解】對(duì)于①，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，即的最小值為2，正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，滿足且，當(dāng)時(shí)，，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，令，則在上單調(diào)遞減，故時(shí)，取到最小值5，即的最小值為5，④錯(cuò)誤，故真命題的個(gè)數(shù)是1，故選：A85．（22-23高一上·全國(guó)·階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，有最小值，故選：B.86．【多選】（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列不等式正確的有（

）A．若，則函數(shù)y=x2B．函數(shù)最小值為C．當(dāng)D．最小值等于4【答案】BC【分析】AD選項(xiàng)，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解；BC選項(xiàng)，直接使用基本不等式或變形后使用基本不等式進(jìn)行求解【詳解】A選項(xiàng)，令，則，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，y=t+1t在故，故y=x2+4B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù)最小值為，B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，C正確；D選項(xiàng)，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，故，D錯(cuò)誤.故選：BC87．【多選】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知x≥1，則下列函數(shù)的最小值為2的有（）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】因?yàn)閤≥1，所以(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)取等號(hào))；，但是等號(hào)取不到；因?yàn)楹瘮?shù)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以≥2，當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)；因?yàn)閤≥1，所以(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)).故選：ACD.考點(diǎn)11容積的最值問(wèn)題88．（23-24高一上·廣東廣州·期末）如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱.設(shè)箱體的長(zhǎng)度為米，高度為米.現(xiàn)有制箱材料60平方米.問(wèn)當(dāng)，各為多少米時(shí)，該沉淀箱的體積最大，并求體積的最大值.【答案】米，米；立方米【分析】根據(jù)面積列出方程，據(jù)此條件利用均值不等式解出的范圍即可得解.【詳解】由題意，，即，，所以，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所?即當(dāng)，各為6米，3米時(shí)，該沉淀箱的體積最大，最大為36立方米.89．（22-23高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）某工廠擬造一座平面圖（如圖）為長(zhǎng)方形且面積為的三級(jí)污水處理池．由于地形限制，該處理池的長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)16m，且高度一定．如果四周池壁的造價(jià)為400元/，中間兩道隔墻的造價(jià)為248元/，池底造價(jià)為80元/，那么如何設(shè)計(jì)該處理池的長(zhǎng)和寬，才能使總造價(jià)最低？（池壁的厚度忽略不計(jì)）

【答案】長(zhǎng)為m，寬為m時(shí)總造價(jià)最低．【分析】設(shè)處理池的長(zhǎng)和寬分別為，，高為，表示出總造價(jià)的關(guān)系式，再利用基本不等式即可解出．【詳解】設(shè)處理池的長(zhǎng)和寬分別為，，高為，總造價(jià)為，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，又，即，時(shí)取到等號(hào)，故長(zhǎng)為m，寬為m時(shí)總造價(jià)最低．90．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為48m2，房屋正面每平方米造價(jià)為1200元，房屋側(cè)面每平方米的造價(jià)為800元，屋頂?shù)脑靸r(jià)為5800元．如果墻高為3m，且不計(jì)房屋背面和地面的費(fèi)用，那么房屋的總造價(jià)最低為元．【答案】【分析】求出房屋的總造價(jià)，利用基本不等式可得答案.本號(hào)資料全部來(lái)源于*微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感【詳解】設(shè)房屋底面一邊長(zhǎng)為m，則另一邊長(zhǎng)為m，所以房屋的總造價(jià)為，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.91．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，∠BAC=π2，，為所在平面外一點(diǎn)，的面積為，且平面PAC⊥平面，，則三棱錐體積的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則，得，設(shè)，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)、余弦定理、等積轉(zhuǎn)換與基本不等式，即可求得三棱錐體積的最大值.【詳解】因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面，平面PAC∩平面，又，平面所以平面PAC，因?yàn)槠矫鍼AC，故，設(shè)，則，得，設(shè)，在中，由余弦定理得，所以，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以三棱錐體積的最大值為．故選：D．考點(diǎn)12基本（均值）不等式的應(yīng)用本*號(hào)資料全部來(lái)源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感92．（2024·浙江金華·三模）某希望小學(xué)的操場(chǎng)空地的形狀是一個(gè)扇形，計(jì)劃在空地上挖一個(gè)內(nèi)接于扇形的矩形沙坑（如圖所示），有如下兩個(gè)方案可供選擇.經(jīng)測(cè)量，，.在方案1中，若設(shè)，，則，滿足的關(guān)系式為，比較兩種方案，沙坑面積最大值為.【答案】（其中，），或，/【分析】（1）連接，在中應(yīng)用勾股定理找到關(guān)系式，注意取值范圍；（2）由（1）及基本不等式求得，結(jié)合三角形面積公式求方案一的最大值；再連接，，設(shè)，，在中應(yīng)用勾股定理得，結(jié)合基本不等式、三角形面積公式求方案二最大值，比較大小即可.【詳解】連接，由，，，，得，在中，，由，得，顯然在上單調(diào)遞減，所以滿足的關(guān)系式為（x∈(0,1)，）或，；

方案1：設(shè)游泳池的面積為，由（1）得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)2x=y，即，時(shí)取等號(hào)，所以；方案2：設(shè)游泳池的面積為，取的中點(diǎn)，連接，，設(shè)，，在中，，則，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，而，所以選擇第一種方案，此時(shí)游泳池面積的最大值為.故答案為：（x∈(0,1)，），或，；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)出與圖形面積相關(guān)的兩個(gè)變形，借助勾股定理建立關(guān)系，利用基本不等式求解最值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.93．（23-24高一下·上海松江·期末）如圖，某體育公園廣場(chǎng)放置著一塊高為3米的大屏幕滾動(dòng)播放各項(xiàng)體育賽事，大屏幕下端離地面高度3.5米，若小明同學(xué)的眼睛離地面高度1.5米，則為了獲得最佳視野（最佳視野指看到大屏幕的上下夾角最大），小明應(yīng)在距離大屏幕所在的平面米處觀看?（精確到0.1米）.本號(hào)資料全部來(lái)源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)#第六感【答案】3.2【分析】作于，設(shè)，根據(jù)兩角差的正切公式，結(jié)合不等式求的最大值，并確定對(duì)應(yīng)的即可.【詳解】如圖：作于，設(shè)，則，.所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）又，故（米），故答案為：3.294．（2024·山東濟(jì)南·三模）三棱錐中，平面，．若該三棱錐的最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為9，最短的棱長(zhǎng)為3，則該三棱錐的最大體積為（

）A． B． C．18 D．36【答案】C【分析】由線面垂直得到線線垂直，推出該三棱錐的最長(zhǎng)的棱為，故，最短的棱為或，分三種情況，利用錐體體積公式和基本不等式求出體積的最大值，得到答案.【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，，故，因?yàn)?，所以，故，則該三棱錐的最長(zhǎng)的棱為，故，最短的棱為或，當(dāng)最短的棱為，即時(shí)，由勾股定理得，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故三棱錐體積為，當(dāng)最短的棱為，即時(shí)，設(shè)，則，則，故，三棱錐體積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)最短的棱為，即時(shí)，設(shè)，則，則，故，三棱錐體積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，綜上，該三棱錐的最大體積為18.故選：C95．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且#本號(hào)資料全部來(lái)源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感(1)求；(2)設(shè)為邊的中點(diǎn)，，求線段長(zhǎng)度的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）由題設(shè)條件重新組合后將證明替換成，再利用正、余弦定理即可求得；（2）利用三角形中線的向量表達(dá)式和向量數(shù)量積的定義式，可推得，根據(jù)余弦定理和基本不等式求得，代入即可計(jì)算得到.【詳解】（1）由，得(*).因?yàn)?，所以，由正弦定理，得，代入?）得，.由正弦定理，得，由余弦定理的推論，得.（2）由余弦定理，得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故得.又，兩邊平方可得，，所以，即線段長(zhǎng)度的最大值為.96．（2024·湖南常德·一模）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且.(1)判斷的形狀；(2)若的外接圓半徑為，求周長(zhǎng)的最大值.【答案】(1)等腰三角形(2)3【分析】（1）使用正弦定理對(duì)條件進(jìn)行邊化角，再用三角恒等變換證明；（2）先用基本不等式證