2023-2024學(xué)年浙江省嘉興市八校聯(lián)盟高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2浙江省嘉興市八校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題Ⅰ（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.函數(shù)的圖象如圖所示，它的導(dǎo)函數(shù)為，下列導(dǎo)數(shù)值排序正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由圖象可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即，，，又因為曲線在點處切線的斜率隨著的增大而減小，即在點處切線的斜率隨著的增大而減小，故.故選：A.2.從6名同學(xué)中選出正、副組長各1名，不同的選法種數(shù)是（）A.30種 B.11種 C.15種 D.35種〖答案〗A〖解析〗由題意可得不同的選法種數(shù)是種.故選：A.3.的展開式的第項的系數(shù)是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗二項式展開式的通項為（且），所以展開式的第項的系數(shù)是.故選：A4.設(shè)隨機變量，則（）A.2 B.3 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗由題意得，故.故選：C.5.一個盒內(nèi)有五個月餅，其中兩個為果漿餡，三個為五仁餡，現(xiàn)從盒內(nèi)隨機取出兩個月餅，若事件“取到的兩個月餅為同一種餡”，“取到的兩個月餅都是五仁餡”，則概率（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，所以.故選：D6.甲?乙?丙等七人相約到電影院看電影《長津湖》，恰好買到了七張連號的電影票，若甲?乙兩人必須相鄰，且丙坐在七人的正中間，則不同的坐法的種數(shù)為（）A.240 B.192 C.96 D.48〖答案〗B〖解析〗丙在正中間（4號位）；甲?乙兩人只能坐12，23或56，67號位，有4種情況，考慮到甲?乙的順序有種情況；剩下的4個位置其余4人坐有種情況；故不同的坐法的種數(shù)為.故選：B.7.函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由圖可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時，時，時，時，所以不等式的解集為.故選：C8.已知函數(shù)，若，其中，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，所以，所以當(dāng)時，當(dāng)或時，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，且時，或，又，，整理得：，所以的對稱中心為，如圖所示：令，則由圖可知：且，，，所以A錯誤；對于B：，又因為，所以，且，所以，所以，因為在上單調(diào)遞減，故，所以，故B錯誤；對于C，因為，，，所以，由，知，，由B知，，所以，故，又，所以，所以C正確；對于D，因為的對稱中心為，當(dāng)時，所以，或者根據(jù)三次方程的韋達定理知，，所以D錯誤.故選：C二、選擇題Ⅱ（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分，有選錯的得0分．）9.設(shè)隨機變量的分布列如表所示，則下列選項中正確的為（）0?123A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗依題意，解得，即，故D正確；，故A錯誤；，故B正確；，故C正確.故選：BCD10.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗令，則①，故B正確；令，則②，由①②得，故A正確；展開式的通項為，令，則，所以，故C錯誤；令，則，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知直線與曲線相交于不同兩點，曲線在點處的切線與在點處的切線相交于點，則（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對A，令，則，故時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減，所以的極大值，且，，因直線與曲線相交于?兩點，所以與圖象有個交點，所以，故A正確；對B，設(shè)，且，可得，在點處的切線程為，得，即，因為，所以，即，故B錯誤；對C，因為，所以，因為為兩切線的交點，所以，即，所以，所以，故C正確；對D，因為，，所以，又因為，所以，所以，同理得，得，即，因為，所以，所以，即，故D正確.其中不等式①的證明如下：不等式①（其中），構(gòu)造函數(shù)，則．因為，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，從而不等式①成立.故選：ACD.非選擇題部分三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是___________.〖答案〗〖解析〗故〖答案〗為：13.某區(qū)學(xué)生參加模擬大聯(lián)考，假如聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其總體密度函數(shù)為：，且，若參加此次聯(lián)考的學(xué)生共有人，則數(shù)學(xué)成績超過分的人數(shù)大約為______．〖答案〗〖解析〗因為總體密度函數(shù)為：，所以，即，由，所以所以數(shù)學(xué)成績超過分的人數(shù)大約為人，故〖答案〗：.14.用這九個正整數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字且任意相鄰的三個數(shù)字之和是的倍數(shù)的九位數(shù)，這樣的九位數(shù)有______個（用數(shù)學(xué)作答）〖答案〗1296〖解析〗若任意相鄰的三個數(shù)字之和是的倍數(shù)，因此第三個數(shù)與第個數(shù)的余數(shù)也必然相同，故第一，四，七個數(shù)和第二，五，八個數(shù)第三，六，九個數(shù)必為，因此有個.故〖答案〗為：1296四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求的極值.解：（1）的定義域為，，所以，又因為，所以切點為，所以曲線在處的切線方程為（2），當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得極小值，且極小值為，無極大值.16.已知的展開式中，所有項的系數(shù)之和是512．（1）求展開式中含項的系數(shù)；（2）求的展開式中的常數(shù)項.解：（1）因為的展開式中，所有項的系數(shù)之和是512．所以令，得，所以，所以的展開式通項公式為，令，解得，所以展開式中含項為，所以展開式中含項的系數(shù)為27.（2）由（1）知，，從而，因為的展開式的通項為，所以的常數(shù)項為，又的常數(shù)項為，所以的展開式中的常數(shù)項為.17.為落實“堅持五育并舉，全面發(fā)展素質(zhì)教育，強化體育鍛煉”精神，某高中學(xué)校鼓勵學(xué)生自發(fā)組織各項體育比賽活動．甲、乙兩名同學(xué)利用課余時間進行乒乓球比賽．規(guī)定：每局比賽中獲勝方記1分，失敗方記0分，沒有平局．首先獲得5分者獲勝，比賽結(jié)束．假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率都是．（1）求比賽結(jié)束時恰好打了6局的概率；（2）若甲以的比分領(lǐng)先，記X表示到結(jié)束比賽時還需要比賽的局數(shù)，求X的分布列．解：（1）比賽結(jié)束時，恰好打了6局，甲獲勝的概率為，恰好打了6局，乙獲勝的概率為，所以比賽結(jié)束時恰好打了6局的概率為；（2）X的可能取值為2，3，4，5，，，，，所以X的分布列如下：234518.甲箱的產(chǎn)品中有5個正品和3個次品，乙箱的產(chǎn)品有4個正品和3個次品．（1）從甲箱中任取2個產(chǎn)品，求這2個產(chǎn)品都是次品的概率；（2）如果依次不放回地從乙箱中抽取2個產(chǎn)品，每次取1個，已知第二個是次品的條件下，求第一個是正品的概率；（3）若先從甲箱中任取2個產(chǎn)品放入乙箱中，再從乙箱中任取一個產(chǎn)品，求取出這個產(chǎn)品是正品的概率．解：（1）記“這個產(chǎn)品都是次品”為事件，則.（2）令事件“第次從乙箱中取到次品”，則“第次從乙箱中取到正品”，，則，，，，因此，所以.（3）令事件=“從乙箱取一個正品”，事件=“從甲箱中取出兩個正品”，事件=“從甲箱中取出一個正品一個次品”，事件=“從甲箱中取出兩個次品”，互斥，且，，，則，所以從乙箱中取出的這個產(chǎn)品是正品的概率是.19.已知函數(shù)（1）是的極值點，有兩個零點，求的取值范圍；（2）令，討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)時，設(shè)和為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：．解：（1），因為是的極值點，所以，解得，經(jīng)檢驗符合題意，則，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又當(dāng)時，且，當(dāng)時，，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，函數(shù)有兩個零點，即函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，由圖可知，所以；（2），，函數(shù)為減函數(shù)，令，則，當(dāng)時，令，得，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為，當(dāng)時，令，得，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為，綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為；（3）當(dāng)時，，由，不妨設(shè)，又，結(jié)合（1），則，要證，即證，若，則必成立，若，即證，又因為，只需證，令，則，在單調(diào)遞增，，即，再證，由，得，即證，令，則，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，故，即，綜上.浙江省嘉興市八校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題Ⅰ（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.函數(shù)的圖象如圖所示，它的導(dǎo)函數(shù)為，下列導(dǎo)數(shù)值排序正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由圖象可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即，，，又因為曲線在點處切線的斜率隨著的增大而減小，即在點處切線的斜率隨著的增大而減小，故.故選：A.2.從6名同學(xué)中選出正、副組長各1名，不同的選法種數(shù)是（）A.30種 B.11種 C.15種 D.35種〖答案〗A〖解析〗由題意可得不同的選法種數(shù)是種.故選：A.3.的展開式的第項的系數(shù)是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗二項式展開式的通項為（且），所以展開式的第項的系數(shù)是.故選：A4.設(shè)隨機變量，則（）A.2 B.3 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗由題意得，故.故選：C.5.一個盒內(nèi)有五個月餅，其中兩個為果漿餡，三個為五仁餡，現(xiàn)從盒內(nèi)隨機取出兩個月餅，若事件“取到的兩個月餅為同一種餡”，“取到的兩個月餅都是五仁餡”，則概率（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，所以.故選：D6.甲?乙?丙等七人相約到電影院看電影《長津湖》，恰好買到了七張連號的電影票，若甲?乙兩人必須相鄰，且丙坐在七人的正中間，則不同的坐法的種數(shù)為（）A.240 B.192 C.96 D.48〖答案〗B〖解析〗丙在正中間（4號位）；甲?乙兩人只能坐12，23或56，67號位，有4種情況，考慮到甲?乙的順序有種情況；剩下的4個位置其余4人坐有種情況；故不同的坐法的種數(shù)為.故選：B.7.函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由圖可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時，時，時，時，所以不等式的解集為.故選：C8.已知函數(shù)，若，其中，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，所以，所以當(dāng)時，當(dāng)或時，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，且時，或，又，，整理得：，所以的對稱中心為，如圖所示：令，則由圖可知：且，，，所以A錯誤；對于B：，又因為，所以，且，所以，所以，因為在上單調(diào)遞減，故，所以，故B錯誤；對于C，因為，，，所以，由，知，，由B知，，所以，故，又，所以，所以C正確；對于D，因為的對稱中心為，當(dāng)時，所以，或者根據(jù)三次方程的韋達定理知，，所以D錯誤.故選：C二、選擇題Ⅱ（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分，有選錯的得0分．）9.設(shè)隨機變量的分布列如表所示，則下列選項中正確的為（）0?123A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗依題意，解得，即，故D正確；，故A錯誤；，故B正確；，故C正確.故選：BCD10.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗令，則①，故B正確；令，則②，由①②得，故A正確；展開式的通項為，令，則，所以，故C錯誤；令，則，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知直線與曲線相交于不同兩點，曲線在點處的切線與在點處的切線相交于點，則（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對A，令，則，故時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減，所以的極大值，且，，因直線與曲線相交于?兩點，所以與圖象有個交點，所以，故A正確；對B，設(shè)，且，可得，在點處的切線程為，得，即，因為，所以，即，故B錯誤；對C，因為，所以，因為為兩切線的交點，所以，即，所以，所以，故C正確；對D，因為，，所以，又因為，所以，所以，同理得，得，即，因為，所以，所以，即，故D正確.其中不等式①的證明如下：不等式①（其中），構(gòu)造函數(shù)，則．因為，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，從而不等式①成立.故選：ACD.非選擇題部分三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是___________.〖答案〗〖解析〗故〖答案〗為：13.某區(qū)學(xué)生參加模擬大聯(lián)考，假如聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其總體密度函數(shù)為：，且，若參加此次聯(lián)考的學(xué)生共有人，則數(shù)學(xué)成績超過分的人數(shù)大約為______．〖答案〗〖解析〗因為總體密度函數(shù)為：，所以，即，由，所以所以數(shù)學(xué)成績超過分的人數(shù)大約為人，故〖答案〗：.14.用這九個正整數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字且任意相鄰的三個數(shù)字之和是的倍數(shù)的九位數(shù)，這樣的九位數(shù)有______個（用數(shù)學(xué)作答）〖答案〗1296〖解析〗若任意相鄰的三個數(shù)字之和是的倍數(shù)，因此第三個數(shù)與第個數(shù)的余數(shù)也必然相同，故第一，四，七個數(shù)和第二，五，八個數(shù)第三，六，九個數(shù)必為，因此有個.故〖答案〗為：1296四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求的極值.解：（1）的定義域為，，所以，又因為，所以切點為，所以曲線在處的切線方程為（2），當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得極小值，且極小值為，無極大值.16.已知的展開式中，所有項的系數(shù)之和是512．（1）求展開式中含項的系數(shù)；（2）求的展開式中的常數(shù)項.解：（1）因為的展開式中，所有項的系數(shù)之和是512．所以令，得，所以，所以的展開式通項公式為，令，解得，所以展開式中含項為，所以展開式中含項的系數(shù)為27.（2）由（1）知，，從而，因為的展開式的通項為，所以的常數(shù)項為，又的常數(shù)項為，所以的展開式中的常數(shù)項為.17.為落實“堅持五育并舉，全面發(fā)展素質(zhì)教育，強化體育鍛煉”精神，某高中學(xué)校鼓勵學(xué)生自發(fā)組織各項體育比賽活動．甲、乙兩名同學(xué)利用課余時間進行乒乓球比賽．規(guī)定：每局比賽中獲勝方記1分，失敗方記0分，沒有平局．首先獲得5分者獲勝，比賽結(jié)束．假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率都是．（1）求比賽結(jié)束時恰好打了6局的概率；（2）若甲以的比分領(lǐng)先，記X表示到結(jié)束比賽時還需要比賽的局數(shù)，求X的分布列．解：（1）比賽結(jié)束時，恰好打了6局，甲獲勝的概率為，恰好打了6局，乙獲勝的概率為，所以比賽結(jié)束時恰好打了6局的概率為；（2）X的可能取值為2，3，4，5，，，，，所以X的分布列如下：234518.甲箱的產(chǎn)品中有5個正品和3個次品，乙箱的產(chǎn)品有4個