2022屆云南省高三333高考備考診斷性聯(lián)考二數(shù)學(xué)理試題解析版

2022屆云南省高三“3+3+3”高考備考診斷性聯(lián)考（二）數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)解一元二次不等式的方法，結(jié)合集合交集的定義進行求解即可.【詳解】因為，，所以，故選：B2．（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算即可求出答案.【詳解】解：.故選：A.3．如圖所示的莖葉圖記錄了甲?乙兩種商品連續(xù)10天的銷售數(shù)據(jù)，則下列說法錯誤的是()A．乙銷售數(shù)據(jù)的極差為24 B．甲銷售數(shù)據(jù)的眾數(shù)為93C．乙銷售數(shù)據(jù)的均值比甲大 D．甲銷售數(shù)據(jù)的中位數(shù)為92【答案】D【分析】根據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù)逐項分析即可判斷.【詳解】乙銷售數(shù)據(jù)的極差是112－88＝24，故A正確；甲銷售數(shù)據(jù)的眾數(shù)為93，故B正確；甲銷售數(shù)據(jù)的均值為(80×3＋90×5＋100×2＋7＋6＋4＋9＋8＋3＋3＋1＋6＋3)×＝94，乙銷售數(shù)據(jù)的均值為(80＋90×4＋100×4＋110＋8＋5＋7＋8＋8＋1＋2＋3＋6＋2)×＝100，∴乙銷售數(shù)據(jù)的均值比甲大，故C正確；甲銷售數(shù)據(jù)的中位數(shù)為93，故D錯誤.故選：D.4．朗伯比爾定律（Lambert-Beerlaw）是分光光度法的基本定律，是描述物質(zhì)對某一波長光吸收的強弱與吸光物質(zhì)的濃度及其液層厚度間的關(guān)系，其數(shù)學(xué)表達式為，其中A為吸光度，T為透光度，K為摩爾吸光系數(shù)，c為吸光物質(zhì)的濃度，單位為，b為吸收層厚度，單位為.保持K，b不變，當(dāng)吸光物質(zhì)的濃度增加為原來的兩倍時，透光度由原來的T變?yōu)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題中所給公式用表示增加前的，然后再求出增加后的，從而可得出答案.【詳解】解：由，得，所以，當(dāng)保持K，b不變，當(dāng)吸光物質(zhì)的濃度增加為原來的兩倍時，則，所以，所以，所以透光度由原來的T變?yōu)?故選：B.5．直線與雙曲線在第一、第三象限分別交于P、Q兩點，是C的右焦點，有，且，則C的離心率是()A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知為矩形，求出、即可根據(jù)雙曲線定義求出2a，從而根據(jù)離心率計算公式求解.【詳解】由對稱性可知四邊形為平行四邊形，又由得四邊形為矩形，∴，又，∴，，∴有，∴.故選：C.6．甲?乙?丙三位同學(xué)中只有一人會跳拉丁舞，甲說：我會；乙說：我不會；丙說：甲不會；如果這三人中有且只有一人說真話，由此可判斷會跳拉丁舞的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．無法確定【答案】B【分析】先閱讀題意，再結(jié)合簡單的合情推理逐一檢驗即可得解．【詳解】解：①若會跳拉丁舞的是甲同學(xué)，則這甲、乙說的真話，與題設(shè)矛盾，故會跳拉丁舞的不是甲，②若會跳拉丁舞的是乙三位同學(xué)，則這三人中有且只有丙一人說真話，與題設(shè)相符，故會跳拉丁舞的是乙，③若會跳拉丁舞的是丙三位同學(xué)，則這三人中乙、丙兩人說的是真話，與題設(shè)矛盾，故會跳拉丁舞的不是丙，綜上可得：會跳拉丁舞的是乙.故選：B.7．如圖，在一個正方體中，E，G分別是棱，的中點，F(xiàn)為棱靠近C的四等分點.平面截正方體后，其中一個多面體的三視圖中，相應(yīng)的正視圖是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件可得平面經(jīng)過點，然后可得答案.【詳解】連接因為E，G分別是棱，的中點，F(xiàn)為棱靠近C的四等分點所以，所以平面經(jīng)過點所以多面體的正視圖為故選：D8．（）A． B． C． D．2【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式和降冪公式化簡即得解.【詳解】解：由題得.故選：C9．如圖甲，首鋼滑雪大跳臺是冬奧歷史上第一座與工業(yè)遺產(chǎn)再利用直接結(jié)合的競賽場館，大跳臺的設(shè)計中融入了世界文化遺產(chǎn)敦煌壁畫中“飛天”的元素.如圖乙，某研究性學(xué)習(xí)小組為了估算賽道造型最高點A距離地面的高度（與地面垂直），在賽道一側(cè)找到一座建筑物，測得的高度為h，并從C點測得A點的仰角為30°；在賽道與建筑物之間的地面上的點E處測得A點，C點的仰角分別為75°和30°（其中B，E，D三點共線）.該學(xué)習(xí)小組利用這些數(shù)據(jù)估算得約為60米，則的高h約為（）米（參考數(shù)據(jù)：，，）A．11 B．20.8 C．25.4 D．31.8【答案】C【分析】易得，在中，求出，在中，利用正弦定理求得，在解直角三角形即可得出答案.【詳解】解：由題意可得，則，在中，，在中，因為，所以，所以，又，所以（米）.故選：C.10．隨著北京冬殘奧會的開幕，吉祥物“雪容融”火遍國內(nèi)外，現(xiàn)有3個完全相同的“雪容融”，甲?乙?丙3位運動員要與這3個“雪容融”站成一排拍照留念，則有且只有2個“雪容融”相鄰的排隊方法數(shù)為（）A．36 B．72 C．120 D．432【答案】B【分析】先將三位運動員排成一排，形成的4個空隙，再將2組“雪容融”插入4個空隙即可，這里要注意“雪容融”完全相同，是沒有順序的.【詳解】解：甲、乙、丙3位運動員站成一排，在三位運動員形成的4個空隙中選兩個，一個插入2個“雪容融”，一個插入1個“雪容融”，共有種排法.故選：B.11．已如A，B，C是表面積為的球O的球面上的三個點，且，，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)球的半徑為，外接圓的半徑為，根據(jù)題意求出，再根據(jù)球心到的距離，即三棱錐的高，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)球的半徑為，外接圓的半徑為，在中，由，，則得，所以，因為球O的表面積為，則，解得，所以球心到的距離，即三棱錐的高為，，所以三棱錐的體積.故選：C.12．定義域為R的函數(shù)滿足：①對任意，都有；②函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.若實數(shù)s，t滿足，則當(dāng)時，的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】現(xiàn)根據(jù)題目對函數(shù)性質(zhì)的描述得出函數(shù)是關(guān)于軸對稱，且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，從而得到，去絕對值得到不等式組，利用線性規(guī)劃求解即可.【詳解】由題，由條件①結(jié)合單調(diào)性定義可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由條件②可知，函數(shù)向左平移2個單位關(guān)于y軸對稱則說明關(guān)于軸對稱；所以是關(guān)于軸對稱，且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增的函數(shù)；若實數(shù)s，t滿足，結(jié)合圖像，則說明橫坐標(biāo)距離越近，函數(shù)值就越??；所以可得關(guān)于實數(shù)s，t的不等式，兩邊平方得所以得：①或②；令,畫出不等式組可行域：聯(lián)立方程組得點；，令，由此的范圍可看作點A與B，C兩點連線斜率的范圍，即，所以所以故選：A二、填空題13．曲線在點處的切線方程為___________.【答案】【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，得到斜率，點斜式寫出切線方程.【詳解】因為，所以，所以.所以曲線在點處的切線方程為，即.故答案為：14．若，，則與夾角的余弦值為___________.【答案】【分析】先利用得到，再結(jié)合化簡得出結(jié)果.【詳解】設(shè)與的夾角為，由得，即，又，，解得.故答案為：.15．已知點P在圓上，，，則的最小值為___________.【答案】【分析】設(shè)，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：由點P在圓上，可設(shè)，則，所以，當(dāng)，即，即時，取得最小值.故答案為：.16．在銳角三角形中，D是線段上的一點，且滿足，，則的最小值是___________.【答案】6【分析】根據(jù)，可得點是的中點，不妨設(shè)，作交于點，設(shè)，則，再根據(jù)三角函數(shù)內(nèi)角關(guān)系及兩角和的正切公式求得，從而可將用表示，再利用導(dǎo)數(shù)即可求出答案.【詳解】解：因為，所以，即，所以點是的中點，不妨設(shè)，作交于點，設(shè)，因為，所以，則，則，故，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，所以的最小值是6.故答案為：6.三、解答題17．冰墩墩是2022年北京冬季奧運會的吉祥物，將熊貓形象與富有超能量的冰晶外殼相結(jié)合，頭部外殼造型取自冰雪運動頭盔，裝飾彩色光環(huán)，整體形象酷似航天員，深受廣大民眾的喜愛，已成為最火爆的商品，“一墩難求”.某調(diào)查機構(gòu)隨機抽取100人，對是否有意向購買冰墩墩進行調(diào)查，結(jié)果如下表：年齡/歲抽取人數(shù)102025151875有意向購買的人數(shù)10182291042(1)若以年齡40歲為分界線，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為購買冰墩墩與人的年齡有關(guān)？年齡低于40歲的人數(shù)年齡不低于40歲的人數(shù)總計有意向購買冰墩墩的人數(shù)無意向購買冰墩墩的人數(shù)總計(2)若從年齡在的被調(diào)查人群中隨機選出3人進行調(diào)查，設(shè)這三人中打算購買冰墩墩的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有的把握性認(rèn)為購買冰墩墩與人的年齡有關(guān)；(2)分布列見解析，.【分析】（1）由表格中的數(shù)據(jù)，分別求得年齡低于40歲的人數(shù)、有意向購買的人數(shù)、年齡不低于40歲的人數(shù)、有意向購買的人數(shù)，得出的列聯(lián)表，利用公式求得觀測值，結(jié)合附表即可求解；（2）根據(jù)題意得到購買冰墩墩的人數(shù)可能取值為，求得相應(yīng)的概率，利用期望的公式，即可求解.【詳解】(1)解：由表格中的數(shù)據(jù)，可得年齡低于40歲的人數(shù)為人，其中有意向購買的人數(shù)為人，年齡不低于40歲的人數(shù)為人，其中有意向購買的人數(shù)為人，可得的列聯(lián)表，如下表所示：年齡低于40歲的人數(shù)年齡不低于40歲的人數(shù)總計有意向購買冰墩墩的人數(shù)502575無意向購買冰墩墩的人數(shù)52025總計5545100可得，所以有的把握性認(rèn)為購買冰墩墩與人的年齡有關(guān).(2)解：表格中的數(shù)據(jù)，可得年齡在的人數(shù)為7人，其中有意向購買的人數(shù)為4人，無意向購買的人數(shù)為3人，從被調(diào)查人群中隨機選出3人，打算購買冰墩墩的人數(shù)可能取值為，可得,,則隨機變量的分布列為：0123所以期望為：.18．已知正項數(shù)列的前n項和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由得出數(shù)列是等差數(shù)列，從而易得通項公式；（2）按的奇偶性分類討論，在為偶數(shù)時，并項利用因式分解再由等差數(shù)列的前項和公式計算，為奇數(shù)時，由計算可得．【詳解】(1)時，，又，解得，由得，時，，兩式相減得，，又，所以，是等差數(shù)列，所以；(2)由（1），，，為偶數(shù)時，，為奇數(shù)時，，所以．19．如圖，已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，D，E，F(xiàn)分別為，，的中點，，G為線段上一動點.(1)證明：；(2)求二面角的余弦值的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)各點的坐標(biāo)，表示出向量的坐標(biāo)，計算其數(shù)量積，可證明；（2）由（1），表示出平面和平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求得二面角的余弦值的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的知識求得最大值.【詳解】(1)在直三棱柱中，側(cè)面為正方形，所以,而,平面,所以平面,所以平面,平面,,所以,故以B為坐標(biāo)原點，以BA為x軸，以BC為y軸，以為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則,故,G為線段上一動點.,設(shè),，則，故,所以,故，所以，即；(2)由（1）可知：,設(shè)平面的法向量為，則,即，令，則，則，設(shè)平面的法向量為，則,即，則，令，則，則，故設(shè)二面角的平面角為，結(jié)合圖形,為銳角，故，令，，而函數(shù)在時單調(diào)遞增，故時，取最小值，即當(dāng)，即時，取得最大值為.20．已知圓與x軸交于A，B兩點，動點P滿足直線與直線的斜率之乘積為.(1)求動點P的軌跡E的方程；(2)過點的直線l與曲線E交于M，N兩點，則在x軸上是否存在定點Q，使得的值為定值？若存在，求出點Q的坐標(biāo)和該定值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)，；(2)存在點使得為定值，理由見解析；【分析】（1）設(shè)出動點，利用直接法求解軌跡方程；（2）先求出直線l斜率為0時不合題意，得到直線斜率不等于0，從而設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立第一問求出的軌跡方程，利用韋達定理得到兩根之和，兩根之積，設(shè)出，求解，化簡整理得到，從而得到存在點使得為定值.【詳解】(1)令得：，不妨設(shè)，，則，整理得：，；動點P的軌跡方程E為，；(2)存在點，使得為定值，理由如下：當(dāng)直線l斜率為0時，則直線l為，此時與，無交點，故不合題意，舍去，即直線l斜率不為0設(shè)，直線l設(shè)為，則與，聯(lián)立得：，設(shè)，則，所以當(dāng)即時，為定值，即存在點使得為定值；綜上：存在點使得為定值.【點睛】圓錐曲線上是否存在點使某些量為定值的題目，經(jīng)?？疾欤话泐}目計算量大，且變量多，此時要抓住核心不變量，進行化簡整理，主要方法是分離常數(shù)法，配方法等，本題中，將化簡整理為是解題的關(guān)鍵所在.21．已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，若方程有三個不同的解，求a的取值范圍.【答案】(1)詳見解析(2)【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分和討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）參變分離后得，再設(shè)，，根據(jù)兩個函數(shù)的圖象，求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)，當(dāng)時，，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，得當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，綜上可知，當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(2)由，化簡為，設(shè)，設(shè)，則，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)的最大值，畫出函數(shù)的圖象，由圖可知與的交點對應(yīng)的，一正一負(fù)，如圖，畫出函數(shù)的圖象，當(dāng)，時，對應(yīng)的值有3個，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，所以22．在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，