2022新教材蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第12章復(fù)數(shù) 課時(shí)練習(xí)題及章末綜合檢測含答案解析

第12章復(fù)數(shù)

12.1復(fù)數(shù)的概念................................................................1

12.2復(fù)數(shù)的運(yùn)算................................................................4

12.3復(fù)數(shù)的幾何意義............................................................7

12.4*復(fù)數(shù)的三角形式........................................................11

第12章測評(píng)...................................................................14

12.1復(fù)數(shù)的概念

1.若復(fù)數(shù)2-bi（b￡R）的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則6的值為（）

22

A.2B.-C.--D.-2

33

S］A

麗|復(fù)數(shù)2-bi的實(shí)部為2,虛部為也由題意知2=-（4）,所以b=2.

2.若復(fù)數(shù)z=/n2-l+（/n2-/??-2）i為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為（）

A.-1B.2

C.lD.-1或2

制D

|解析|因?yàn)閺?fù)數(shù)2=病-1+（/_6-2）［為實(shí)數(shù)，所以m2.m_2=0,解得m=-\或m=2.

3.（2021天津高一下）若復(fù)數(shù)z=（n2-\）+（n-l）i為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)n的值為（）

A.-1B.0

C.lD.-1或1

嬴A

|解析［由復(fù)數(shù)z=（n2-l）+（H-l）i為純虛數(shù)，可得:#「（）°'所以?故選A.

4.（多選）己知i為虛數(shù)單位，下列說法中正確的是（）

A.若存0,則d\是純虛數(shù)

B,虛部為的虛數(shù)有無數(shù)個(gè)

C?實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集

D.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的一個(gè)必要條件是它們的實(shí)部相等

客第BCD

|解析|對于A,若a=i,則出與2=-1,不是純虛數(shù)，故A錯(cuò)誤;對于B,虛部為-a的虛數(shù)可以表

示為陸魚i(m￡R),有無數(shù)個(gè)，故B正確;根據(jù)復(fù)數(shù)的分類，判斷C正確;兩個(gè)復(fù)數(shù)相等一定

能推出實(shí)部相等，必要性成立，但兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等推不出兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，充分性不成

立，故D正確.

5.設(shè)〃力仁R,i是虛數(shù)單位，則、力=0”是“復(fù)數(shù)a-b\為純虛數(shù)”的()

A.充分不必要條件

B,必要不充分條件

C,充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

甌B

麗|“加?=0”則67=0或Z?=0,“復(fù)數(shù)a-b\為純虛數(shù)”則?=0且屏0,那么“"二0”是“復(fù)數(shù)a-bi

為純虛數(shù)”的必要不充分條件.

6.若(x-2y)i=2x+l+3i,則實(shí)數(shù)x,y的值分別為.

1

X+=O=-

所2

以=7

-

4

2

7.若復(fù)數(shù)z=m+(m-\)i是負(fù)實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)m的值為.

答案|-1

|解析|依題意可知nv-\=0且機(jī)＜0,因此m=~\.

8.已知關(guān)于實(shí)數(shù)羽y的方程組：

(2x-l)+i=y-(3-y)i,①

(2%4-ay)-(4x-y+b)i=9-8i②

有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)ah

網(wǎng)由①式,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件有｛；=＞；；)

_5

解得(*)

y=4.

將(*)代入②式，得5+4a-(6+Z?)i=9?8i,且a,b￡R,所以有解得a=\,b=2.

9.以3i-&的虛部為實(shí)部，以3i2+V2i的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是()

A.3-3iB.3+i

C.-V2+V2iD.A/2+V2i

fgA

解析|3i-夜的虛部為3,3i2+V2i=-3+V2i的實(shí)部為.3,故選A.

10.(多選)已知i為虛數(shù)單位，下列命題中正確的是()

A.若￡C,則x+yi=l+i的充要關(guān)件是x=y=l

B.(q2+i)i(a￡R)是純虛數(shù)

C若比4-z：=O,則zi=Z2=0

D.當(dāng)w=4時(shí)，復(fù)數(shù)1g(加2-2加7)+(陽2+5〃z+6)i是純虛數(shù)

I答案|BD

|解析|取x=i,y=-i,則x+yi=l+i,但不滿足x=y=l,故A錯(cuò)誤”4￡&a2+1>0恒成立,所以

(d2+l)i是純虛數(shù)，故B正確;取zi=i,Z2=l,^>]zi+z/=O,但zi=Z2=0不成立，故C錯(cuò)誤;當(dāng)

/n=4時(shí)，復(fù)數(shù)lg(/n2-2/?-7)+(/n2+5m+6)i=42i是純虛數(shù)，故D正確.

11.已知zi=-3-4i,z2=(/i2-3m-l)+(n2-?n-6)i,m,n^R,Kzi=Z2,則

m=,w=.

宜2±2

廨祠由復(fù)數(shù)相等的充要條件有2j3第1=；3,解得｛機(jī)=2

1------1(.n-m-6=-4,⑦=±2.

12.下列說法:

①若〃￡R,則m+l)i是純虛數(shù);②若(f-D+W+Bx+ZUaER)是純虛數(shù)，則產(chǎn)±1;③兩個(gè)虛

數(shù)不能比較大小.

其中說法正確的序號(hào)是.

蘸③

|解析|當(dāng)a--\時(shí),(a+l)i=0,故①錯(cuò)誤;若(x2-l)+(f+3x+2)i是純虛數(shù)，則2H0

即工二1,故②錯(cuò)誤;兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，故③正確.

13.已知復(fù)數(shù)z=\/3淳T-x+Q2Yx+B)>。,求實(shí)數(shù)冗的值.

阿?.,2>0,，2￡1^.?,?/-4工+3=0,解得工=1或x=3.

z>0,；?1-x>0.對于不等式，3%?1-x>0/=1適合u=3不適合,.■?x=l.

14.已知關(guān)于x的方程/+(加+2i)x+2+2i=0(/〃￡R)有實(shí)根〃，且z=m+〃i,則復(fù)數(shù)z=()

A.3+iB.3-i

C.-3-iD.-3+i

|解析|由題意，知n2+(/n+2i)n+2+2i=0,

即/i2+wn+2+(2n+2)i=0.

所以片1詈22=0,解得產(chǎn)=+所以z=3.i.

(2n+2=0,m=-1.

12.2復(fù)數(shù)的運(yùn)算

1.設(shè)zi=2+biS￡R),z2=a+i(〃￡R),當(dāng)zi+z2=0時(shí)，復(fù)數(shù)a+b\為()

A.l+iB.2+i

C.3D.-2-i

■D

|解析|因?yàn)閦i+z2=(2+/?i)+(a+i)=(2+a)+S+l)i=0,所以1：；］,于是｛f=:'故。+4=2

i.

2.復(fù)數(shù)zi=o+4i,Z2=-3+bi,若它們的和為實(shí)數(shù)，差為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a,b的值為()

A.￡7=-3,Z?=-4B.a=-3,Z?=4

C.a=3,b=-4D.〃=3,b=4

薪A

6+4=0,

|解析［由題意可知zi+z2=(a-3)+(Z?+4)i是實(shí)數(shù),zi-z2=(a+3)+(4功)i是純虛數(shù)，故a+3=0,

4-b豐0,

解得〃二?3力二4

3.(2021全國甲卷)已知(l?i)2z=3+2i,則z=()

A.-l--iB.-l+-i

22

33

C.--+iD.---i

22

答案|B

畫由題意得z-=苧=-1+，

------(1-1)-2l2

4.若z=l+2i,則2=()

A.1B.-lC.iD.-i

甌C

4i

二i，故選C.

----'ZZ-1(l+2i)(l-2i)-l

5.(2021江蘇宿遷沐陽期中)已知復(fù)數(shù)z=(1-i)-/w(l+i)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)m=.

宣］

|解析［由z=(11+i)=(1-m)-(1+m)i是純虛數(shù)，則1-/n=0JLl+*0,解得/n=L

6.已知復(fù)數(shù)z=Y(i是虛數(shù)單位)，則z2=.

軸2i

解析|z二上=(1'l)^1)=-1-i,/.z2=(-1-i)2=2i.

7.設(shè)m￡R,復(fù)數(shù)zi=巴」0+(m-15)i,Z2=-2+〃7(/〃-3)i.若zi+z2是虛數(shù)，求rn的取值范圍.

m+2

網(wǎng)**z,=：：+(?15)i,Z2=-2+/n(w-3)i,

；?zi+Z2=(勺等-2)+[(，〃-15))]i

m

="4+(加2.2加.]5)1

m+2

?:zi+z2為虛數(shù),工序-2加15#0,且W,

解得制5,，*-3,且*-2(〃z￡R).所以m的取值范圍為(-8,-3)U(-3,-2)U(-2,5)U

(5,+8).

8.計(jì)算：

⑴(彳+學(xué))Q?i)(3+i)；

(V24-V2i)z(4+5i)

I)~(5-4iXl-i)-'

臥)([+爭)(2-i)(3+i)=(q+爭)(7?i)岑+卓i.

(四+魚i)2(4+5i)4i(4+5i)-20+161-4(5-4i)(l+9i)-4(41+41i)-f

(2)：=-2-21.

''--(5--4riX~l~-i-)=5--4-9i-=-l-9-i-=---82--=--8-2-

9.已知Z=1+i是方程，+反+C=0的一個(gè)根S,C為實(shí)數(shù)).

⑴求"C的值；

⑵試判斷Z=l-i是否為方程的根.

假(1)因?yàn)?+i是方程z2+bz+c=0的根，所以(1+i)2+b(1+i)+c=o,即(b+c)+(2+%)i=0,于是

2解得產(chǎn)=故b的值為2c的值為2.

(2)由(1)方程可化為^-22+2=0,

把z=l-i代入方程左邊得/-Zz+ZKl-iANl-D+ZuO,顯然方程成立，所以z=l-i也是

方程的根.

10.已知/(z+i)=3z-2i,則/(i)=.

霹-2i

|解析[設(shè)z=a+/?i(。力WR),貝”/[a+3+l)i]=3(a+/?i)-2i=3a+(3Z?-2)i,令。=0力=0,貝4/(i)=-2i.

11.若復(fù)數(shù)z=乎為純虛數(shù)R,i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z+1+i的虛部為()

2T

A.2iB.2C.3iD.3

廨薪|?.?綽=(：+2?(2+i)=空+竺竺!為純虛數(shù).?.上工=0且匕羯0,解得〃.?"，???

'?2-1(2-1)(2+1)5555

z+l+i=l+2i,其虛部為2.故選B.

12.(2021全國乙卷)設(shè)2(z+7)+3(z-7)=4+6i,貝I」z=()

A.l-2iB.l+2i

C.l+iD.l-i

踴C

|解析|設(shè)z=x+yi(xj￡R),則5=x-yi,2(z+乃+3(z-乃=4x+6yi=4+6i,得x=l,y=l,故z=l+i.

13.關(guān)于x的方程3f-%-l=(10-x-2x2)i有實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的值等于.

客剽11或？

設(shè)方程的實(shí)數(shù)根為尸犯則原方程可變?yōu)?623n-1=(10-m-2M2人

“，3根2-2什1=071

所以｛2'解得〃=11或

(10-m-2m2=o,5

14.設(shè)z是虛數(shù)M=Z+Z是實(shí)數(shù)，且?1<口<2.

Z

⑴求Z的實(shí)部的取值范圍；

⑵設(shè)〃二產(chǎn)，證明〃為純虛數(shù).

l+z

⑴解因?yàn)閆是虛數(shù)，所以可設(shè)z=x+yi/,y￡R且歸0.所以

,1,?,1,-,x-yi,x.(y

co=z+-=x+yi+--r=x+yi+——=x+——+y--~~7)1.

zJx+yix2+y72x2+y72\x2+y2/

因?yàn)閟是實(shí)數(shù)且歸0,所以yT4=°，

所以f+V=l.此時(shí)co=2x.

因?yàn)?1<①<2,所以-1<2X<2,從而有微4<1,即z的實(shí)部的取值范圍是G，l).

(2悔碉設(shè)z=x+yi“j￡R,且j#0,

由⑴知爐+產(chǎn)=1,

?_l-z_l-(x+yi)_(1-%-yiXl+x-yi)

??~l+z~l+(x+yi)~(l+x)24-y2

二字孝學(xué)二-六i.因?yàn)樗訨-刈,所以〃為純虛數(shù).

(1+xr+y21+xk2/'1+x

123復(fù)數(shù)的幾何意義

1.在平行四邊形48co中,對角線AC與3。相交于點(diǎn)O,若向量5Z而對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別

是3+i,-l+3i,則前對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）

A.2+4iB.-2+4i

C.-4+2iD.4-2i

制D

庭明依題意有而=瓦？=初一而，而（3+i）-（-l+3i）=4-2i,即而對應(yīng)的復(fù)數(shù)為4-2i,故選

D.

2.若zi=2+i,Z2=3+〃i（Q￡R）,且zi+z2所對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，則a的值為（）

A.3B.2C.lD.-1

答案|D

解析由于+z2=2+i+3+〃i=(2+3)+(l+〃)i=5+(l+〃)i.因?yàn)镹I+Z2所對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，所

鼠1+。=0,故a=-\.

3.(多選)給出下列復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，這些點(diǎn)中對應(yīng)的復(fù)數(shù)為虛數(shù)的是［)

A.(3,l)B.(-2,0)

C.(0,4)D.(-l,-5)

|答案|ACD

除麗易知選項(xiàng)A,B,C,D中的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為3+i,-2,4i"-5iE此A,C,D中的點(diǎn)對應(yīng)

的復(fù)數(shù)為虛數(shù).

4.已知復(fù)數(shù)f-6x+5+(x-2)i在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)在第三象限,則實(shí)數(shù)x的取值范圍

是.

疆(1,2)

而由已知，得儼+5<°，解得l<x<2.

1------1(x-2<0,

5.已知i為虛數(shù)單位,設(shè)復(fù)數(shù)Z1,Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，若zi=2-3i,則

Z2=.

霹-2+3i

解析|在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=a+bi(a,0￡R)與點(diǎn)伍力)一一對應(yīng).因?yàn)辄c(diǎn)(",/?)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)

為則復(fù)數(shù)z2=?2+3i.

6.若復(fù)數(shù)z=(m2-9)+(/w2+2w-3)i是純虛數(shù)，其中，則|z|二,z=.

|答案|12-12i

|解析|由條件知｛：2g=”所以機(jī)=3,因此z=12i,故|z|=12,5=42i.

7.設(shè)z￡C,則滿足條件|z|=|3+4i|的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？

國方法一由|z|=|3+4i|得|z|=5.這表明向量被的模等于5,即點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離等于5.

因此,滿足條件的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以5為半徑的圓.

方法二設(shè)z=x+yi(xjeR),則Izp^+y2.

因?yàn)閨3+4i|=5,所以由|z|=|3+4i|得f+)?=25,故點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心，以5為

半徑的圓.

8.(2019全國I)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z?i|=l,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為。,),則()

A.(X+i產(chǎn)+產(chǎn)iB.(X?iy+產(chǎn)i

Cf+0?1/=1Dd+(y+1)2=1

甌C

|解析［設(shè)z=x+yi(xj￡R).因?yàn)閦-i=x+(y-l)i,所以|z-i|=J/+(yj)2=］，則f+。，1)2=］故選

C

9.若|z|+z=3+i,貝Uz=()

▲?4?4?

A.1—iB.1v+-1

33

C.2+iD.--+i

33

奉c

|解析|設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y￡R),依題意有/^T5^+x+yi=3+i,因此卜十"一'解得

4

W故Z=K

ly=1,3

10.(2020天津檢測)設(shè)zWC,且|z+U-|z-i|=O,則|z+i|的最小值為()

A.0B.lC.—D.-

22

踴C

障附由|z+l|=|z-i|知，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以(-1。)和(0,1)為端點(diǎn)的線段

的垂直平分線，即直線產(chǎn)-x,而|z+i|表示直線產(chǎn)-x上的點(diǎn)到點(diǎn)(0,-1)的距離，其最小值等于

點(diǎn)(0,-1)到直線y=-x的距離即為

11.(多選)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z=?l-2i,i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是()

A.|z|=V5

B.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限

C.z的共枕復(fù)數(shù)為-l+2i

D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線y=-2x上

SMIAC

解樹z|二J(-l)2+(-2)2=V5,A正確;復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-2),在第三

象限,B不正確;z的共貌復(fù)數(shù)為-l+2i,C正確;復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)(-1,-2)不在直線

y=-2x_L,D不正確.

12.(多選)設(shè)z=(2/24-5/-3)+(/2+2z+2)iR,i為虛數(shù)單位，則以下結(jié)論正確的是()

A.z對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限

B.z一定不為純虛數(shù)

C.z一定不為實(shí)數(shù)

D.5對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸的下方

^M|CD

麗|因?yàn)?產(chǎn)+5b3=26+3-荒247+2-2=(什1)2+1>0,所以，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)

軸上方，故A錯(cuò)誤;當(dāng)信即-3或4時(shí),z為純虛數(shù)，故B錯(cuò)誤;因?yàn)?/p>

尸+2什2>0恒成立，所以z一定不為實(shí)數(shù)，故C正確;由選項(xiàng)A的分析知,z對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸

的上方，所以5對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸的下方，故D正確.

13.在復(fù)平面內(nèi)，已知?jiǎng)t復(fù)數(shù)z=m2Q+4)-m2-24+2)i所對應(yīng)的點(diǎn)在第兒象限?復(fù)數(shù)z

明對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是什么？

廨?:+4=(。?1)2+323,

-(cr-2a+2)=-(a-1)2-1-1,

???z的實(shí)部為正數(shù)，虛部為負(fù)數(shù)，

?,?復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.

設(shè)z=x+W(“GR),喉髭祟),

消去〃2_2〃,得y=-x+2(x23),?,?復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是一條射線，其方程為y=-

x+2(x23).

14.復(fù)平面內(nèi)三點(diǎn)A,8,C分別對應(yīng)復(fù)數(shù)l,2i,5+2i,則由A,仇。所構(gòu)成的三角形是()

A.直角三角形B.等腰三角形

C,銳角三角形D.鈍角三角形

踴A

隨附|AB|=|2i-l|=J^|4C|=|4+2i|=兩，@C|=5,???|BC[2=|AB|2+|AQ2.故選A.

12.4*復(fù)數(shù)的三角形式

1.將復(fù)數(shù)z=3[cos(-1)+isin(-/化成代數(shù)形式為;|z|=.

霞-3i3

|解析|z=3(0-i)二?3i,|z|=3.

2.將復(fù)數(shù)z=-2V3+2i化成三角形式是.

|答案|4(COS|TT+isin')

,------(叵

麗|模長|z|二(?28產(chǎn)+22=4,設(shè)輻角為"所以]cos0一=故輻角主值為為所以

7(sin0=1,6

z=4^cos|n+isin/).

3.[2(cos60°+isin60°)]3=.

彝-8

解稠原式=23[cos(60。x3)+isin(60°x3)]

=8(cos180°+isin180°)=-8.

4.計(jì)算:4(cos800+isin80°)-r[2(cos320°+isin320°)].

黝(cos800+isin80°)-r[2(cos320°+isin320°)]

=2[cos(80°-320°)+isin(80°-320°)]

=2[cos(-240°)+isin(-240°)]

=2(-/爭)=-1+圾.

5.己知zi=Vcos7+isin",Z2=6(cos；+isin；),計(jì)算zizz,并說明其幾何意義.

2\33/66

頤|ZIZ2二31COS停+￡)+isin(；+￡，]

二3(cos]+isin/)=3i.

首先作復(fù)數(shù)Z]對應(yīng)的向量西，然后將西繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)E,再將其長度

伸長為原來的6倍，得到的向量即為Z1Z2所對應(yīng)的向量.

6.己知復(fù)數(shù)z=r(cose+isin。),依，求工的三角形式.

Z

隧='黑SO：：；*)=3cos(0。劭+isin(O°劭]W[cos(-?)+isin(-。)].

7.萊昂哈德?歐拉發(fā)現(xiàn)并證明了歐拉公式e^=cos夕+isin。，從而建立了三角函數(shù)和指數(shù)函

數(shù)的關(guān)系.若將其中的。取作兀就得到了歐拉恒等式已加+1=0,它是數(shù)學(xué)里令人著迷的一

個(gè)公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)量聯(lián)系起來:兩個(gè)超越數(shù)(自然對數(shù)的底數(shù)e,圓周率兀),

兩個(gè)單位(虛數(shù)單位i,自然數(shù)單位1)以及0.請你根據(jù)歐拉公式/=cos6+isin。，解決以下

問題：

⑴試將復(fù)數(shù)e學(xué)寫成〃+砥〃/wR,i是虛數(shù)單位)的形式；

⑵試求復(fù)數(shù)爵+；的模.

解1)根據(jù)歐拉公式可得國=cosg+isi嗎=1+爭.

(2)由題意可知e學(xué)+-=-+-\+-=\+—\,

22222

因此產(chǎn)+4=5+(3=當(dāng)

8.復(fù)數(shù)Z=-l+(詈)2。2T的輻角主值為

廨麗為巖，所以(皆)2021402』

所以z=-1+i=>/2(cos—+isin—),

44

所以復(fù)數(shù)z的輻角主值為生.

4

9G爭）"的二-------,

葬-A：

)]二[cos(一手)+isin用]」3(

9+isin(-聯(lián)3^cos-+isin-

22

cos^+isin?]=(cos手+isin,)4-[3(cos-j+isin^)]=11-cos(^"-2)+'s^n(^"

10.已知復(fù)數(shù)z的模為2,實(shí)部為次,求復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式和三角形式.

網(wǎng)由題意，可設(shè)z=V3+/?i(/?eR).V|z|=2,

：?3+82=2,解得Z?=±l,/.2=V3+i或z=V3-i.

化為三角形式，得z=2(cos：+isin：)或z=21cos(-+isin^-J.

11.計(jì)算下列各式的值：

(D(-；十^i)x12(cosAisin?];

(2)3(cos63°+isin63°)x2(cos99°+isin99°)x5(cos108°+isin108°).

§(l)(-1+yi)x12(cosAisinp]

(2n..2nJIXn..TtJ

=''Cos——+isin—，xL2'cos—+isin—，J

3333

=2(cos兀+isinn)=-2.

(2)3(cos63°+isin63°)x2(cos99°+isin99°)x5(cos108°-isin108°)=30(cos

2700+isin270°)=-30i.

]2求證.(cos3e+isin38)3(cos28+isin26)

=cos仇isin0.

(cos40+isin40)6

場左邊_(cos90+isin90)(cosl40+isinl40)

(cos240+isin240)

_(cos236+isin236)二cos(-0)+isin(-0)二cos仇isin0=右邊.

(cos240+isin240)

13.已知女是實(shí)數(shù)⑷是非零復(fù)數(shù),且滿足argco=^,(1+a))2+(1+i)2=1+kco.

⑴求U

⑵設(shè)z=cos6+isin[0,2兀)，若|Z-G|=1+&,求0的值.

網(wǎng)(l)argco=當(dāng)可設(shè)co=a-ai(a^R\

將其代入(1+石產(chǎn)+(]+j)2=]+心,

化簡可得2。+2。(1+a)i+2i=〃a-〃ai,

*fa)+2=-3解得k=2,

a=-1,

.\(o=-l+i.

(2)|z-(y|=|(cosJ+l)+(sin。-l)i|

J(cos0+l)2+(sin0-l)2

=J3+2(cos8-sin6)

=j3+2V^cos(9+》

V\z-co\=1+V2,AJ3+2V2cos(6+力1+/,

化簡得cos(6+g=L

?^^外%2兀+}.?外尸2私即敘停

第12章測評(píng)

(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分.共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中.只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z=2+i,則zz=()

A.V3B.V5C.3D.5

踴D

I,z=2+i,?,?z=2-i..*.zz=(2+i)(2-i)=5.故選D.

2.(2021河南鄭州一模)復(fù)數(shù)z=。,在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于()

1-1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案D

解析:z=3=苦立-=l+i,，?Z=的共輪復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為

1-1+

位于第四象限.故選D.

3.設(shè)行磊則|z|二()

A.2B.A/3C.V2D.l

弱C

朝?；=旦,?..z=0娛二二i,

IIl+2f(l+2i)(l-2i)55'

***'z'==/?故選c.

4.(2021四川成都鄲都期中)復(fù)數(shù)i+i12+i3+-+i202,=()

A.i-1B.i

C.-lD.O

踴B

|解析|Vi+i2+i34-i4=0,i202l=(i4)505*i=i,/.i+i2+i3+***+i2⑼=505x0+i=i,故選B.

5.(2021甘肅白銀靖遠(yuǎn)模擬)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足匠2i|=3,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則

()

A.(x-2)2+y2=9B.(x+2)2+y2=9

Cf+(y-2)2=9D.f+(y+2)2=9

函D

解析因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),所以5=x-)”，故5-2i=x+(-y-2)i,因?yàn)閨z-2i|=3,所以

卜+(y+2)2=3,化簡可得f+(>+2)2=9.故選D.

6.己知復(fù)數(shù)zi=cos23°+isin23°和復(fù)數(shù)Z2=cos37°+isin37°,則2底2為()

1.V3.V3,1.

AA-H----1BD.——FT

2222

1V3.^V31.

2222

■A

|解析|ZIZ2=COS(23°+37°)+isin(23°+37°)=cos60°+isin60°=14-^i.

7.已知z是復(fù)數(shù)，且p:z=1+當(dāng)i;g:z+}eR.則p是q的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C,充要條件

D.既不充分也不必要條件

宜A

健麗顯然，當(dāng)z=i+尊時(shí),z+工=；+孚+七=；+,+爭=16R,但當(dāng)z+如R時(shí)，若令

1------122Z22221Z

22

z=Q+bi(〃,/?￡R),則a+bi+、^=(d+)+(b-i,所以有Z;=0或42+〃=］不一定有

a+biUaz+b2a2J+b2J

z=|+爭.故〃是q的充分不必要條件，選A.

8.關(guān)于復(fù)數(shù)z的方程|z|+2z=13+6i的解是()

A.3+4iB.4+3i

C—+3iD.3+—i

33

I解析I設(shè)z=x+yi(xj￡R),則有J/+y2+2x+2yi=13+6i,于是-Jx-y+2x—13,解得

(2y=6,

廣::'或產(chǎn)=三'因?yàn)?3-2x20,故后身，所以x=竺不符合要求，故z=4+3i.

(、=J(y=3,23

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中.有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.(2021湖南模擬)已知復(fù)數(shù)z=(l+2i)(2-i*為z的共輾復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A.z的虛部為3i

B.|z|=5

C.z-4為純虛數(shù)

D.5在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限

|答案|BCD

畫因?yàn)閦=(l+2i)(2-i)=4+3i,所以Z的虛部為3,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;因?yàn)橐蚨z|="TP=5,所

鼠選項(xiàng)B正確;因?yàn)閦-4=3i為純虛數(shù)，所以選項(xiàng)C正確;因?yàn)?=4-3i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)

(4,-3)在第四象限，所以選項(xiàng)D正確.故選BCD.

10.已知復(fù)數(shù)z=a+bi(〃,b￡R),且。+力=1,下列說法正確的是()

A.?不可能為純虛數(shù)

B.若z的共馳復(fù)數(shù)為5,且z=Z則z是實(shí)數(shù)

C.若z=|z|,則z是實(shí)數(shù)

D.|z|可以等于:

|答案|BC

|解析|當(dāng)〃=0時(shí)/=1,此時(shí)z=i為純虛數(shù),A錯(cuò)誤;若z的共艇復(fù)數(shù)為，，且z=5,則a+bi=a-b\,

所以Z?=O,B正確;由|z|是實(shí)數(shù)，且z=|z|知,z是實(shí)數(shù),C正確;若|z|二；則/+〃=工，又〃+6=1,所

24

鼠84?8。+3=0公=-32<0,無實(shí)數(shù)解，即\z\不可以等于1,D錯(cuò)誤.

11.(2021山東德州二模)已知復(fù)數(shù)zi=W(i為虛數(shù)單位)，下列說法正確的是()

A.zi對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限

B.zi的虛部為-1

C.Zj=4

D.滿足|z|=|zi|的復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,半徑為2的圓上

矗］AB

齷麗復(fù)數(shù)z尸二二-丹興=對應(yīng)的點(diǎn)(-1,-1)在第三象限，故A正確;zi的虛部為-1,故

B正確;(zl)4二(?l?i)4=(2i)2=-4,故C不正確;|zl|二/,滿足|z|二|zl|的復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在以原

點(diǎn)為圓心,半符為血的圓上，故D不E確.故選AB.

12.設(shè)/(O)=cosO+isin6(i為虛數(shù)單位)，則#(J)=cos2^+isin2?/(?)=cos36+isin3。,…，若

嚴(yán)(。)為實(shí)數(shù)，則0的值可能等于()

答案|AC

|解析F'SACOS10<9+isin10。,要使嚴(yán)(。)為實(shí)數(shù),則sin10e=0,10e=E(Z￡Z),故6>=^e

Z),當(dāng)k=T時(shí),。書,當(dāng)代2時(shí),。三

三、填空題:本題共4小題,每小題5分.共20分

13.若7-=a+Oi(i為虛數(shù)單位，。/￡R),則a+b=__________.

1-1

|解析|因?yàn)閃=2(i+i)=i+i=〃+歷所以a=b=l.故a+b=2.

1---------1i-i(1-iXi+i)

14.(2021湖南長沙天心校級(jí)期中)己知2i-3是關(guān)于x的方程源+*+26=0的一個(gè)根，則實(shí)

數(shù)p=.

踴12

V2i-3是關(guān)于x的方程及+「汗+26=0的一個(gè)根,J-2i-3是關(guān)于x的方程

2r+px+26=0的另一個(gè)根，則(2i?3)+(-2i?3)=-(得p=12.

15.如果復(fù)數(shù)z滿足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+l+i|的最小值是，最大值

是.

重1V5

廨樹由

于|z+i|+|z?i|=2,則點(diǎn)Z在以(0,-1)和(0,1)為端點(diǎn)的線段上,|z+l+i|表示點(diǎn)Z到點(diǎn)(/,/)的

距離.由圖知最小值為1,最大值為巡.

16已知復(fù)數(shù)z滿足|z+2-4i|=2,則七1|的取值范圍是.

霞[3,7]

|解析|設(shè)zr+yi(xj￡R),

,??復(fù)數(shù)z滿足|z+24|=2,

???J(%+2)2+(y-4)2=2,即(X+2)2+U-4)2=4.

???在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)Z表示的是以(-2,4)為圓心,r=2為半徑的圓.

???|z-l|表示的是點(diǎn)Z與(1,0)之間的距離，

又圓心與點(diǎn)(1,0)之間的距離d=J(-2-l)2+42=5,

???|z-11的范圍是[d-rd+r],即[3,7].

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=l+3i-z,求業(yè)笠叨的值.

2z

廨設(shè)z=a+b\(a,b￡R),V|z|=1+3i-z,

Va2+b2-1?3i+〃+bi=0,

即｛2+a"=°'解得｛;二"

/.z=-4+3i,

22

.(l+i)(3+4i)2i(-7+24i)24+7io,..

??一五一=’兩=F=3+4L

18.(12分)當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值或何取值范圍時(shí)，復(fù)數(shù)z=尤士+(標(biāo)?2⑼i符合下列要求?

m

⑴實(shí)數(shù).

⑵虛數(shù).

⑶純虛數(shù).

網(wǎng)⑴若Z為實(shí)數(shù)，可得敷2?胃=°，解得機(jī)=2.

1—1(771H0,

所以當(dāng)m=2時(shí),Z為實(shí)數(shù).

(2)若z為虛數(shù)，則虛部/n2-2/n#),JL〃#0,

解得*2,且*0.所以當(dāng)機(jī)的取值范圍為(?oo,0)U(0,2)U(2,+8)時(shí)修為虛數(shù).

2

m+m-6_n

(3)若Z為純虛數(shù)，則F-='解得m=-3.