6.1.3簡單旋轉體球圓柱圓錐和圓臺課件高一下學期數(shù)學北師大版

第六章立體幾何初步1.3簡單旋轉體——球、圓柱、圓錐和圓臺北師大版

數(shù)學

必修第二冊目錄索引基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗收·課堂達標檢測課程標準1.了解球、圓柱、圓錐、圓臺的定義.2.掌握球、圓柱、圓錐、圓臺的結構特征,并能在幾何體中進行相關的計算.3.了解簡單組合體的概念及結構特征.基礎落實·必備知識全過關知識點一

球1.球的定義、相關概念、圖形及表示球及相關概念圖形及表示定義以

所在的直線為旋轉軸,將半圓旋轉一周所形成的曲面稱為球面.球面所圍成的幾何體稱為球體,簡稱球

球面不能展開成平面圖形球用表示它球心的字母來表示

圖中的球記作:

相關概念球心:半圓的

;

半徑:連接球心和球面上任意一點的線段;直徑:連接球面上兩點并且過球心的線段半圓的直徑

圓心球O2.球的相關性質(1)球面上所有的點到球心的距離都等于球的半徑;(2)用任何一個平面去截球面,得到的截面都是圓,其中過球心的平面截球面得到的圓的半徑最大,等于球的半徑.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)半圓繞其直徑所在直線旋轉一周形成球.(

)(2)球面和球體是一樣的.(

)(3)連接球面上兩點的線段為球的直徑.(

)(4)過球面上一點可以作出無數(shù)個大圓.(

)2.過球面上任意兩點A,B作大圓,可能作大圓的個數(shù)是多少?×××√提示

當過A,B的直線經(jīng)過球心時,經(jīng)過A,B的截面所得的圓都是球的大圓,這時過A,B作球的大圓有無數(shù)個;當直線AB不經(jīng)過球心O時,經(jīng)過A,B,O的截面就是一個大圓,這時只能作出一個大圓.知識點二

圓柱、圓錐、圓臺的定義及結構特征1.定義矩形的一邊

直角三角形的一條直角邊

直角梯形垂直于底邊的腰

2.相關概念(1)高:在

上的這條邊的長度.

(2)底面:

的邊旋轉而成的圓面.

注意圓面與圓不同(3)側面:

旋轉而成的曲面.

(4)母線:繞軸旋轉的邊.

母線無數(shù)條且都相等旋轉軸

垂直于旋轉軸不垂直于旋轉軸的邊3.圖形表示

名師點睛

四種常見簡單旋轉體的性質比較類型球圓柱圓錐圓臺底面形狀無兩個底面是互相平行且半徑相等的圓圓兩個底面是互相平行且半徑不相等的圓母線無互相平行且長度相等相交于頂點且長度相等延長線交于一點且長度相等平行于底面的截面形狀無與兩個底面半徑相等的圓與底面半徑不相等的圓與兩個底面半徑不相等的圓過軸的截面的形狀圓矩形等腰三角形等腰梯形過關自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)直角三角形繞一邊所在直線旋轉得到的旋轉體是圓錐.(

)(2)圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺.(

)(3)夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體是圓柱.(

)2.圓錐的母線長和底面圓直徑有何關系?×√×提示

圓錐的母線長與底面直徑無一般性關系;但是圓錐的母線、圓錐的高、圓錐底面圓半徑可以組成直角三角形.3.矩形的兩相鄰邊長分別為3cm和4cm,以一邊所在的直線為軸旋轉,則所形成的圓柱的底面積為多少?提示

當以3

cm長的一邊所在直線為軸旋轉時,得到的圓柱的底面半徑為4

cm,底面積為16π

cm2;當以4

cm長的一邊所在直線為軸旋轉時,得到的圓柱的底面半徑為3

cm,底面積為9π

cm2.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一旋轉體的結構特征【例1】

判斷下列各說法是否正確.(1)用一個平面去截圓錐,得到一個圓錐和圓臺;(2)一直角梯形繞下底所在直線旋轉一周而形成的面所圍成的幾何體是圓臺;(3)圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面,圓錐的軸截面是等腰三角形,圓臺的軸截面是等腰梯形;(4)到定點的距離等于定長的點的集合是球.解

(1)錯.只有當平面平行于圓錐底面時,才能將圓錐截為一個圓錐和一個圓臺.(2)錯.直角梯形繞下底所在直線旋轉一周所形成的幾何體是由一個圓柱與一個圓錐組成的簡單組合體,如圖所示.(3)正確.(4)錯.應為球面.規(guī)律方法

準確理解旋轉體的定義,在此基礎上掌握各旋轉體的性質,才能更好地把握它們的結構特征,以作出準確的判斷.變式訓練1給出下列說法:①經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面;②圓臺的任意兩條母線的延長線,可能相交,也可能不相交;③圓柱上底面圓上任一點與下底面圓上任一點的連線都是圓柱的母線.其中說法正確的是

.(填序號)

①

解析①正確,如圖所示,經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面;②不正確,圓臺的母線延長后必相交于一點;③不正確,由圓柱母線的定義知,圓柱的母線應平行于軸.探究點二球的截面問題【例2】

已知半徑為25cm的球的一個截面的面積是49πcm2,則球心到這個截面的距離為

.

24cm規(guī)律方法

設球的截面圓上一點A,球心為O,截面圓心為O1,則△AO1O是以O1為直角頂點的直角三角形,解答球的截面問題時,常用該直角三角形或者用過球心和截面圓心的軸截面求解.變式訓練2半徑是13cm的球面上有A,B,C三點,并且AB=BC=CA=12cm,試求球心到經(jīng)過這三點的截面的距離.解

設截面圓的圓心為O1,球的球心為O,則OO1即為球心到截面的距離,又O1是正三角形ABC的外心,探究點三圓柱、圓錐、圓臺中的有關計算【例3】

如圖,用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐,截得圓臺上、下底面的面積之比為1∶16,截去的圓錐的母線長是3cm,求圓臺O'O的母線長.解

設圓臺的母線長為l

cm,由截得圓臺上、下底面面積之比為1∶16,可設截得圓臺的上、下底面的半徑分別為r

cm,4r

cm.過軸SO作截面,如圖.則△SO'A'∽△SOA,SA'=3

cm,解得l=9,故圓臺O'O的母線長為9

cm.變式探究本例中若圓臺的上底面半徑為1cm,其他條件不變,試求圓臺的高.解

因為圓臺的上底面半徑為1

cm,所以下底面半徑為4

cm.如圖,在Rt△A'HA中,規(guī)律方法

用平行于底面的平面去截圓柱、圓錐、圓臺等幾何體,注意抓住截面的性質(與底面全等或相似),同時結合旋轉體中的經(jīng)過旋轉軸的截面(軸截面)的性質,利用相似三角形中的相似比,構造相關幾何變量的方程組而得解.這種立體問題平面化是解答旋轉體中計算問題最常用的方法.探究點四旋轉體中的最值問題【例4】

一個圓錐的底面半徑為2,高為6,且有一個高為x的內接圓柱.(1)用x表示出圓柱的軸截面面積S.(2)當x為何值時,S取得最大值?規(guī)律方法

1.對于旋轉體中截面積的最值問題,一般是將面積表示為某一變量的函數(shù),轉化為函數(shù)最值問題,還要注意變量的取值范圍的限制;2.對于旋轉體側面上兩點間距離的最小值問題,常利用側面展開圖轉化為平面上兩點間線段最短問題.變式訓練3已知圓臺的上、下底面半徑分別為5cm,10cm,母線長AB=20cm,從圓臺母線AB的中點M處拉一條繩子繞圓臺側面轉到點A,求:(1)繩子的最短長度;(2)在繩子最短時,上底圓周上的點到繩子的最短距離.(2)作OQ⊥AM于點Q,交弧BB'于點P,則PQ為所求的最短距離.∵OA×OM=AM×OQ,∴OQ=24

cm.故PQ=OQ-OP=24-20=4(cm),即上底圓周上的點到繩子的最短距離為4

cm.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)旋轉體的概念;(2)球的結構特征;(3)圓柱、圓錐、圓臺的結構特征.2.方法歸納:分類討論、轉化與化歸.3.常見誤區(qū):(1)易忽視同一平面圖形以不同的軸旋轉形成的旋轉體一般是不同的;(2)球的截面問題易漏掉情況.成果驗收·課堂達標檢測12341.(多選)下列說法正確的是(

)A.以三角形的一邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐B.棱臺的側面都是等腰梯形C.底面半徑為r,母線長為2r的圓錐的軸截面為等邊三角形D.棱柱的側棱長都相等,但側棱不一定都垂直于底面CD解析

圓錐是以直角三角形的某一條直角邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體,當繞斜邊旋轉時,不是棱錐,故A錯誤;棱臺的側面都是梯形,但棱臺的側棱不一定都相等,故B錯誤;圓錐的軸截面是等腰三角形,其腰長為2r,又底面半徑為r,故等腰三角形的底邊為2r,即該圓錐的軸截面為等邊三角形,故C正確;棱柱的側面都為平行四邊形,所以側棱都相等,棱柱包含直棱柱與斜棱柱,故側棱不一定都垂直于底面,故D正確.故選CD.123412342.一正方體內接于一個球,經(jīng)過球心作一個截面,則截面的可能圖形為

.(只填寫序號)

①②③

解析

當截面平行于正方體的一個側面時得①圖;當截面過正方體的體對角線時得③圖;當截面不平行于任何側面也不過體對角線時得②圖