高中數(shù)學(xué) 2.3.2離散型隨機(jī)變量的方差同步測(cè)試 新人教A版選修2-3

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)2.3.2離散型隨機(jī)變量的方差同步測(cè)試新人教A版選修2-3一、選擇題1．已知隨機(jī)變量X的分布列為：P(X＝k)＝eq\f(1,3)，k＝1、2、3，則D(3X＋5)＝()A．6 B．9C．3 D．4[答案]A[解析]E(X)＝(1＋2＋3)×eq\f(1,3)＝2，D(X)＝[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，∴D(3X＋5)＝9D(X)＝6.2．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，則P(X＝1)的值為()A．3·2－2 B．2－4C．3·2－10 D．2－8[答案]C[解析]E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝eq\f(1,2)，n＝12，則P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,12)·eq\f(1,2)·(eq\f(1,2))11＝3·2－10.3．設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0,1)，則E(X)、D(X)的值分別是()A．0和1 B．p和p2C．p和1－p D．p和(1－p)p[答案]D[解析]由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，易知X服從兩點(diǎn)分布，∴D(X)＝p(1－p)．4．(·浙江余姚中學(xué)高二期中)已知隨機(jī)變量ξ和η，其中η＝10ξ＋2，且E(η)＝20，若ξ的分布列如下表，則m的值為()ξ1234Peq\f(1,4)mneq\f(1,12)A.eq\f(47,60) B．eq\f(37,60)C．eq\f(27,60) D．eq\f(1,8)[答案]A[解析]∵E(η)＝E(10ξ＋2)＝10E(ξ)＋2＝20，∴E(ξ)＝1.8即：1×eq\f(1,4)＋2m＋3n＋4×eq\f(1,12)＝1.8，∴2m＋3n＝eq\f(73,60) ①又m＋n＝1－eq\f(1,4)－eq\f(1,12)＝eq\f(2,3) ②，由①②得，m＝eq\f(47,60).5．隨機(jī)變量X～B(100,0.2)，那么D(4X＋3)的值為()A．64 B．256C．259 D．320[答案]B[解析]由X～B(100,0.2)知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且n＝100，p＝0.2，由公式得D(X)＝np(1－p)＝100×0.2×0.8＝16，因此D(4X＋3)＝42D(X)＝16×16＝256，故選B.6．已知X的分布列如下表：X－1012Pabceq\f(5,18)且a、b、c成等比數(shù)列，E(X)＝eq\f(1,9)，則a＝()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)[答案]C[解析]由分布列的性質(zhì)得a＋b＋c＝eq\f(13,18) ①∵E(X)＝eq\f(1,9)，∴－a＋c＋eq\f(5,9)＝eq\f(1,9)，∴a－c＝eq\f(4,9)， ②又a、b、c成等比數(shù)列，∴b2＝ac， ③將②代入①、③得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs\al\co1(2a＋b＝\f(7,6)，④,b2＝aa－\f(4,9).⑤))由④得b＝eq\f(7,6)－2a，代入⑤得，a＝eq\f(1,2)或a＝eq\f(49,54)，當(dāng)a＝eq\f(49,54)時(shí)，a＋eq\f(5,18)＝eq\f(64,54)>0，不合題意舍去，∴a＝eq\f(1,2).二、填空題7．某射手擊中目標(biāo)的概率為p，則他射擊n次，擊中目標(biāo)次數(shù)X的方差為________．[答案]np(1－p)[解析]∵X～B(n，p)，∴D(X)＝np(1－p)．8．(·浙江理，12)隨機(jī)變量ξ的取值為0、1、2，若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，則D(ξ)＝________.[答案]eq\f(2,5)[解析]設(shè)ξ＝1的概率為P.則E(ξ)＝0×eq\f(1,5)＋1×P＋2(1－P－eq\f(1,5))＝1，∴P＝eq\f(3,5).故D(ξ)＝(0－1)2×eq\f(1,5)＋(1－1)2×eq\f(3,5)＋(2－1)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).9．(·汶上高二檢測(cè))已知隨機(jī)變量X的分布列為X01xPeq\f(1,5)meq\f(3,10)且E(X)＝1.1，則D(X)＝________.[答案]0.49[解析]由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＋m＋\f(3,10)＝1，,0×\f(1,5)＋1·m＋x·\f(3,10)＝1.1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2),x＝2.))所以D(X)＝(0－1.1)2×eq\f(1,5)＋(1－1.1)2×eq\f(1,2)＋(2－1.1)2×eq\f(3,10)＝0.49.三、解答題10．(·北京理，16)下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染．某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天．(1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；(2)設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？(結(jié)論不要求證明)[解析]設(shè)Ai表示事件“此人于3月i日到達(dá)該市”(i＝1,2，…，13)，根據(jù)題意，P(Ai)＝eq\f(1,13)，且Ai∩Aj＝?(i≠j)．(1)設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染”，則B＝A5∪A8，所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝eq\f(2,13).(2)由題意可知，X的所有可能取值為0、1、2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝eq\f(4,13)，P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝eq\f(4,13)，P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝eq\f(5,13).所以X的分布列為：X012Peq\f(5,13)eq\f(4,13)eq\f(4,13)故X的期望E(X)＝0×eq\f(5,13)＋1×eq\f(4,13)＋2×eq\f(4,13)＝eq\f(12,13).(3)從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大．一、選擇題11．某人射擊一次擊中的概率為eq\f(3,5)，經(jīng)過3次射擊，此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為()A．eq\f(81,125) B．eq\f(54,125)C．eq\f(36,125) D．eq\f(27,125)[答案]A[解析]該人3次射擊，恰有兩次擊中目標(biāo)的概率是P1＝Ceq\o\al(2,3)·(eq\f(3,5))2·eq\f(2,5)，三次全部擊中目標(biāo)的概率是P2＝Ceq\o\al(3,3)·(eq\f(3,5))3，所以此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率是P＝P1＋P2＝Ceq\o\al(2,3)·(eq\f(3,5))2·eq\f(2,5)＋Ceq\o\al(3,3)·(eq\f(3,5))3＝eq\f(81,125).12．甲、乙兩臺(tái)自動(dòng)機(jī)床各生產(chǎn)同種標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品1000件，ξ表示甲車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，η表示乙車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)過一段時(shí)間的考察ξ，η的分布列分別如表一，表二所示．據(jù)此判定()表一ξ0123P0.700.20.1表二ξ0123P0.60.20.10.1A.甲比乙質(zhì)量好 B．乙比甲質(zhì)量好C．甲與乙質(zhì)量相同 D．無法判定[答案]B[解析]由分布列可求甲的次品數(shù)期望為E(ξ)＝0.7，乙的次品數(shù)期望為E(η)＝0.7，進(jìn)而得D(ξ)＝(0－0.7)2×0.7＋(1－0.7)2×0＋(2－0.7)2×0.2＋(3－0.7)2×0.1＝1.21，D(η)＝(0－0.7)2×0.6＋(1－0.7)2×0.2＋(2－0.7)2×0.1＋(3－0.7)2×0.1＝1.01，故乙的質(zhì)量要比甲好．13．(·?？诟叨z測(cè))設(shè)ξ是離散型隨機(jī)變量，P(ξ＝x1)＝eq\f(2,3)，P(ξ＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1<x2，又已知E(ξ)＝eq\f(4,3)，D(ξ)＝eq\f(2,9)，則x1＋x2的值為()A．eq\f(5,3) B．eq\f(7,3)C．3 D．eq\f(11,3)[答案]C[解析]由E(ξ)＝eq\f(4,3)，D(ξ)＝eq\f(2,9)得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x1＋\f(1,3)x2＝\f(4,3)，,x1－\f(4,3)2·\f(2,3)＋x2－\f(4,3)2·\f(1,3)＝\f(2,9)，))解之得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(5,3)，,x2＝\f(2,3)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝2.))∵x1<x2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝2.))∴x1＋x2＝3.14．隨機(jī)變量X的分布列如下：X123P0.5xy若E(X)＝eq\f(15,8)，則D(X)等于()A．eq\f(7,32) B．eq\f(9,32)C．eq\f(33,64) D．eq\f(55,64)[答案]D[解析]由題意知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1×0.5＋2x＋3y＝\f(15,8)，,0.5＋x＋y＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,8)，,y＝\f(3,8).))∴D(X)＝(1－eq\f(15,8))2×eq\f(1,2)＋(2－eq\f(15,8))2×eq\f(1,8)＋(3－eq\f(15,8))2×eq\f(3,8)＝eq\f(55,64).二、填空題15．已知隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下：ξ4a9P0.50.1b已知E(ξ)＝6.3，隨機(jī)變量η～B(a，b)，則D(η)＝__________________.[答案]1.68[解析]由分布列的性質(zhì)知b＝1－0.5－0.1＝0.4，∵E(ξ)＝4×0.5＋0.1×a＋9×0.4＝0.1a＋5.6＝6.3，∴a∵η～B(a，b)，即η～B(7,0.4)，∴D(η)＝7×0.4×(1－0.4)＝1.68.三、解答題16．(·遼寧理，19)現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學(xué)從中任取3道題解答．(1)求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率；(2)已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題．設(shè)張同學(xué)答對(duì)每道甲類題的概率都是eq\f(3,5)，答對(duì)每道乙類題的概率都是eq\f(4,5)，且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立．用X表示張同學(xué)答對(duì)題的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解析](1)設(shè)事件A＝“張同學(xué)所取的3道題至少有1道乙類題”，則有eq\o(A,\s\up6(－))＝“張同學(xué)所取的3道題都是甲類題”．因?yàn)镻(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,6)，所以P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(5,6).(2)X所有的可能取值為0、1、2、3.P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,2)·(eq\f(3,5))0·(eq\f(2,5))2·eq\f(1,5)＝eq\f(4,125)；P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)·(eq\f(3,5))1·(eq\f(2,5))1·eq\f(1,5)＋Ceq\o\al(0,2)(eq\f(3,5))0·(eq\f(2,5))2·eq\f(4,5)＝eq\f(28,125)；P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,2)·(eq\f(3,5))2·(eq\f(2,5))0·eq\f(1,5)＋Ceq\o\al(1,2)(eq\f(3,5))1·(eq\f(2,5))1·eq\f(4,5)＝eq\f(57,125)；P(X＝3)＝Ceq\o\al(2,2)·(eq\f(3,5))2·(eq\f(2,5))0·eq\f(4,5)＝eq\f(36,125).所以X的分布列為：X0123Peq\f(4,125)eq\f(28,125)eq\f(57,125)eq\f(36,125)所以E(X)＝0×eq\f(4,125)＋1×eq\f(28,125)＋2×eq\f(57,125)＋3×eq\f(36,125)＝2.17．(·哈師大附中高二期中)現(xiàn)對(duì)某高校16名籃球運(yùn)動(dòng)員在多次訓(xùn)練比賽中的得分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將每位運(yùn)動(dòng)員的平均成績(jī)所得數(shù)據(jù)用頻率分布直方圖表示如下．(如：落在區(qū)間[10,15)內(nèi)的頻率/組距為(0.0125)規(guī)定分?jǐn)?shù)在[10,20)、[20,30)、[30,40)上的運(yùn)動(dòng)員分別為三級(jí)籃球運(yùn)動(dòng)員、二級(jí)籃球運(yùn)動(dòng)員、一級(jí)籃球運(yùn)動(dòng)員，現(xiàn)從這批籃球運(yùn)動(dòng)員中利用分層抽樣的方法選出16名運(yùn)動(dòng)員作為該高校的籃球運(yùn)動(dòng)員代表．(1