2020-2021學(xué)年遼寧省大連市金普新區(qū)高二下學(xué)期開學(xué)檢測數(shù)學(xué)試題解析版

2020-2021學(xué)年遼寧省大連市金普新區(qū)高二下學(xué)期開學(xué)檢測數(shù)學(xué)試題1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)A． B． C． D．【答案】B【詳解】由拋物線方程知焦點(diǎn)在x軸正半軸，且p=4，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以選B．2．若向量與向量互相垂直，則的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由，知，得到關(guān)于的方程，解方程即可得解.【詳解】因?yàn)橄蛄颗c向量互相垂直，即，解得：故選：C3．的二項(xiàng)展開式中，第四項(xiàng)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，即可得解.【詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為所以第四項(xiàng)為故選：B4．“，”是“方程表示雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的方程以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】若方程表示雙曲線，則，即，或，則“，”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件，故選：A．5．若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是直線上的動點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意，求的最小值，只需與直線垂直，再由點(diǎn)到直線距離公式，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意，為使取最小值，只需與直線垂直；

由點(diǎn)到直線距離公式可得：.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查求直線上的動點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問題，熟記點(diǎn)到直線距離公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.6．有3名男生和4名女生排成一排，其中男生必須排在一起的排列方法有（）A．120種 B．144種 C．600種 D．720種【答案】D【分析】先排女生然后將男生捆綁一起插空排，進(jìn)而結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理即可求得結(jié)果.【詳解】第一步：排女生有種；第二步：男生捆綁一起插空排有種；故男生必須排在一起的排列方法有種，故選：D.7．已知橢圓，左、右焦點(diǎn)分別在，，點(diǎn)在橢圓上，且垂直于軸，直線交軸于點(diǎn)，與橢圓的另一個交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意得，由軸，求得，利用已知結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，代入橢圓方程可得，結(jié)合，可求得，進(jìn)而求得離心率.【詳解】如圖，由題意得因?yàn)檩S，且為的中點(diǎn)，又，為中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知將代入橢圓方程可得，即又，可求得，故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求橢圓的離心率，求解離心率在圓錐曲線的考查中是一個重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出；②構(gòu)造的齊次式，求出；③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解；④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．8．正四面體，是的中點(diǎn)，是線段上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】作交于點(diǎn)，根據(jù)異面直線所成角的定義，得到，得到，作平面，根據(jù)線面角的定義得到，作交于點(diǎn)，由二面角的定義，得到，結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而求得的關(guān)系，得到答案.【詳解】如圖所示，在平面中，作交于點(diǎn)，連接，可得線與直線所成角，即為線與直線所成角，由，可得，又由，可得，所以，在等腰中，，取的中點(diǎn)，連接，可得，作平面，連接，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以為直線與平面的距離，即在上的點(diǎn)到的距離和相等，因?yàn)?，所以，可得，作交于點(diǎn)，連接，則，連接，則，所以，可得，連接，根據(jù)線面角的定義，可得，因?yàn)樵诰€段上的點(diǎn)，所以,所以，可得，綜上可得.故選：D.9．直線的方向向量為，平面的法向量為，若，能使的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】BD【分析】根據(jù)可得出，逐項(xiàng)驗(yàn)證可得合適的選項(xiàng).【詳解】已知，，則.A選項(xiàng)中，，A選項(xiàng)不滿足條件；B選項(xiàng)中，，B選項(xiàng)滿足條件；C選項(xiàng)中，，C選項(xiàng)不滿足條件；D選項(xiàng)中，，D選項(xiàng)滿足條件.故選：BD.10．關(guān)于及其展開式中，下列說法中正確的是（）A．展開式中沒有項(xiàng) B．展開式中的系數(shù)為30C．展開式中常數(shù)項(xiàng)為15 D．展開式中非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為112【答案】BD【分析】首先將式子變形為，再寫出展開式的通項(xiàng)，再一一驗(yàn)證各選項(xiàng)即可．【詳解】解：其中展開式的通項(xiàng)為．令得，故展開式中含項(xiàng)，故A錯誤；展開式中的項(xiàng)為，故展開式中系數(shù)為，故B正確．展開式中常數(shù)項(xiàng)為，故C錯誤；令，則，即展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為，故D正確；故選：．11．已知曲線，則下列說法中正確的是（）A．曲線與軸的交點(diǎn)為、B．、是曲線上任意兩點(diǎn)，若，則C．若是曲線上的任意一點(diǎn)，則D．若是曲線上的任意一點(diǎn)，當(dāng)時，【答案】ABD【分析】求出曲線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用曲線對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)的正誤；取點(diǎn)可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用曲線的方程可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，在曲線的方程中，令，可得，所以，曲線與軸的交點(diǎn)為、，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時，曲線的方程為；當(dāng)時，曲線的方程為，作出曲線的圖象如下圖所示：由圖象可知，曲線對應(yīng)的函數(shù)在上單調(diào)遞增，且該函數(shù)為偶函數(shù)，若，則，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，取點(diǎn)，則，C選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時，，可得，所以，，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.12．在矩形中，，，沿矩形對角線將折起形成四面體，在這個過程中，現(xiàn)在下面四個結(jié)論其中所有正確結(jié)論為（）A．在四面體中，當(dāng)時，B．四面體的體積的最大值為C．在四面體中，與平面所成角可能為D．四面體的外接球的體積為定值.【答案】ABD【分析】A.根據(jù)線面垂直判定定理證明平面進(jìn)而有；B.當(dāng)平面平面時，四面體的體積最大，根據(jù)體積公式計(jì)算即可；C.當(dāng)平面平面時與平面所成的角最大，計(jì)算得；D.斜邊中點(diǎn)到距離相等，所以四面體的外接球的半徑為定值，其題意奕為定值.【詳解】解：對于A.當(dāng)時，又因?yàn)槠矫?，所有平面，所以，故A正確；對于B.當(dāng)平面平面時，四面體的體積最大在中根據(jù)等面積法可得到平面的距離滿足所以，故B正確；對于C.當(dāng)平面平面時與平面所成的角最大，此時，即，故C錯誤；對于D.因?yàn)楹投际侵苯侨切吻夜残边?，所以斜邊中點(diǎn)到距離相等，所以四面體的外接球的半徑，所以四面體的外接球的體積為定值故選：ABD【點(diǎn)睛】證明線線垂直的常用方法：①由線面垂直得線線垂直；②勾股定理；③三角形中角度和為；④垂直或平行的傳遞性.13．______.【答案】【分析】直接根據(jù)組合數(shù)公式計(jì)算可得；【詳解】解：故答案為：14．已知、、，則原點(diǎn)到平面的距離為______.【答案】【分析】計(jì)算出平面的一個法向量的坐標(biāo)，利用空間向量法可求得原點(diǎn)到平面的距離.【詳解】由已知可得，，設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，而，所以，原點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.15．為積極響應(yīng)國家“精準(zhǔn)幫扶”政策的號召，現(xiàn)有家企業(yè)，對個鄉(xiāng)鎮(zhèn)進(jìn)行投資，每家企業(yè)只投資一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一個企業(yè)，則有______種不同的投資方案.【答案】【分析】先將家企業(yè)分為組，然后再將這組分配給個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，利用分類乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】先將家企業(yè)分為組，組企業(yè)數(shù)分別為、、或、、，然后再將這組分配給個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，由分布乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的投資方案種數(shù)為.故答案為：.16．已知橢圓，雙曲線.若雙曲線的漸近線與橢圓的交點(diǎn)恰好在以原點(diǎn)為圓心，橢圓的焦距為直徑的圓上，且交點(diǎn)到的距離為交點(diǎn)到距離的倍，則橢圓的離心率為______；雙曲線的離心率為______.【答案】2【分析】首先求出雙曲線的漸近線，根據(jù)交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的特征，得到，即可求出離心率，再表示出一個交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)交點(diǎn)在橢圓上得到方程，即可求出橢圓的離心率；【詳解】解：依題意雙曲線的漸近線方程為，又交點(diǎn)到的距離為交點(diǎn)到距離的倍，所以，所以雙曲線的離心率為設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則一個交點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即，，即，即，解得（舍去）或，所以故橢圓的離心率為故答案為：；17．已知直線，圓.（1）求經(jīng)過圓心且與平行的直線方程；（2）求垂直于直線且與圓相切的直線方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）由題知直線過圓心，斜率為，利用點(diǎn)斜式得直線方程；（2）由已知得到所求直線的斜率，結(jié)合直線與圓相切即可求得直線方程.【詳解】（1）所求直線過圓心，斜率為，所以直線方程為，即（2）設(shè)所求直線斜率為，，所以，設(shè)直線方程為，所求直線與圓相切，即圓心到所求直線的距離等于圓的半徑，即，解得或.所求直線方程為或.18．在①拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6；②拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面的問題中，求出的值.問題：已知拋物線頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上______.若此拋物線與直線相交于不同的兩點(diǎn)，，且中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，求的值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.【答案】選①，；選②，.【分析】選①，由題意可知拋物線方程為，設(shè)，,聯(lián)立直線和拋物線方程由韋達(dá)定理即得解；選②，由題得拋物線方程為，聯(lián)立直線和拋物線方程，由韋達(dá)定理即得解.【詳解】若選①由題意可知，，解得：所以拋物線方程為，設(shè)，得，，即，，即或，又，所以.若選②，由得，由點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，得，解得：.所以拋物線方程為，設(shè)，得，，即，，即或，又，所以.19．如圖，在直棱柱中，為的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若直棱柱的底面為等腰直角三角形，且，，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接，可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，方向?yàn)?，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與所成角的正弦值.【詳解】（1）連接，則為的中點(diǎn)，且，故四邊形為平行四邊形，因?yàn)榕c相交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，，又平面，平面，所以平面；（2）因?yàn)闉榈妊苯侨切?，且，故，因?yàn)榈酌?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，方向?yàn)?，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，設(shè)直線與平面所成角為，則，因此，直線與平面所成角的正弦值為.20．已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在軸上的投影為，動點(diǎn)滿足.（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)不過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率之和為，求證：直線過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）設(shè)，，則，由，得代入圓即可得解；（2）分類討論直線斜率存在時，設(shè)為，，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合，求得，進(jìn)而得到直線過定點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在時，利用橢圓的對稱性可求得兩個交點(diǎn)，即可證得直線過定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)，，則，因?yàn)椋约?，又因?yàn)?，所以?（2）設(shè)，，由已知得斜率存在時，設(shè)其方程為，，聯(lián)立方程得，則由韋達(dá)定理得，，所以，直線方程為，過定點(diǎn)當(dāng)直線斜率不存在時，直線與橢圓的兩個交點(diǎn)關(guān)于對稱，所以，，所以，所以的方程為，過點(diǎn)成立，綜上可知，直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求直線過定點(diǎn)，求直線過定點(diǎn)的思路：（1）設(shè)直線的點(diǎn)斜式，找到斜率與截距的關(guān)系，確定定點(diǎn)；（2）根據(jù)題目中的信息求出直線（如兩點(diǎn)），確定定點(diǎn)；（3）根據(jù)圓錐曲線的性質(zhì)確定直線定點(diǎn)的性質(zhì)，然后由性質(zhì)確定準(zhǔn)確的定點(diǎn).21．如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為矩形，且，，、分別、的中點(diǎn).（1）證明：；（2）設(shè)，點(diǎn)在線段上，且異面直線與所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）證明出平面，可得出，利用正弦定理可證明出，利用線面垂直的判定定理可得出平面，由此可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、方向?yàn)椤?、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【詳解】（1）在中，根據(jù)正弦定理有，即，得，即，所以.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?又因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以；?）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、方向?yàn)椤?、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.則、、、、、、，設(shè)，，，即，得，所以，，，化簡得，解得或（舍），所以，，，設(shè)平面的法向量，則，取，可得，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，則，即二面角的余弦值為.22．已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，，離心率，點(diǎn)為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，上一點(diǎn)滿足的最大值與最小值之和為8.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與交于，兩點(diǎn)，且，是否存在以為圓心的圓與相切，若存在，求出圓的方程，若不存在，請說明理由；（3）若直線與交于，兩點(diǎn)，且，求的最大值.【答案】（1）；（2）存在，；（3）.【分析】（1）由已知結(jié)合橢圓的定義將轉(zhuǎn)化為，當(dāng)在以為端點(diǎn)的射線上時，取得最值，可求出a，結(jié)合離心率，即可求解；（2）討論直線斜率存在，則設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用判別式大于0，韋達(dá)定理以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，求得原點(diǎn)O到直線的距離，即可判斷是否存在圓；直線斜率不存在，則設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，求得，進(jìn)而得到原點(diǎn)O到直線的距離，即可判斷是否存在圓；（3）由（2）得到的距離，求得斜率不存在時，；斜率存在時，，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)求最值.【詳解】（1）有橢圓的定義知，則又，所以最大值與最小值之和為，所以∵，∴，橢圓的方程為.（2）存在以