高中數(shù)學(xué) 2.1.5 向量共線的條件與軸上向量坐標(biāo)運算基礎(chǔ)鞏固 新人教B版必修4

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)2.1.5向量共線的條件與軸上向量坐標(biāo)運算基礎(chǔ)鞏固新人教B版必修4一、選擇題1．已知數(shù)軸上A點坐標(biāo)為－5，AB＝－7，則B點坐標(biāo)是()A．－2 B．2C．12 D．－12[答案]D[解析]∵xA＝－5，AB＝－7，∴xB－xA＝－7，∴xB＝－12.2．已知e1、e2不共線，若a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2，且a∥b，則k的值為()A．8 B．－8C．3 D．－3[答案]B[解析]∵a∥b，∴存在實數(shù)m，使得a＝mb，即3e1－4e2＝6me1＋mke2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝6m,－4＝mk))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2),k＝－8)).3．在四邊形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，則四邊形ABCD是()A．平行四邊形 B．梯形C．菱形 D．矩形[答案]B[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，∴AB∥CD，且AB>CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形．4．已知O、A、B是平面上的三個點，直線AB上有一點C，滿足2eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝()A．2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)) B．－eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))C．eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→)) D．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))[答案]A[解析]∵2eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，∴2(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝0，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)).5．設(shè)a是任一向量，e是單位向量，且a∥e，則下列表示形式中正確的是()A．a(chǎn)＝±a|e| B．a(chǎn)＝|a|eC．a(chǎn)＝－|a|e D．a(chǎn)＝±|a|e[答案]D[解析]e與a同向時，a＝|a|e，e與a反向時，a＝－|a|e，∴a＝±|a|e.6．已知向量a、b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，則一定共線的三點是()A．A、B、C B．A、B、DC．B、C、D D．A、C、D[答案]B[解析]∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋4b＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))共線，又∵eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))有公共點B，∴A、B、D三點共線．二、填空題7．軸上三點A、B、C的坐標(biāo)分別為1、－1、－5，則AC＋BC＝________，|AC|＋|BC|＝________.[答案]－1010[解析]AC＋BC＝－6＋(－4)＝－10，|AC|＋|BC|＝6＋4＝10.8．設(shè)數(shù)軸上A、B的坐標(biāo)分別是2、6，則AB的中點C的坐標(biāo)是________．[答案]4[解析]∵xA＝2，xB＝6.∴AB中點C的坐標(biāo)為xC＝eq\f(xA＋xB,2)＝eq\f(2＋6,2)＝4.三、解答題9．設(shè)兩個非零向量a與b不共線，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A、B、D三點共線．[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BD,\s\up6(→))共線，又它們有公共點B，∴A、B、D三點共線．一、選擇題1．設(shè)a、b是不共線的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋kb，AC＝ma＋b(k、m∈R)，則當(dāng)A、B、C三點共線時，有()A．k＝m B．km－1＝0C．km＋1＝0 D．k＋m＝0[答案]B[解析]∵A、B、C三點共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝neq\o(AC,\s\up6(→))，∴a＋kb＝mna＋nb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mn＝1,k＝n))，∴mk－1＝0.2．若O為平行四邊形ABCD對角線的交點，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e2，則eq\f(3,2)e2－e1等于()A．eq\o(BO,\s\up6(→)) B．eq\o(AO,\s\up6(→))C．eq\o(CO,\s\up6(→)) D．eq\o(DO,\s\up6(→))[答案]A[解析]如圖，3e2－2e1＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(BO,\s\up6(→))，∴eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)e1－e1，故選A.3．已知向量a、b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()A．k＝1且c與d同向 B．k＝1且c與d反向C．k＝－1且c與d同向 D．k＝－1且c與d反向[答案]D[解析]∵a、b不共線且c∥d，∴eq\f(k,1)＝eq\f(1,－1)，∴k＝－1，此時c＝－d，即c與d反向．4．設(shè)四邊形ABCD中，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，且|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，則這個四邊形是()A．矩形 B．正方形C．等腰梯形 D．菱形[答案]C[解析]∵四邊形ABCD中，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴DC∥AB，且DC≠AB.又∵|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，∴四邊形ABCD是等腰梯形．二、填空題5．已知e1、e2是兩個不共線的向量，a＝k2e1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)k))e2與b＝2e1＋3e2是兩個平行的向量，則k＝________.[答案]eq\f(1,3)或－2[解析]∵a∥b，∴存在實數(shù)m，使得a＝mb，∴k2e1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)k))e2＝m(2e1＋3e2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＝2m,1－\f(5,2)k＝3m))，即3k2＋5k－2＝0，∴k＝eq\f(1,3)或－2.6．已知D、E分別是△ABC的邊BC、CA上的點，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(DE,\s\up6(→))＝________.[答案]－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b[解析]如圖，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)(b－a)－a＋eq\f(2,3)b＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.三、解答題7．如圖，平行四邊形ABCD中，點M是AB的中點，點N在BD上，且BN＝eq\f(1,3)BD，求證：M、N、C三點共線．[解析]設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(AD,\s\up6(→))＝e2，則：eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－e1＋e2，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)e1＋eq\f(1,3)e2，eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)e1，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＝e2，eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)e1＋e2，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)e1－eq\f(1,3)e1＋eq\f(1,3)e2＝eq\f(1,6)e1＋eq\f(1,3)e2＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)e1＋e2)).故eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(MC,\s\up6(→))，故M、N、C三點共線．8．在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是它的中位線，求證：EF∥AD∥BC且EF＝eq\f(1,2)(AD＋BC)．[解析]在梯形ABCD中，由AD∥BC可知eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))且eq\o(AD,\s\up6(→))≠0∴可設(shè)eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))(λ∈R)．又EF是梯形ABCD的中位線，∴E、F分別是AB、CD的中點，∴eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＝0，eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.∵eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))，∴2eq\o(EF,\s\up6(→))＝(eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋(eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋λeq\o(AD,\s\up6(→))，即eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(1＋λ)eq\o(AD,\s\up6(→)).∴eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(AD,\s\up6(→))，又EF與AD沒有公共點，∴EF∥AD，∴EF∥AD∥BC.又由2eq\o(EF,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))及eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))同向，可得|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)(|eq\o(AD,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\