第16講、極值與最值（學(xué)生版）

[在此處鍵入][在此處鍵入]第16講極值與最值知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一：極值與最值1、函數(shù)的極值函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱(chēng)是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作．如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱(chēng)是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值，稱(chēng)為極值點(diǎn)．求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟（1）先確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）求方程的根；（4）檢驗(yàn)在方程的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值．注：①可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號(hào)導(dǎo)號(hào)．②是為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點(diǎn)．另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點(diǎn)是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)；但為的極值點(diǎn)．2、函數(shù)的最值函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者．導(dǎo)函數(shù)為（1）當(dāng)時(shí)，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．（2）當(dāng)時(shí)，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開(kāi)區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得．【解題方法總結(jié)】（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，且值域?yàn)椋瑒t不等式在區(qū)間D上恒成立．不等式在區(qū)間D上恒成立．（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對(duì)不等式有解問(wèn)題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，如值域?yàn)?，則對(duì)不等式有解問(wèn)題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解不等式在區(qū)間D上有解（5）對(duì)于任意的，總存在，使得；（6）對(duì)于任意的，總存在，使得；（7）若存在，對(duì)于任意的，使得；（8）若存在，對(duì)于任意的，使得；（9）對(duì)于任意的，使得；（10）對(duì)于任意的，使得；（11）若存在，總存在，使得（12）若存在，總存在，使得．必考題型全歸納題型一：求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)【例1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)存在一個(gè)極大值與一個(gè)極小值滿(mǎn)足，則至少有（

）個(gè)單調(diào)區(qū)間.A．3 B．4 C．5 D．6【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（

）A．B．函數(shù)在x＝c處取得最大值，在處取得最小值C．函數(shù)在x＝c處取得極大值，在處取得極小值D．函數(shù)的最小值為【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則“在上有兩個(gè)零點(diǎn)”是“在上有兩個(gè)極值點(diǎn)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2024·廣西南寧·南寧三中校考一模）設(shè)函數(shù)，，為的導(dǎo)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，求切點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若，，且和的零點(diǎn)均在集合中，求的極小值．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)證明：當(dāng)時(shí)，有唯一的極值點(diǎn)為，并求取最大值時(shí)的值；(2)當(dāng)時(shí)，討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2024·江蘇無(wú)錫·校聯(lián)考三模）已知函數(shù).求的極值；【解題方法總結(jié)】1、因此，在求函數(shù)極值問(wèn)題中，一定要檢驗(yàn)方程根左右的符號(hào)，更要注意變號(hào)后極大值與極小值是否與已知有矛盾．2、原函數(shù)出現(xiàn)極值時(shí)，導(dǎo)函數(shù)正處于零點(diǎn)，歸納起來(lái)一句話：原極導(dǎo)零．這個(gè)零點(diǎn)必須穿越軸，否則不是極值點(diǎn)．判斷口訣：從左往右找穿越（導(dǎo)函數(shù)與軸的交點(diǎn)）；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大．題型二：根據(jù)極值、極值點(diǎn)求參數(shù)【例2】（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在處取得極大值4，則（

）A．8 B． C．2 D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2024·陜西商洛·統(tǒng)考三模）若函數(shù)無(wú)極值，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上存在極值，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2024·廣東梅州·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（

）A． B．C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2024·江蘇揚(yáng)州·高三揚(yáng)州市新華中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）若x＝a是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】根據(jù)函數(shù)的極值（點(diǎn)）求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)（1）列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；（2）驗(yàn)證：求解后驗(yàn)證根的合理性．題型三：求函數(shù)的最值（不含參）【例3】（2024·山東淄博·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最大值；【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2024·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上最大值為M，最小值為m，則的值是_______.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2024·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則的最大值是________．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為_(kāi)_____.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2024·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，且，則的最小值為_(kāi)_________.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（2024·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足：，則的最小值為_(kāi)_____.【解題方法總結(jié)】求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，與的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值．題型四：求函數(shù)的最值（含參）【例4】（2024·天津和平·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，，其中.(1)若曲線在處的切線與曲線在處的切線平行，求的值；(2)若時(shí)，求函數(shù)的最小值；(3)若的最小值為，證明：當(dāng)時(shí)，.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．討論函數(shù)的最值；【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】（2024·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中．(1)若a=2，求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，求的最小值．（參考數(shù)據(jù)：）【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求在內(nèi)的最大值；【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19】（2024·湖南長(zhǎng)沙·湖南師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若存在最大值M，證明：；(2)在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)，求的最小值（用含M，k的代數(shù)式表示）．【解題方法總結(jié)】若所給的閉區(qū)間含參數(shù)，則需對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，通過(guò)對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值．題型五：根據(jù)最值求參數(shù)【例5】（2024·四川宜賓·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若，的最小值是，求實(shí)數(shù)m的所有可能值.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20】（2024·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤艉瘮?shù)在區(qū)間上存在最小值，則整數(shù)的取值可以是______．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22】（2024·福建泉州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的最小值為0，則a的取值范圍為_(kāi)_____________．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練23】（2024·江蘇南通·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)的最小值為，則______．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練24】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)______【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練25】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)在上存在最小值.則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.題型六：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應(yīng)用【例6】（2024·天津河北·統(tǒng)考二模）已知，函數(shù)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)求證：函數(shù)存在極值點(diǎn)，并求極值點(diǎn)的最小值.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練26】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在內(nèi)的極值；(2)若函數(shù)在上的最小值為5，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練27】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知．(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值點(diǎn)；(2)求函數(shù)在上的最值．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練28】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．(1)若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)求在內(nèi)的最值．題型七：不等式恒成立與存在性問(wèn)題【例7】（2024·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預(yù)測(cè)）若存在實(shí)數(shù)（），使得關(guān)于x的不等式對(duì)恒成立，則b的最大值是_________.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練29】（2024·陜西安康·高三陜西省安康中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若不等式對(duì)恒成立，則a的取值范圍是______.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練30】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若存在，使得不等式成立，則m的取值范圍為_(kāi)_____【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練31】（2024·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)