2023-2024學年河南省南陽市六校聯考高二下學期期中考試數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2河南省南陽市六校聯考2023-2024學年高二下學期期中考試數學試題考生注意：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題后，用鉛筆把答題卡對應題目的標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他標號．回答非選擇題時，將寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.曲線在點處的切線的斜率為（）A.-2 B.-1 C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗因為，所以,即曲線在點處的切線的斜率為-1，故選：B2.已知數列的首項，當時，，若，則的值可以是（）A.2022 B.2023 C.2024 D.2025〖答案〗C〖解析〗由已知可得：，故數列的周期為3，因為，所以可以為2024．故選：C3.下列求導錯誤的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤．故選：D4.具有線性相關關系的變量的樣本數據如下：－2－4－6－817.4138.25其回歸直線方程為，則回歸直線經過（）A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限〖答案〗A〖解析〗由表中的數據知正相關．所以，又，，即點在回歸直線上，且在第二象限，所以回歸直線經過第一、二、三象限，故選：A5.在數列中，若，則（）A.1012 B.1013 C.2023 D.2024〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以，所以是常數列，所以，又，所以．故選：B6.已知數列滿足，其前項和為，若，則（）A.8 B.9 C.10 D.11〖答案〗C〖解析〗因為，所以，所以數列是以2為公比的等比數列，又因為，所以，所以，即，所以．由題意可得，解得．故選：C7.設點到直線的距離為，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗點到直線的距離為，或，令，則，當時，，此時單調遞減，當時，，此時單調遞增，從而，首先這意味著方程無解，現在我們來研究方程的根的情況，一方面注意到，且在上單調遞增，從而方程在上有唯一解，另一方面有，令，可知，且函數的圖象連續(xù)不斷，并注意到在上單調遞減，即在上單調遞減，從而由零點存在定理可知，在上，存在唯一的零點，也就是說方程在上有唯一解且，綜上所述或，其中，所以在大前提“點到直線的距離為”成立的情況下有，“”是“”的充分不必要條件.故選：A．8.已知，在數列的每相鄰兩項與之間插人個1，使它們和原數列的項構成一個新的數列，記新數列的前項和為，則（）A.150 B.151 C.170 D.171〖答案〗C〖解析〗由題意知之間插入1個之間插人2個之間插人4個之間插入8個1，之間插入16個之間插入32個之間插入64個1，由于，故數列的前100項含有的前7項和93個1，故．故選：C二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列結論中正確的是（）A.由樣本數據得到的回歸直線必過點B.樣本相關系數越大，兩個變量的線性相關程度越強，反之，線性相關程度越弱C.若變量與之間的相關系數，則與正相關D.若樣本數據的對應樣本點都在直線上，則這組樣本數據的相關系數為－1〖答案〗ACD〖解析〗對于A，回歸直線必過點，故A正確；對于B，越接近1，兩個變量的線性相關程度越強，越接近0，線性相關程度越弱，故B錯誤；對于C，若變量與之間的相關系數，則與正相關，故C正確；對于D，樣本數據的對應樣本點都在直線上，說明是負相關且為線性函數，所以這組樣本數據的相關系數為－1，故D正確．故選：10.已知是等差數列，是其前項和，則下列結論中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若和都為遞增數列，則〖答案〗BC〖解析〗對于A中，由，可得，所以，又由，所以A錯誤；對于B中，由，所以B正確；對于C中，由，所以，又因為，可得，所以，所以C正確；對于D中，因為為遞增數列，可得公差，因為為遞增數列，可得，所以對任意的，但的正負不確定，所以D錯誤．故選：BC.11.已知直線與曲線和都相切，切點分別為，則（）A. B.C.滿足條件的直線有2條 D.滿足條件的直線只有1條〖答案〗AC〖解析〗由題可知直線與曲線相切于點，又，所以直線的斜率，則在點處的切線方程為，即，直線與曲線相切于點，則在點處的切線方程為，即．因為直線與兩條曲線都相切，所以兩條切線相同，則且，則，即，可得，解得，故A正確，B錯誤；把代入，得，在同一坐標系中，作出函數的圖象，如圖所示：由圖象知：的值有兩個，故C正確，D錯誤．故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等比數列的前項和為，且，則_______．〖答案〗32〖解析〗設等比數列的公比為，則，解得，又因為，得，解得，所以．故〖答案〗為：32.13.已知變量和之間關系可以用模型來擬合．設，若根據樣本數據計算可得，且與的線性回歸方程為，則_______．（參考數據：）〖答案〗0.3〖解析〗由題意知，解得，所以，由，得，所以，則．故〖答案〗為：0.314.ChatGPT爆火以來，各種人工智能平臺如雨后春筍般層出不窮．某人工智能服務商提供了兩種會員服務套餐，購買會員服務的既有個人用戶也有公司用戶．后臺隨機調取名會員的基本信息，統(tǒng)計發(fā)現購買B套餐的用戶數占總用戶數的，購買B套餐的用戶中公司用戶數是個人用戶數的倍，購買套餐的用戶中公司用戶數是個人用戶數的一半．根據獨立性檢驗，有的把握認為購買的套餐類型與用戶類型有關系，則的最小值為_______．附：．0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828〖答案〗170〖解析〗由題意可得用戶類型與購買的套餐類型列聯表如下：總計個人用戶公司用戶總計，解得，又因為必須是10的倍數，所以的最小值為170．故〖答案〗為：170四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）若函數有三個零點1，2，4，求；（2）若曲線在點處的切線方程為，求實數和的值．解：（1）由題意知，所以．（2），題意知，即，解得16.某運動服飾公司對產品研發(fā)的年投資額（單位：十萬元）與年銷售量（單位：萬件）的數據進行統(tǒng)計，整理后得到如下統(tǒng)計表：123453540505570（1）求和的樣本相關系數（精確到0.01），并推斷和的線性相關程度；（若，則線性相關程度很強；若則線性相關程度一般；若則線性相關程度很弱）（2）求年銷售量關于年投資額的回歸直線方程，并據此預測年投資額為60萬元時的年銷售量．參考數據：．參考公式：相關系數；回歸直線方程中，．解：（1）由題可知，，所以，因為，所以變量和的線性相關程度很強．（2），．所以關于的回歸直線方程為．當時，，所以研發(fā)的年投資額為60萬元時，預測產品的年銷售星為75.5萬件．17.已知數列的前項和為，且為等差數列．（1）證明：為等差數列；（2）若，數列滿足，且，求數列的前項和．解：（1）因為為等差數列，設其公差為，所以，又因為，所以．當時，，又因為適合上式，所以．所以，所以為等差數列．（2）因為，由（1）知，得，所以．所以，當時，，因為滿足上式，所以．所以．18.“村BA”是由貴州省臺盤村“六月六”吃新節(jié)籃球賽發(fā)展而來的賽事，比賽由村民組織，參賽者以村民為主，極具鄉(xiāng)村氣息．某學校為了研究不同性別的學生對該賽事的了解情況，進行了一次抽樣調查，分別隨機抽取男生和女生各80名作為樣本，設事件“了解村BA”，“學生為女生”，據統(tǒng)計．（1）根據已知條件，作出列聯表，并判斷是否有的把握認為該校學生對“村”的了解情況與性別有關；（2）現從該校不了解“村BA”的學生中，采用分層隨機抽樣的方法抽取10名學生，再從這10名學生中隨機抽取4人，設抽取的4人中男生的人數為，求的分布列和數學期望．附：．0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828解：（1）因為，所以對“村BA”了解的女生人數為，了解“村BA”的學生人數為，結合男生和女生各80名，作出列聯表為：了解不了解總計男生305080女生57580總計35125160，因此，有的把握認為該校學生對“村BA”的了解情況與性別有關．（2）由（1）知，采用分層隨機抽樣的方法抽取10名學生，其中男生人數為，女生人數為．隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3，4．故隨機變量的分布列如下：01234則．19.記數列的前項和為，已知，且．（1）令，求數列的通項公式；（2）若對于任意恒成立，求實數的取值范圍．解：（1）令，則①，令，則②，②－①，得，又因為，所以可得，代入①式，得，所以．（2），其中，，所以．由，可得恒成立．設，則，當，即時，，當，即時，，所以，故，所以，即實數的取值范圍為．河南省南陽市六校聯考2023-2024學年高二下學期期中考試數學試題考生注意：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題后，用鉛筆把答題卡對應題目的標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他標號．回答非選擇題時，將寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.曲線在點處的切線的斜率為（）A.-2 B.-1 C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗因為，所以,即曲線在點處的切線的斜率為-1，故選：B2.已知數列的首項，當時，，若，則的值可以是（）A.2022 B.2023 C.2024 D.2025〖答案〗C〖解析〗由已知可得：，故數列的周期為3，因為，所以可以為2024．故選：C3.下列求導錯誤的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤．故選：D4.具有線性相關關系的變量的樣本數據如下：－2－4－6－817.4138.25其回歸直線方程為，則回歸直線經過（）A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限〖答案〗A〖解析〗由表中的數據知正相關．所以，又，，即點在回歸直線上，且在第二象限，所以回歸直線經過第一、二、三象限，故選：A5.在數列中，若，則（）A.1012 B.1013 C.2023 D.2024〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以，所以是常數列，所以，又，所以．故選：B6.已知數列滿足，其前項和為，若，則（）A.8 B.9 C.10 D.11〖答案〗C〖解析〗因為，所以，所以數列是以2為公比的等比數列，又因為，所以，所以，即，所以．由題意可得，解得．故選：C7.設點到直線的距離為，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗點到直線的距離為，或，令，則，當時，，此時單調遞減，當時，，此時單調遞增，從而，首先這意味著方程無解，現在我們來研究方程的根的情況，一方面注意到，且在上單調遞增，從而方程在上有唯一解，另一方面有，令，可知，且函數的圖象連續(xù)不斷，并注意到在上單調遞減，即在上單調遞減，從而由零點存在定理可知，在上，存在唯一的零點，也就是說方程在上有唯一解且，綜上所述或，其中，所以在大前提“點到直線的距離為”成立的情況下有，“”是“”的充分不必要條件.故選：A．8.已知，在數列的每相鄰兩項與之間插人個1，使它們和原數列的項構成一個新的數列，記新數列的前項和為，則（）A.150 B.151 C.170 D.171〖答案〗C〖解析〗由題意知之間插入1個之間插人2個之間插人4個之間插入8個1，之間插入16個之間插入32個之間插入64個1，由于，故數列的前100項含有的前7項和93個1，故．故選：C二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列結論中正確的是（）A.由樣本數據得到的回歸直線必過點B.樣本相關系數越大，兩個變量的線性相關程度越強，反之，線性相關程度越弱C.若變量與之間的相關系數，則與正相關D.若樣本數據的對應樣本點都在直線上，則這組樣本數據的相關系數為－1〖答案〗ACD〖解析〗對于A，回歸直線必過點，故A正確；對于B，越接近1，兩個變量的線性相關程度越強，越接近0，線性相關程度越弱，故B錯誤；對于C，若變量與之間的相關系數，則與正相關，故C正確；對于D，樣本數據的對應樣本點都在直線上，說明是負相關且為線性函數，所以這組樣本數據的相關系數為－1，故D正確．故選：10.已知是等差數列，是其前項和，則下列結論中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若和都為遞增數列，則〖答案〗BC〖解析〗對于A中，由，可得，所以，又由，所以A錯誤；對于B中，由，所以B正確；對于C中，由，所以，又因為，可得，所以，所以C正確；對于D中，因為為遞增數列，可得公差，因為為遞增數列，可得，所以對任意的，但的正負不確定，所以D錯誤．故選：BC.11.已知直線與曲線和都相切，切點分別為，則（）A. B.C.滿足條件的直線有2條 D.滿足條件的直線只有1條〖答案〗AC〖解析〗由題可知直線與曲線相切于點，又，所以直線的斜率，則在點處的切線方程為，即，直線與曲線相切于點，則在點處的切線方程為，即．因為直線與兩條曲線都相切，所以兩條切線相同，則且，則，即，可得，解得，故A正確，B錯誤；把代入，得，在同一坐標系中，作出函數的圖象，如圖所示：由圖象知：的值有兩個，故C正確，D錯誤．故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等比數列的前項和為，且，則_______．〖答案〗32〖解析〗設等比數列的公比為，則，解得，又因為，得，解得，所以．故〖答案〗為：32.13.已知變量和之間關系可以用模型來擬合．設，若根據樣本數據計算可得，且與的線性回歸方程為，則_______．（參考數據：）〖答案〗0.3〖解析〗由題意知，解得，所以，由，得，所以，則．故〖答案〗為：0.314.ChatGPT爆火以來，各種人工智能平臺如雨后春筍般層出不窮．某人工智能服務商提供了兩種會員服務套餐，購買會員服務的既有個人用戶也有公司用戶．后臺隨機調取名會員的基本信息，統(tǒng)計發(fā)現購買B套餐的用戶數占總用戶數的，購買B套餐的用戶中公司用戶數是個人用戶數的倍，購買套餐的用戶中公司用戶數是個人用戶數的一半．根據獨立性檢驗，有的把握認為購買的套餐類型與用戶類型有關系，則的最小值為_______．附：．0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828〖答案〗170〖解析〗由題意可得用戶類型與購買的套餐類型列聯表如下：總計個人用戶公司用戶總計，解得，又因為必須是10的倍數，所以的最小值為170．故〖答案〗為：170四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）若函數有三個零點1，2，4，求；（2）若曲線在點處的切線方程為，求實數和的值．解：（1）由題意知，所以．（2），題意知，即，解得16.某運動服飾公司對產品研發(fā)的年投資額（單位：十萬元）與年銷售量（單位：萬件）的數據進行統(tǒng)計，整理后得到如下統(tǒng)計表：123453540505570（1）求和的樣本相關系數（精確到0.01），并推斷和的線性相關程度；（若，則線性相關程度很強；若則線性相關程度一般；若則線性相關程度很弱）（2）求年銷售量關于年投資額的回歸直線方程，并據此預測年投資額為60萬元時的年銷售量．參考數據：．參考公式：相關系數；回歸直線方程中，．解：（1）由題可知，，所以，因為，所以變量和的線性相關程度很強．（2），．所以關于的回歸直線方程為．當時，，所以研發(fā)的年投資額為60萬元時，預測產品的年銷售星為75.5萬件．17.已知數列的前項和為，且為等差數列．（1）證明：為