2022新教材高中數學人教A版必修第一冊第三章函數的概念與性質 課后練習題含答案解析

第三章函數的概念與性質

1、函數的概念...........................................................1

2、函數概念的綜合應用...................................................4

3、函數的表示法.........................................................7

4、分段函數.............................................................9

5、函數的單調性........................................................13

6、函數的最大值、最小值................................................20

7、函數奇偶性的概念....................................................27

8、函數奇偶性的應用....................................................30

9、塞函數..............................................................38

10、函數的應用（一）.....................................................41

1、函數的概念

一、選擇題（每小題5分，共30分）

1.下列四個圖形中，不是以x為自變量的函數的圖象是（）

【解析】選C.圖A,B,D中，對任意的x只有唯一的y與其對應，而在圖C中,

當時，有兩個y值與其市應.

2.函數丹必=低=1的定義域為（）

A.{x|0WW2}B.{x|x>2}

C.卜D.{x|x21}

【解析】選C.函數f（x）=y/2x—1要有意義，貝Ij2x—120,解得x2],

所以函數定義域為川

3.給出下列四個說法：

①函數就是兩個集合之間的本應關系；

②若函數的值域只含有一個元素，則定義域也只含有一個元素；

③若F(x)=5(x￡R),則f(冗)=5一定成立;

④若定義域和對應關系確定，值域也就確定了.其中正確說法的個數為()

A.1B.2C.3D.4

【解析】選B.①不正確.函數是定義在兩個非空數集上的對應關系.②不正確.如

函數/'(x)=O(x￡R),值域為{0}.③④正確.

4.函數尸F(x)的圖象與直線x=a的交點個數有()

A.必有一個B.一個或兩個

C.至多一個D.可能兩個以上

【解析】選C.當a在F(x)定義域內時，有一個交點，否則無交點.

5.函數y="l—x+,的定義域為()

A.{x|xWl}B.{x|x20}

C.{x|x21或x<0}D.{x|0WxWl}

1—

【解析】選D.由題意可知、八解得OWxWL

6.(多選題)一次函數尸zx+b和y=6x+a在同一坐標系中，已知&b異號,

兩圖象可能同時經過第幾象限()

A.第四象限B.第三象限

C.第一象限D.第一象限

【解析】選A、D.ab異號,則一個經過一、三、四象限，另一個經過一、二、

四象限.

二、填空題(每小題5分，共10分)

1T

7.函數尸石的定義域為，值域為.

1—y2

【解析】因為尸訂了=-1+丁7，

2

所以函數的定義域為R.因為f+121,所以W2.

所以3—所以函數的定義域為R.

函數的值域為3—1〈彩1}.

答案：R{yl-Ky^l).

8.給出下列兩個集合間的對應：①力={-1,0,1},4{-1,0,1},f：力中

的數求平方；②[={0,1},8={-1,0,1),/：力中的數開方；③力=Z,B=Q,

ft4中的數求倒數；④4=R,8={正實數},工力中的數取絕對值；⑤[={1,2,

3,4},6={2,4,6,8},f：〃=2加其中是力到8的函數的有個.

【解析】①中，可構成函數關系.②中，對于集合力中元素1,在集合〃中有

兩個元素與之對應，因此不是函數關系.③中，力中元素0取倒數沒有意義，在

集合〃中沒有元素與之對應，因此不是函數關系.④中，力中元素0在集合〃中

沒有元素與之對應，因此不是函數關系.⑤中，可構成函數關系.

答案：2

三、解答題(每小題10分，共20分)

9.(1)已知函數f(x)=2x—3,x￡{x￡N1W/W5},求函數人X)的值域.

⑵直線y=(加一2)x+1—2勿的圖象不經過第二象限，求實數m的取值范圍.

【解析】(1)因為x=l,2,3,4,5,且f(x)=2x—3.

所以F(x)的值域為{—1,1,3,5,7).

(2)①/一2=0,即勿=2時，/=-3符合題意;

加一2>0,

②勿一2W0時，，所以%>2,

1—2勿W0,

所以加的取值范圍為勿22.

10.已知函數y=f(x)=3f—6x+L

⑴求其對稱軸和頂點坐標.

⑵求出它的定義域及值域.

(3)已知f(-1)=10,不計算函數值，求f⑶.

【解析】尸31-6x+l=3(x—I)?—2,

由于爐項的系數為正數，所以函數圖象開口向上.

(1)頂點坐標為(1,一2)；對禰軸方程為x=l.

(2)對稱軸方程為x=l,開口向上；函數有最小值，沒有最大值，函數的最小值

為-2.

故定義域為R，值域為5卜2—2}.

(3)因為a—1)=10，又I—1-1|=2,|3-1|=2,

所以由二次函數的對稱性可知，A3)=A-1)=10.

2、函數概念的綜合應用

一、選擇題(每小題5分，共30分)

1.已知區(qū)間[一小2a+l),則實數的a的取值范圍是()

A.RB.—+8)

C-+8)D.(―8,T

【解析】選C.結合區(qū)間的定義可知一水2a+l,所以a>一：.

*5

2.已知集合力={x|lWxW2},B=[y\y=2x+ai才￡4},若AGB,則實數a的

取值范圍為()

A.[1,2]B.[—2,—1]

C.[-2,2]D.[-1,1]

【解析】選B.由題意，集合月=[1,2],可得8={y|y=2x+&x^A}=[a+2,

H4],

仿+2<1,

因為力￡8所以，一、八解得白￡[-2，-1].

[a+422,

3.下列各組函數中表示同一函數的是()

A.f(x)=士2,g(x)=x+2

X

B.F(x)=V—3x,g(￡)=d—3方

C.F(力=(/)2,g[x)=x

D.,g(x)=x

【解析】選B.A.F(x)=:/一+2的x定義域為{xbWO},

X

g(x)=x+2的定義域為R,故不是同一函數;

B.f(x)=f-3x與g1)=12—3[定義域都為R,且解析式相同，故是同一函數；

C.丹/)=(5『的定義域為{x|x20},g(x)=x的定義域為R,故不是同一函

數；

D.f(x)=，7=3與g(x)=x解析式不同，故不是同一函數.

4.函數4)的定義域是償，1],則尸F(3—x)的定義域是()

-5

A.[0,1]B.0,-

乙

~5~

C.2,-D.(一8,3)

乙

【解析】選C.函數FJ)的定義域是1,1],所以尸A3一力要有意義，則3—

11「￡

,解得

xE乙1乙2,5?

5.若函數F(x)與函數g(x)='三是同一個函數，則函數F(x)的定義域是

X

()

A.(一8,0)B.(-8,0)U(0,1]

C.(-8,0)U(0,1)D.[1,+8)

【解析】選B.根據題意，f(x)="三；因為函數f(>)有意義當且僅當

x

1—x20,

,一八所以且xWO；所以/Xx)的定義域為：(-8,o)u(0,1].

￡聲0,

Av4

6.(多選題)設函數f(x)=7哀，則F(a+1)=1n的可能值()

A.0B.1C.-1D.一2

40+1)4

【解析】選A、B.由題意知Aa+1)=)=可整理解得才=&所以a

(a十1)十23

=0或1.

二、填空題(每小題5分，共10分)

7.函數/'(才)=/『的定義域是______(用區(qū)間表示)./(-4)=________.

7L2x

【解析】函數F(X)='])2Y的定義域應滿足彳>即A<|

1—20,用區(qū)間表示該

數集為(一8,.r(-4)=1.

答案:~，3|

8.已知/'(X)=Y^—(xW—1),g(x)=1+2,則g(F(2))=

XI1A

【解析】因為f(2)=，，所以g(F(2))={§=(，)+2=弓.

不用19

答案：石

y

三、解答題(每小題10分，共20分)

9.已知F(x+2)=2x—2,且f(a)=4,試求a的值.

【解析】因為f(x+2)=2x—2,且f(a)=4,

x+2=a,x=3

所以解得『5.所以得，=5.

2^—2=4,

10.求下列函數的定義域.

(i)/a)=V^rT?聲

(2)f(x)=

2＞一9,

fx—120,

【解析】⑴由c、八解得1《E2.

12—A^O,

所以函數f(x)=\x-l?^2—x的定義域為[1,2].

x—120,9\lx—1

⑵叫2X—9W0解得"1且嶗.所以函數〃"=七彳的定義域為

且正野?

3、函數的表示法

一、選擇題(每小題5分，共30分)

1.己知學校宿舍與辦公室相距dm,某同學有重要材料要送給老師，從宿舍出

發(fā)，先勻速跑步3分鐘來到辦公室，停留2分鐘，然后勻速步行10分鐘返回宿

舍.在這個過程中，這位同學行走的路程是時間的函數，則這個函數圖象是()

W)。(介t?(/)?

【解析】選A.由題意可得先勻速跑步3分鐘來到辦公室，路程是遞增的，停留2

分鐘，路程不發(fā)生變化，再勻速步行10分鐘返回宿舍，總路程也是增加的，只

有A符合.

2.某航空公司規(guī)定，乘客所攜帶行李的質量(kg)與其運費(元)由圖所示的函數

圖象確定，那么乘客免費可攜帶行李的最大質量為()

A.15kgB.17kgC.19kgD.20kg

【解析】選C.由題圖知函數的圖象是一條直線，可以用一次函數表示，設為y

=kx+b,將點(30,330),(40,630)代入得女=30,6=—570,所以y=30x—

570,令y=0得x=19.

3.己知/'(x)是反比例函數，且F(—3)=—1,則Mx)的解析式為()

33

A.f(x)=—B.f{x}=-

XX

C.f(x)=3xD.f(x)=-3x

kk

【解析】選B.設F(x)=-,由F(—3)=-l,得—=-1,所以4=3,所以

x—3

X

4.若彳*一］，則『(?=()

A.，+2B.V—2

c.u+1)2D.a-1)2

【解析】選A.把。一皆看成一個整體，然后對函數式運用配方法將式子整理成

(才一=口一^2+2,整體替換，所以f(x)=/+2.

5.已知函數f(x)=av+9+5(aW0,6W0),f(2)=3,則f(—2)=()

X

A.7B.-7C.5D.-5

【解析】選A.因為F(2)=3,所以+5=3,

乙

所以2a+-=-2,K—*=—2a+匕+5

=-(213+$+5=7.

6.(多選題)如果二次函數的圖象關于直線x=l對稱，且過點(0,0),則此二次

函數的解析式可以是()

A.f(x)=y-1B.f(x)=一(x—1尸+1

C.F(x)=(x—1)'+1D.F(x)=(x—I)?—1

【解析】選B、D.由題意設=a(x—l)2+b(a>0),由于點(0,0)在圖象上，

所以a+b=0,a=-b,故符合條件的是B、D.

二、填空題(每小題5分，共10分)

7.某班連續(xù)進行了5次數學測驗，其中王芳同學的成績如表所示，則在這個函

數中，定義域是_______，值域是________.

次序12345

成績145140136141145

【解析】由列表法可知，函數的定義域為{1,2,3,4,5},值域為{136,140,

141,145}.

答案：U,2,3,4,5}{136,140,141,145)

8.已知函數y=f(x)的圖象如圖所示，則該函數的值域為

【解析】由圖象可知函數值有1,3,4,即值域為｛1,3,4).

答案：｛1,3,41

三、解答題(每小題10分，共20分)

9.若一次函數F(x)滿足)=x+2,試求f(x).

【解析】設/'(x)=4x+b,后0,

?2=1，

則f(f(x))=屋依+b)+b="x+(左+l)b=x+2,故〈,一、，c故女=1，

.(4+1)6=2,

6=1,故/'(x)=x+l.

10.已知函數F(x)=f+.+g且滿足A-I)=r(2)=0,求函數K心的解析式.

【解析】因為f(一D=f(2)=o,

1一夕+g=0,P=-L

所以有解得

4+20+<7=0,0=.2,

故f(x)=x—x~2.

4、分段函數

一、選擇題(每小題5分，共30分)

'*+1,Ml,

1.設函數f(x)=《2

一，王〉1,

則F"⑶)=()

1213

A.7B.3C.TD.-

□oy

【解析】選D.由題意A3),《|)=仔，+l=y,所以/"(3))=彳|)=

13

2.下列圖形是函數y=x|川的圖象的是()

x<0

【解析】選D.由尸加|=，，在?！钢狣選項符合題意.

3.已知函數Hx)的圖象是兩條線段(如圖所示，不含端點)，則)

1

A.

3

2

C.

3

x+1,-l<x<0,

【解析】選B.由圖象知F(x)=<

x—1,OVxVL

所以

所以

f夕+1,xWO,

4.己知函數門則使函數值為5的x的值是()

1—2%,x>0,

A.-2B.2或一'

乙

5

或一或一或一

C.22D.225乙

【解析】選A.當xWO時，x+1=5,x=-2.當x>0時，-2K0,不合題意.故

x=~2.

(Lx>0，

5.設xCR,定義符號函數sgnx=?O,x=O,則()

l—1,XO,

A.|x\=x\sgnx\B.|x\=xsgn|x\

C.|x|=|x|sgnxD.|x\=xsgnx

【解析】選D.

選項具體分析結論

[n#O，

MLO,

右邊=x|sgnx\=

A錯誤

而左邊=|x|='n2O,

一丁,7<0

(7,7力0,

lo,i=o,

右邊=xsgr13=

B錯誤

才,.r)O,

而左邊=—i,z〈O

1jr,z>0,

0,1=0,

zVO,

C右邊=|x|sgnx-錯誤

”,.720,

而左邊=|x|=一I,JTVO

,i〉O,

1O?i=O,

D右邊=xsgnx=一m〈O,正確

而左邊=J—jr,jrVO

6.設函數f(x)=L'、：'若FQ)=16,則實數己為()

[xfx>0,

A.4B,-4C.—16或4D.16

【解析】選C.當a>0時，f(a)=52=16,所以a=4.

二、填空題(每小題5分，共10分)

[1,XI

7.己知函數/U)={c則Hf(0))=________.

2xtxNl

1,XI

【解析】因為函數Hx)=。?，

2x,x/1

所以f(0)=L所以F(F(0))=f(l)=2.

答案：2

"T+l,O<K1,

8.函數/'(x)=?0,x=0,的定義域為，值域為.

賢一1,—1<XO

【解析】由已知得,f(x)的定義域為{30<41}u{o}u{川一1<水0}=3—

KX1),即(一1,1),又0〈水1時，0<-y+l<l,一1<京0時，-X

=0時，f{x)=0,故值域為(一L0)U{0}U(0,1)=(-1,1).

答案：(-1,1)(-1,1)

三、解答題(每小題10分，共20分)

x+L[―1,0],

9.畫出函數/'("=?的圖象.

y+1,xG(0,1]

【解析】先畫出〃X)=x+l的圖象,保留［—1,0］的部分，再畫出〃力=

f+1的圖象，保留x￡(0,1］的部分，如圖所示.

10.大氣中的溫度隨著高度的上升而降低，根據實測的結果二升到12km為止溫

度的降低大體上與升高的距離成正比，在12km以上溫度一定，保持在

-55℃.

(1)當地球表面大氣的溫度是時，在xkm的上空為y°C,求a,x,y間的函

數解析式.

⑵問當地表的溫度是29℃時，3km上空的溫度是多少？

【解析】(1)由題設知，可設y—d=4x(0WxW12,KO),即y=己+取.依題意,

當x=12時，尸一55,

CC_|_-

所以-55=。+12女，解得〃=一一L?

X

所以當0WxW12時，y=a——(55+a)(0W后12).

1乙

又當x>12時，尸一55.所以所求的函數解析式為

_］@一三(55+—，(0^A<12).

1-55,(x>12)

3

⑵當a=29,x=3時，y=29-TT(55+29)=8,

1乙

即3即上空的溫度為8c.

5、函數的單調性

一、選擇題(每小題5分，共30分)

1.下列四個函數中在(0,+8)上單調遞增的是()

A./(A)=8—AB.—(A—2)2

C.f{x}=~+1D.f(x)=f+2x

x

【解析】選D.A在R上為減函數，B在(0,2)上為減函數，C在(0,+8)上為減

函數.

2.若函數f(x)在［-1,2］上是單調遞減函數，則下列關系成立的是()

A.A-1)<ADB.A-1)>AD

c.Ao)</(2)D.r(o)>A3)

【解析】選B.對A,因為一1V1,故/'(-1)>F(1),故A錯，B對.

3.設F(x)=(2a—l)x+b在R上是減函數，則有()

C.a>—~D.a<^

A.心5B.

乙乙

【解析】選D.因為f(x)=(2a—l)x+力在R上是減函數，所以2a—lV0,即a

4.設(ab),(c,中都是函數/'(x)的單調增區(qū)間，且xpQ,b),而￡(。，M

乂〈如則『(*)與/'&)的大小關系是()

A.F(Xi)Vf(%)B.f(xi)>f(x2)

c.A^i)=D.不能確定

【解析】選D.因為乂，至不在同一單調區(qū)間內，所以大小關系無法確定.

5.(2021?欽州高一檢測)函數尸V+2加x+1在[2,+8)上單調遞增，則實數

加的取值范圍是()

A.[-2,+8)B.[2,+8)

C.(一8,2)D.(-oo,2]

【解析】選A.函數y=/+2儂+1的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x=一

加，函數y=/+2“+l在[2,+8)上單調遞增，則一后2,解得力2—2.

6.(多選題)函數娛x)=4V—mx+5在區(qū)間[—2,+8)上單調遞增，則下列選

項正確的是()

A.*1)225B.fLl)W-7

C./(I)^25D.—1)2—7

【解析】選A、B.因為函數Mx)的對稱軸為,

-X

所以『5)在愴+可上是遞增的.

所以《2,所以加W—16.

O

則〃1)=4一/5=9一勿225.

/(—1)=4+/5=9+/?^—7.

二、填空題(每小題5分，共10分)

7.函數尸f(x)的圖象如圖所示，則函數f(x)的單調遞增區(qū)間是,在

定義域上是否遞增_______(回答是或否).

【解析】由題圖可知，函數f（x）的單調遞增區(qū)間是（一8,1）和（1,+8）.一個

函數出現兩個或兩個以上的單調區(qū)間時，不能用“U”而應該用“和”或”

來表示.

答案：（-8,1）和（1,+8）否

8.己知函數y=x2—2（a+l）x—2在區(qū)間（一8,4］上是嚴格減函數，則實數a

的取值范圍是.

【解析】由函數尸*—2Q+l）x—2在區(qū)間（一8,4］上是嚴格減函數，可得對

稱軸X=J+124,解得3。3.

答案：己23

三、解答題（每小題10分，共20分）

9.證明：函數ZU）=葉十在（0,1）上單調遞減.

【證明】設0＜乂＜為＜1,則/'（幻一『（用）=（%+；）一（也+十）=（汨一冬）卜上一小

X\X2

（無一版）（方而—1）

=（乂一房）

X\X<1

—

因為0<Xi<X2<l,所以乂房一1<0,西一場<0,X房>0.即F(x)A^2)>0,f(x})>f(x2),

所以f（x）=x+=在（。,1）上單調遞減.

）一，

10.若/，（x）=jx是R上的單調函數，求實數a的取值范圍.

1―x+3a,xVl

【解析】因為f（x）=［＞

a>0?

是R上的單調函數，所以＜

1+3&24

1一x+3a,xVl

解得：混,故實數a的取值范圍為:，+8）.

能力提升

一、選擇題（每小題5分，共20分）

1.(多選題)如果函數F(x)在[小⑸上是增函數，對于任意的為，為￡[小

6](為工為)，則下列結論中正確的有()

B.(用一吊)"(汨)—/(^2)]>0

C.C-WF(M)<f&)Wf(，)

D.f〈x)>fix。

【解析】選AB.由函數單調性的定義可知，若函數y=f(x)在給定的區(qū)間上是增

函數，則乂一蒞與『(汨)一"版)同號，由此可知，選項A,B正確；對于C,D,

因為用，曲的大小關系無法判斷，則代由)與/'(也)的大小關系也無法判斷，故C,

D不正確.

2.已知函數f(x)=N4—2x—3,則該函數的單調遞增區(qū)間為()

A.(—8,1]B.[3,+°0)

C.(—8,—1]D.[1,+°°)

【解析】選B.設C=f—2x—3,由￡20,得xW—l或才23,所以函數的定義

域為(一8,—1]U[3,+8).當*23時，￡=f—2x—3單調遞增.

((a-3)x+5,xWl,

3.已知函數f(x)=42a是R上的減函數，則a的取值范圍

一,x>1

Ix

是()

A.(0,2)B.(0,2]C.(0,3)D.(0,3]

【解析】選B.因為f(x)為R上的減函數，所以后1時，FQ)遞減，即a—3Vo

①，x>l時，f(x)遞減,即40②，且S—3)Xl+522盤I,聯(lián)立①②③解得,

0-

4.函數尸—x)在區(qū)間4上單調遞增，那么區(qū)間力是()

A.(—8,o)B,0,1

C.[0,+°°)D.借，+°°I

x(1—%),心0,一9+x,40,

【解析】選B.y=|^|(1—x'="

—x(1—;r),X0,i—x,x<0,

畫出函數的大致圖象如圖所示.

由圖易知原函數在0,I上單調遞增.

二、填空題(每小題5分，共20分)

5.己知函數F(x)+4(a—3)x+l在區(qū)間(一8,3)上單調遞減，則a的取

值范圍是.若函數f(x)=2aV+4(a-3)x+l的減區(qū)間是(一8,3),

貝L為.

【解析】①當a=0時，f(x)=-12x+l在(-8,3)上單調遞減；②當a>0時，

o—&

要使ax)=2a1+4(a-3)x+l在區(qū)間(一8,3)上單調遞減，則對稱軸x=——

a

Q一23

必在x=3的右邊，即——23,故OVaW：；③當aVO時，不可能在區(qū)間(一

8,3)上恒單調遞減.綜合知：a的取值范圍是[。，1.若函數/'(x)=2aV+4(a

3—名3

—3)x+l的減區(qū)間是(一8,3),則對稱軸才=——=3,則〃=彳.

a4

答案Jo,|]|

6.設函數F(x)滿足：對任意的汨，也力都有(乂一尼)"(乂)一，(用)]>0,則F(一

3)與兀)的大小關系是_______.

【解析】由(乂一蒞)"(*)—[(尼)]>0,得函數F5)為增函數.又一3>一％所

以f(—3)>f(一五).

答案：/(-3)>A-n)

7.已知函數f(x)在定義域(一1,1)上單調遞減，且F(l—a)WF(3a—2),則a

的取值范圍是.

【解析】因為函數/'(X)在定義域(一1,D上單調遞減，且—d)WF(3a—2),

3'

所以一1V3a—2W1—aVl,解得J.

-

2口案：(f§l，43

8.己知函數/'(x)=1/八則滿足不等式F(l-V)>f(2x)的x的范圍是

1,x<0,

【解析】

V+1,40,

4Xi,水。的圖象如圖所示，不等式

1一力0,

等價于

2A<0,

1一冷0,

或2x>0,

1—V>2x,

解得一-1.

答案:(-1,y[2-1)

三、解答題(共30分)

9.(10分)畫出函數y=—三+2|4+3的圖象，并指出該函數的單調區(qū)間.

【解析】x20時，y=—x+2%+3；X0時，y=—。―2x+3.所以y=

一寸+2彳+3,x20,

—x—2x+3,X0.

畫出該函數的圖象如圖所示，由圖象知，該函數的單調遞增區(qū)間是(一8,-1],

(0,1]；單調遞減區(qū)間是(-1,0],(1,+8).

10.(10分)已知函數，5)=￥一1+2.判斷函數F(x)在[1,+8)上的單調性并

X

加以證明.

【解析】f(x)在[1,+8)上單調遞增.

證明：設1<乂<尼，則/(乂)一代也)=片——+2—[%2—J+21=/—x2—

X\\^27

——-=(加一尼)[(吊+用)+'-].

X\X?X\X?

因為l〈*Vx2,所以汨一用<0，為+照+」—>0,

X\X?

所以F(x)—fix4<0,即F(X[)<f(^2),

所以/'(x)在[1,+8)上單調遞增.

11.(10分)函數FJ)對任意的a,6￡R，都有F(a+6)=f(a)+F(b)—1,并且

當X>0時，/(A)>1.

(1)求證：/*5)是R上的增函數.

⑵若A4)=5,解不等式f(34一k2)<3.

【解析】(1)設為，尼￡比且為<也，

則也一為>0,所以/(用一x])>L

f(x2)—/(X))=/[(%一崗)+xj—F(xJ

=丹尼一X)+汽乂)-1—Hx)=￡(也一乂)-l>0.

所以/?5))*?),即F(x)是R上的增函數.

(2)因為(⑷=f(2+2)=f(2)+F(2)—1=5,

所以f⑵=3,

所以原不等式可化為f(3/zf-^-2)<f(2),

因為〃/)是R上的增函數，所以3/一加一2<2,

4

解得一1〈水可?

故解集為（一1,1

6、函數的最大值、最小值

一、選擇題（每小題5分，共30分）

1.函數尸F（x）的圖象如圖所示，在區(qū)間［—4,1］上的最小值是（）

A.-4B.-3C.0D.1

【解析】選C.由題圖知，函數在［-4,-3］上單調遞減，在［-3,1］上單調遞

增，當入=一3時取最小值0.

2,函數尸士在⑵3］上的最小值為（）

A.2B.JC.1D.一J

【解析】選B.原函數在⑵3］上單調遞減，所以最小值為士=1.

3.函數y=|x+l|在［-2,2］上的最大值為（）

A.0B.1C.2D.3

A+1?—

【解析】選D.y=|x+l=*

—(x+1),—2WxV—1,

y=x+l(—1WXW2)的最大值為3,y=_(x+1)(—2<xV—1)的最大值為L

所以函數y=|x+l|在[-2,2]上的最大值為3.

4.已知函數F(x)=—/+4x+a,x￡[0,1],若F(x)有最小值一2,則/'(x)的

最大值為（）

A.-1B.0C.1D.2

【解析】選C.f{x)=—(x—4x4-4)+a+4=—(x-2)24-4+a,

所以函數/'(x)圖象的對稱軸為直線x=2,所以Ax)在［0,1］上單調遞增.

又因為F(力/=*0)=a=—2,所以/(^)?nx=/(l)=-14-4-2=1.

5.函數f(x)=2/—RX+3,當［―2,+8)時單調遞增，當*e(—8,—2］

時單調遞減，則/0)=()

A.10B.-3C.13D.1

【解析】選C.因為函數抖⑼在(一8,—2］上單調遞減，在:一2,+8)上單調

遞增，所以x=—4=2=-2,所以加=-8,故F(x)=2V+8x+3,

LiClA

所以Al)=13.

6.(多選題)若函數4)二/一3才-4的定義域為［0,加，值域為［一才,-4］,

則勿可以取()

357

A.-B.-C.3D.§

乙乙乙

395?

【解析】選A、B、C.因為對稱軸為x=~,對應函數值為一彳；所以勿，可；

乙d乙

當y=-4時，x=0,3,因此勿W3,

飛_

綜合可得，力的取值范圍是53.

二、填空題(每小題5分，共10分)

4

7.函數/'(x)=x+-在［1,4］上的最大值為_______，最小值為________.

X

44/44、

【解析】設1<*<也<2,則八汨)一1(x2)=*+-—x-2—=(汨一生)+匕一二

X\Xz［XiX?)

(人一丁)(汨及―4)

X\X?'

因為1〈水及<2,所以為一屈〈0,與也一4<0,%*2〉0，

所以人%)>/(就，所以/U)在［1,2)上單調遞減.

同理F(x)在［2,4］上單調遞增.

所以當x=2時，F(x)取得最小值4；

當x=l或x=4時，F(x)取得最大值5.

答案：54

8.用長度為24m的材料圍一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大,

則隔墻的長度為m.

【解析】設隔墻長度為xm,場地面積為SrA

24—4y

貝ijS=x----=12^-2y=-2U-3）2+18.

乙

所以當x=3時，S有最大值18m2.

答案：3

三、解答題（每小題10分，共20分）

2

9.己知函數/'（x）=--.

x—1

（1）證明：函數在區(qū)間（1,+<?）上單調遞減.

⑵求函數在區(qū)間［2,4］上的最值.

【解題指南】（1）運用單調性的定義證明，注意取值、作差、變形、定符號和下

結論幾個步驟.

（2）運用（1）的結論，即可得到最值.

【解析】（1）設IV為〈版，則

222（也一乂）

—在）==

溝—1（Xi—1）（用一1）

由于IVxiVxz，則x2—Xi>0,1>0,為一1>0,

則U）一￡（必）>0,

則函數f（x）在區(qū)間（1,+8）上單調遞減.

（2）由（1）可得，ZU）在區(qū)間［2,4］上遞減,

2

則F（2）為最大值，且為2,M4）為最小值，且為可.

10.己知函數F（x）=-7（壯1）.

%—1

（1）證明丹⑼在（1,+8）上單調遞減.

（2）當x￡［3,5］時，求F（力的最小值和最大值.

【解析】⑴設1V乂V尼，則fix）-f（x>=卓一紅，

小―1至—1

（X,+1）（x2—1）—（至+1）（為―1）

（*—1）（質一1）

_____2(必一Xi)

’(小一1)(人一1)，

因為小>1,房>1,所以為一1>0,涇一1>0,

所以(乂一1)(也—1)>0,

因為涇，所以也一用>0,

所以fix)—f(X2)>0,所以f(xi)>fix),

所以f(x)在(1,+8)上單調遞減.

(2)因為[3,5]c(1,+8),所以f(力在[3,5]上單調遞減,所以皿=f(3)

=2,F(x)1tin=F(5)=1.5.

能力提升

一、選擇題(每小題5分，共20分)

1.當OWxW2n寸，水一A2十2x恒成立，則實數a的取值范圍是()

A.(—8,1]B.(—8,0]

C.(—8,0)D.(0,+°0)

【解析】選C.記￡(才)=一*+2%0〈后2,

因為aV一1+2入恒成立，所以水手(/1in,而f(x)=—1+2x=—(x—1尸+1,

當x￡[0,2]時，Ax)nin=/(0)=/(2)=0,所以aVO.

2.(2020?長沙高一檢測)已知二次函數f(x)=41一取一8在區(qū)間(5,20)上既

沒有最大值也沒有最小值，則實數k的取值范圍是()

A.[160,+8)

B.(一8,40]

C.(-8,40]U[160,4-oo)

D.(一8,20]U[80,+8)

【解析】選C.因為二次函數f(x)=4V一取一8在區(qū)間(5,20)上既沒有最大值也

沒有最小值，所以函數F(x)=4,一履一8在區(qū)間(5,20)上是單調函數.易知二

kkk

次函數F(x)=4/一而一8的圖象的對稱軸方程為,因此$W5或d220,

OOO

所以〃W40或42160.

3.若函數尸AM的值域為“，3],則函數網x)=l-2F(x+2)的值域是()

A.[—9,—5]B.[—5,—1]

C.[-1,3]D.[1,3]

【解析】選B.由于函數曠=穴上)的值域為[1,3],

則lWf(x+2)W3,-6W-2f(x+2)W-2,

所以一5W1—2f(x+2)W—1.

4.(多選題)己知尸f(x)是R上的單調函數，令Kx)=f(l—x)—f(3+x),則

夕(力在R上可能是()

A.增函數B.減函數

C.先增加后減少D.先減少后增加

【解析】選A、B.設任意的乂，也￡旦且為〈也，

則尸(意一尸(*)=/*=一>一F(3+就一F(1—幻+F++幻=〃1一照)一￡(1一

Xi)+F(3+xj-f(3+X2)>

因為水也，所以1—汨>1—x?,3+所>3+*,

若y=f(x)是R上的減函數，則尸(%)一尸(汨)>0,

即產(才)在R上是增函數.若y=f(x)是R上的增函數，則F3—FGMQ,即Kx)

在R上是減函數.

二、填空題(每小題5分，共20分)

5.函數尸院+1]一|2—削的單調遞增區(qū)間是,值域是.

【解析】y=\x+l\—\2—x\

r-3(后一1),

=12x-1(-!XxW2),

〔3(x>2),

其圖象如圖所示，可知單調遞增區(qū)間是[-1,2],值域是[-3,3]

答案：[-1,2][-3,3]

6.將進貨單價為40元的商品按50元一個出售時，能賣出500個，已知