2022-2023學(xué)年重慶市主城區(qū)七校高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1重慶市主城區(qū)七校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1.已知向量，若，則實數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，所以，解得.故選：C.2.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D.3.某校高一年級20個班參加藝術(shù)節(jié)合唱比賽，通過簡單隨機抽樣，獲得了10個班的比賽得分如下：，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為（）A.91 B.92 C.93 D.94〖答案〗D〖解析〗將比分從小到大排序可得：，，即這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為.故選：D.4.據(jù)統(tǒng)計某班三個同學(xué)投籃，每一位投進的概率均為0.4，用數(shù)字表示投進，數(shù)字表示投不進，由計算機產(chǎn)生如下20組隨機數(shù)：977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，394，027，556，488，730，113，537，908.由此估計三位同學(xué)中恰有一位投進的概率為（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5〖答案〗B〖解析〗由題意知，20組隨機數(shù)中表示三位同學(xué)中恰有一位投進的數(shù)據(jù)為：925，683，257，394，537，908共6個，

由此估計三位同學(xué)中恰有一位投進的概率為.

故選：B．5.已知平面、，直線，直線不在平面內(nèi)，下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗B〖解析〗對于A選項，若，，過直線作平面，使得，，因為，，，則，因為，，，則，，，，，，則或、異面，A錯；對于B選項，若，，則，，故，B對；對于C選項，若，，，則，因為，則或，C錯；對于D選項，若，，則或、相交（不一定垂直），D錯.故選：B.6.已知向量，且在上的投影為，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以在上的投影為，可得，則.故選：B.7.已知直四棱柱的高為2，其底面四邊形水平放置時的斜二測直觀圖為矩形，如圖所示.若，則該直四棱柱的體積為（）A. B.4 C. D.〖答案〗C〖解析〗由直觀圖可得底面四邊形的平面圖形，如圖所示，因為，可得，所以，所以四邊形的面積為，又由直四棱柱的高為，即，所以該直四棱柱的體積為.故選：C.8.如圖，某人匍匐在垂直于水平地面的墻面前的點處進行射擊訓(xùn)練.已知點到墻面的距離為，某目標(biāo)點沿墻面上的射線勻速移動，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點，需計算由點觀察點的仰角的大小.若，，，則移動瞄準(zhǔn)過程中的最大值為（）（仰角為直線與平面所成角）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗過點在平面內(nèi)作直線的垂線，垂足為點，如圖，則由仰角的定義得，由題意，設(shè)，則，當(dāng)點與不重合時，在中，，當(dāng)點與重合時，上式也成立，中，，當(dāng)時，取最大值，綜上，的最大值為.故選：C.二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.）9.下列命題為真命題的是（）A.若為共扼復(fù)數(shù)，則為實數(shù)B.若i為虛數(shù)單位，為正整數(shù)，則C.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限D(zhuǎn).若復(fù)數(shù)滿足，則〖答案〗AC〖解析〗對于A，若為共扼復(fù)數(shù)，則，故，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第三象限，故C正確；對于D，不能得到，比如，但是，故D錯誤.故選：AC.10.在中，分別為角的對邊，下列敘述正確的是（）A.B.若，則為等腰三角形C.若為銳角三角形，則D.若，則為鈍角三角形〖答案〗ACD〖解析〗對于A中，做中邊上的高，則，同理在直角三角形和鈍角三角形中也可證，所以A正確；對于B中，由，可得，即，因為，可得或，即或，所以為等腰或直角三角形，所以B不正確；對于C中，由為銳角三角形，可得，則，因為，可得，又函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以C正確；對于D中，因為，由，可得中一定有一個小于0成立，不妨設(shè)，可得，所以為鈍角三角形，所以D正確.故選：ACD.11.先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，表示事件“兩次擲的點數(shù)之和是4”，表示事件“第二次擲出的點數(shù)是偶數(shù)”，表示事件“兩次擲出的點數(shù)相同”，表示事件“至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點”，則（）A.與互斥 B.C. D.與相互獨立〖答案〗BCD〖解析〗先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，兩次出現(xiàn)的點數(shù)組如下表所示：第二次第一次123456123456共有種，表示事件“兩次擲出的點數(shù)相同”，表示事件“兩次擲出的點數(shù)不同”，其中包括，即與不互斥，故A錯誤；“至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點”的對立事件是“兩次擲的點數(shù)都是偶數(shù)”，，故B正確；表示事件“第一次為奇數(shù)，第二次為偶數(shù)”共9種：，故C正確；事件“第二次擲出的點數(shù)是偶數(shù)”共18種；，事件“兩次擲出的點數(shù)相同”共6種：，表示事件“兩次為相同的偶數(shù)”共3種：，即，與相互獨立，故D正確.故選：BCD.12.如圖，在矩形中，，，為的中點，現(xiàn)分別沿、將、翻折，使點、重合，記為點，翻折后得到三棱錐，則（）A.平面B.三棱錐的體積為C.直線與直線所成角的余弦值為D.三棱錐外接球的半徑為〖答案〗ACD〖解析〗對于A選項，翻折前，有，，翻折后，在三棱錐中，則有，，因為，、平面，因此，平面，A對；對于B選項，翻折前，，，則，同理可得，又因為，故是邊長為的等邊三角形，在三棱錐中，，，，取線段的中點，連接，則，且，所以，，又因為平面，所以，，B錯；對于C選項，分別取線段、的中點、，連接、、、，因為、分別為、的中點，則且，同理可知，且，所以，異面直線與所成角為或其補角，因為平面，平面，則，因為，，則，由余弦定理可得，所以，異面直線與所成角的余弦值為，C對；對于D選項，如下圖所示：圓柱的底面圓直徑為，母線長為，則的中點到圓柱底面圓上每點的距離都相等，則為圓柱的外接球球心，且，本題中，，的外接圓的直徑為，因為平面，可將三棱錐置于圓柱內(nèi)，使得的外接圓為圓，如下圖所示：所以，三棱錐的外接球半徑為，D對.故選：ACD.三、填空題（本大題有4小題，每小題5分，共20分.）13.用分層抽樣的方法從某校高中學(xué)生中抽取一個容量為45的樣本，其中高二年級有學(xué)生600人，抽取了15人.則該校高中學(xué)生總數(shù)是________人.〖答案〗1800〖解析〗，故該校高中學(xué)生總數(shù)是1800人.故〖答案〗為：1800.14.在中，，點為外接圓的圓心，則________.〖答案〗14〖解析〗因為在中，，點為外接圓的圓心，所以點為邊的中點，由平面向量的線性運算得，，所以.故〖答案〗為：14.15.18世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家辛卜森運用定積分，推導(dǎo)出了現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中柱、錐、球、臺等幾何體的統(tǒng)一體積公式）（其中分別為的高、上底面面積、中截面面積、下底面面積），我們也稱為“萬能求積公式”.例如，已知球的半徑為，可得該球的體積為；已知正四棱錐的底面邊長為，高為，可得該正四棱錐的體積為.類似地，運用該公式求解下列問題：如圖，已知球的表面積為，若用距離球心都為的兩個平行平面去截球，則夾在這兩個平行平面之間的幾何體的體積為________.〖答案〗〖解析〗如圖所示，設(shè)上下截面小圓的圓心分別為，上底面截面小圓上一點，連接，因為球的表面積為，解得，所以，又因為且，所以截面小圓半徑，根據(jù)“萬能求積公式”可得，所求幾何體的體積為：.故〖答案〗為：.16.銳角的內(nèi)角所對邊分別是且，若變化時，存在最大值，則正數(shù)的取值范圍________.〖答案〗〖解析〗由正弦定理，，，得，代入，得，所以，即，因為，所以或（舍去），所以，因為是銳角三角形，所以，解得，因為，且，即，利用輔助角公式可得，，其中，因為，要使存在最大值，只需存在，使，，所以，因為，所以，解得，所以的取值范圍.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分，17題10分，18-22題各12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.目前用外賣網(wǎng)點餐的人越來越多，現(xiàn)在對大眾等餐所需時間情況進行隨機調(diào)查，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖.其中等餐所需時間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，.（1）求頻率分布直方圖中值.（2）利用頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù).（每組數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點值作代表）解：（1）由頻率分布直方圖可知，解得.（2）樣本的平均數(shù)約為.18.已知的角的對邊分別為，且.（1）求A；（2）若的面積為，且，求.（請在①；②這兩個條件中選擇一個完成解答.）解：（1）由，可得，由，可得.（2）選擇①：，可得，即，因為，所以，所以，即，此時，即為直角三角形，，，所以，，所以，解得，所以.選條件②：，由的面積為可得：，解得：，由余弦定理得：，解得：．19.如圖，在直三棱柱中，，為的中點.（1）證明：平面；（2）過三點的一個平面，截三棱柱得到一個截面，畫出截面圖，說明理由，并求截面周長.解：（1）證明：連接，設(shè)，連接，如圖所示，因為是的中點，是的中點，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）作圖過程：取的中點，連接，則四邊形即為截面圖形，證明如下：因為是的中點，是的中點，所以，又因為，所以，所以四點共面，所以四邊形即為截面圖形，此時四邊形為等腰梯形，直三棱柱中，，可得，所以四邊形的周長為.20.如圖，在中，分別為中點，為與的交點，點在上，且.設(shè).（1）求的值；（2）若，求的值.姐：（1）因為分別為的中點，則，，因為三點共線，故可設(shè)，又因為，由平面向量基本定理，可得，解得.（2）因為分別為的中點，所以，所以相似于，由（1）知，所以，所以，由，可得，所以，故，所以，因為，21.如圖，在四棱錐中，為正三角形，底面為直角梯形，，，，為中點，為線段上的點，且.（1）求證：平面平面；（2）已知.求直線和平面所成角的正弦值.解：（1）由題又為中點，，，又，四邊形為矩形，則又為正三角形，為中點，，又，平面則平面又，平面又平面平面平面.（2）由（1）知平面平面，平面平面，過點作，交于則平面又中，，過作，交于可求得則，即，，即點到平面的距離，又平面，平面，平面，則點到平面的距離即是點到平面的距離，又設(shè)直線和平面所成角為，則故直線和平面所成角的正弦值為22.如圖，在中，為邊上的中點，，.（1）求的余弦值；（2）點為上一點，且，過點的直線與邊（不含端點）分別交于.若，求的值.解：（1）因為為邊上的中點，所以，所以，即，即，解得.（2）設(shè)，，因為三點共線，所以，又因為=，所以，所以，①又因為且，所以，化簡得，②則①②可得，所以，，所以.重慶市主城區(qū)七校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1.已知向量，若，則實數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，所以，解得.故選：C.2.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D.3.某校高一年級20個班參加藝術(shù)節(jié)合唱比賽，通過簡單隨機抽樣，獲得了10個班的比賽得分如下：，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為（）A.91 B.92 C.93 D.94〖答案〗D〖解析〗將比分從小到大排序可得：，，即這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為.故選：D.4.據(jù)統(tǒng)計某班三個同學(xué)投籃，每一位投進的概率均為0.4，用數(shù)字表示投進，數(shù)字表示投不進，由計算機產(chǎn)生如下20組隨機數(shù)：977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，394，027，556，488，730，113，537，908.由此估計三位同學(xué)中恰有一位投進的概率為（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5〖答案〗B〖解析〗由題意知，20組隨機數(shù)中表示三位同學(xué)中恰有一位投進的數(shù)據(jù)為：925，683，257，394，537，908共6個，

由此估計三位同學(xué)中恰有一位投進的概率為.

故選：B．5.已知平面、，直線，直線不在平面內(nèi)，下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗B〖解析〗對于A選項，若，，過直線作平面，使得，，因為，，，則，因為，，，則，，，，，，則或、異面，A錯；對于B選項，若，，則，，故，B對；對于C選項，若，，，則，因為，則或，C錯；對于D選項，若，，則或、相交（不一定垂直），D錯.故選：B.6.已知向量，且在上的投影為，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以在上的投影為，可得，則.故選：B.7.已知直四棱柱的高為2，其底面四邊形水平放置時的斜二測直觀圖為矩形，如圖所示.若，則該直四棱柱的體積為（）A. B.4 C. D.〖答案〗C〖解析〗由直觀圖可得底面四邊形的平面圖形，如圖所示，因為，可得，所以，所以四邊形的面積為，又由直四棱柱的高為，即，所以該直四棱柱的體積為.故選：C.8.如圖，某人匍匐在垂直于水平地面的墻面前的點處進行射擊訓(xùn)練.已知點到墻面的距離為，某目標(biāo)點沿墻面上的射線勻速移動，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點，需計算由點觀察點的仰角的大小.若，，，則移動瞄準(zhǔn)過程中的最大值為（）（仰角為直線與平面所成角）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗過點在平面內(nèi)作直線的垂線，垂足為點，如圖，則由仰角的定義得，由題意，設(shè)，則，當(dāng)點與不重合時，在中，，當(dāng)點與重合時，上式也成立，中，，當(dāng)時，取最大值，綜上，的最大值為.故選：C.二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.）9.下列命題為真命題的是（）A.若為共扼復(fù)數(shù)，則為實數(shù)B.若i為虛數(shù)單位，為正整數(shù)，則C.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限D(zhuǎn).若復(fù)數(shù)滿足，則〖答案〗AC〖解析〗對于A，若為共扼復(fù)數(shù)，則，故，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第三象限，故C正確；對于D，不能得到，比如，但是，故D錯誤.故選：AC.10.在中，分別為角的對邊，下列敘述正確的是（）A.B.若，則為等腰三角形C.若為銳角三角形，則D.若，則為鈍角三角形〖答案〗ACD〖解析〗對于A中，做中邊上的高，則，同理在直角三角形和鈍角三角形中也可證，所以A正確；對于B中，由，可得，即，因為，可得或，即或，所以為等腰或直角三角形，所以B不正確；對于C中，由為銳角三角形，可得，則，因為，可得，又函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以C正確；對于D中，因為，由，可得中一定有一個小于0成立，不妨設(shè)，可得，所以為鈍角三角形，所以D正確.故選：ACD.11.先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，表示事件“兩次擲的點數(shù)之和是4”，表示事件“第二次擲出的點數(shù)是偶數(shù)”，表示事件“兩次擲出的點數(shù)相同”，表示事件“至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點”，則（）A.與互斥 B.C. D.與相互獨立〖答案〗BCD〖解析〗先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，兩次出現(xiàn)的點數(shù)組如下表所示：第二次第一次123456123456共有種，表示事件“兩次擲出的點數(shù)相同”，表示事件“兩次擲出的點數(shù)不同”，其中包括，即與不互斥，故A錯誤；“至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點”的對立事件是“兩次擲的點數(shù)都是偶數(shù)”，，故B正確；表示事件“第一次為奇數(shù)，第二次為偶數(shù)”共9種：，故C正確；事件“第二次擲出的點數(shù)是偶數(shù)”共18種；，事件“兩次擲出的點數(shù)相同”共6種：，表示事件“兩次為相同的偶數(shù)”共3種：，即，與相互獨立，故D正確.故選：BCD.12.如圖，在矩形中，，，為的中點，現(xiàn)分別沿、將、翻折，使點、重合，記為點，翻折后得到三棱錐，則（）A.平面B.三棱錐的體積為C.直線與直線所成角的余弦值為D.三棱錐外接球的半徑為〖答案〗ACD〖解析〗對于A選項，翻折前，有，，翻折后，在三棱錐中，則有，，因為，、平面，因此，平面，A對；對于B選項，翻折前，，，則，同理可得，又因為，故是邊長為的等邊三角形，在三棱錐中，，，，取線段的中點，連接，則，且，所以，，又因為平面，所以，，B錯；對于C選項，分別取線段、的中點、，連接、、、，因為、分別為、的中點，則且，同理可知，且，所以，異面直線與所成角為或其補角，因為平面，平面，則，因為，，則，由余弦定理可得，所以，異面直線與所成角的余弦值為，C對；對于D選項，如下圖所示：圓柱的底面圓直徑為，母線長為，則的中點到圓柱底面圓上每點的距離都相等，則為圓柱的外接球球心，且，本題中，，的外接圓的直徑為，因為平面，可將三棱錐置于圓柱內(nèi)，使得的外接圓為圓，如下圖所示：所以，三棱錐的外接球半徑為，D對.故選：ACD.三、填空題（本大題有4小題，每小題5分，共20分.）13.用分層抽樣的方法從某校高中學(xué)生中抽取一個容量為45的樣本，其中高二年級有學(xué)生600人，抽取了15人.則該校高中學(xué)生總數(shù)是________人.〖答案〗1800〖解析〗，故該校高中學(xué)生總數(shù)是1800人.故〖答案〗為：1800.14.在中，，點為外接圓的圓心，則________.〖答案〗14〖解析〗因為在中，，點為外接圓的圓心，所以點為邊的中點，由平面向量的線性運算得，，所以.故〖答案〗為：14.15.18世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家辛卜森運用定積分，推導(dǎo)出了現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中柱、錐、球、臺等幾何體的統(tǒng)一體積公式）（其中分別為的高、上底面面積、中截面面積、下底面面積），我們也稱為“萬能求積公式”.例如，已知球的半徑為，可得該球的體積為；已知正四棱錐的底面邊長為，高為，可得該正四棱錐的體積為.類似地，運用該公式求解下列問題：如圖，已知球的表面積為，若用距離球心都為的兩個平行平面去截球，則夾在這兩個平行平面之間的幾何體的體積為________.〖答案〗〖解析〗如圖所示，設(shè)上下截面小圓的圓心分別為，上底面截面小圓上一點，連接，因為球的表面積為，解得，所以，又因為且，所以截面小圓半徑，根據(jù)“萬能求積公式”可得，所求幾何體的體積為：.故〖答案〗為：.16.銳角的內(nèi)角所對邊分別是且，若變化時，存在最大值，則正數(shù)的取值范圍________.〖答案〗〖解析〗由正弦定理，，，得，代入，得，所以，即，因為，所以或（舍去），所以，因為是銳角三角形，所以，解得，因為，且，即，利用輔助角公式可得，，其中，因為，要使存在最大值，只需存在，使，，所以，因為，所以，解得，所以的取值范圍.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分，17題10分，18-22題各12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.目前用外賣網(wǎng)點餐的人越來越多，現(xiàn)在對大眾等餐所需時間情況進行隨機調(diào)查，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖.其中等餐所需時間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，.（1）求頻率分布直方圖中值.（2）利用頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù).（每組數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點值作代表）解：（1）由頻率分布直方圖可知，解得.（2）樣本的平均數(shù)約為.18.已知的角