高中數(shù)學(xué) 第3章 概率綜合能力測試 北師大版必修3

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章概率綜合能力測試北師大版必修3本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。時間120分鐘，滿分150分。第Ⅰ卷(選擇題共50分)一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．對于概率是1‰的事件，下列說法正確的是()A．概率太小，不可能發(fā)生B．1000次中一定發(fā)生1次C．1000人中，999人說不發(fā)生，1人說發(fā)生D．1000次中有可能發(fā)生1000次[答案]D[解析]概率是1‰是說明發(fā)生的可能性是1‰，每次發(fā)生都是隨機(jī)的，1000次中也可能發(fā)生1000次，只是發(fā)生的可能性很小，故選D.2．下列事件中，隨機(jī)事件是()A．向區(qū)間(0,1)內(nèi)投點，點落在(0,1)區(qū)間B．向區(qū)間(0,1)內(nèi)投點，點落在(1,2)區(qū)間C．向區(qū)間(0,2)內(nèi)投點，點落在(0,1)區(qū)間D．向區(qū)間(0,2)內(nèi)投點，點落在(－1,0)區(qū)間[答案]C[解析]選項A為必然事件，選項B與D為不可能事件，只有C為隨機(jī)事件．3．在40根纖維中，有12根的長度超過30mm，從中任取一根，取到長度超過30mm的纖維的概率是()A.eq\f(30,40) B．eq\f(12,40)C.eq\f(12,30) D．以上都不對[答案]B[解析]在40根纖維中，有12根的長度超過30mm，即基本事件總數(shù)為40，且它們是等可能發(fā)生的，所求事件包含12個基本事件，故所求事件的概率為eq\f(12,40).4．甲、乙兩人隨意住兩間空房，則甲、乙兩人各住一間房的概率是()A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)[答案]C[解析]不妨設(shè)兩間空房為A、B，則甲、乙兩人隨意入住的所有可能情況為：甲、乙都住A；甲、乙都住B；甲住A，乙住B；甲住B，乙住A共4種情況．其中甲、乙兩人各住一間的情形有2種，故所求的概率P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).5．從長度分別為2、3、4、5的四條線段中任意取出三條，則以這三條線段為邊可以構(gòu)成三角形的概率是()A.eq\f(3,4) B．eq\f(1,4)C.eq\f(1,2) D．eq\f(1,8)[答案]A[解析]從長度分別為2、3、4、5的四條線段中任意取出三條總共有4種情況，依據(jù)四條邊長可得滿足條件的三角形有三種情況：2、3、4或3、4、5或2、4、5，故P＝eq\f(3,4).6.如圖，一個矩形的長為5，寬為2，在矩形內(nèi)隨機(jī)的撒300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為138顆，則我們可以估計出陰影部分的面積約為()A.eq\f(23,5) B．eq\f(21,5)C.eq\f(19,5) D．eq\f(16,5)[答案]A[解析]據(jù)題意得eq\f(S陰影,S矩形)＝eq\f(S陰影,2×5)＝eq\f(138,300)?S陰影＝eq\f(23,5).7．袋中有紅、黃、白色球各一個，每次任取一個，有放回地抽取3次，則下列事件中概率是eq\f(8,9)的是()A．顏色全相同 B．顏色不全相同C．顏色全不相同 D．無紅顏色球[答案]B[解析]共有3×3×3＝27種可能，而顏色全相同有三種可能，其概率為eq\f(1,9).因此，顏色不全相同的概率為1－eq\f(1,9)＝eq\f(8,9)，故選B.8．如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個半圓，在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自陰影部分的概率是()A．1－eq\f(2,π) B．eq\f(1,2)－eq\f(1,π)C.eq\f(2,π) D．eq\f(1,π)[答案]A[解析]本題考查幾何概型的計算方法．設(shè)圖中陰影面積為S1，S2，令OA＝R，∴S2－S1＝eq\f(πR2,4)－π·(eq\f(R,2))2＝0，即S2＝S1，由圖形知，S1＝2(S扇ODC－S△ODC)＝2[eq\f(π·\f(R,2)2,4)－eq\f(1,2)·(eq\f(R,2))2]＝eq\f(πR2－2R2,8)，∴P＝eq\f(S1＋S2,S扇AOB)＝eq\f(\f(π－2R2,4),\f(πR2,4))＝1－eq\f(2,π)，充分利用圖形的對稱性才能求出陰影部分的面積．9．(·新課標(biāo)Ⅰ理，5)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為()A.eq\f(1,8) B．eq\f(3,8)C.eq\f(5,8) D．eq\f(7,8)[答案]D[解析]本題主要考查古典概型概率的求法，關(guān)鍵是求出可能結(jié)果的種數(shù)．4名同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動的情況共有24＝16種，其中僅在周六(周日)參加的各有1種，∴所求概率為1－eq\f(1＋1,16)＝eq\f(7,8).10．在邊長為2的正方形ABCD中，E、F、G、H分別是正方形ABCD四邊的中點，將均勻的粒子撒在正方形中，則粒子落在下列四個圖中陰影部分區(qū)域的概率依次為P1，P2，P3，P4，則關(guān)于它們的大小比較正確的是()A．P1<P2＝P3<P4 B．P4<P2＝P3<P1C．P1＝P4<P2<P3 D．P1＝P4<P3<P2[答案]D[解析]正方形ABCD的面積為2×2＝4，對于圖1，陰影部分區(qū)域的面積為4－4×eq\f(1,2)，所以概率為P1＝eq\f(2,4)；對于圖2，陰影部分區(qū)域的面積為π，所以概率為P2＝eq\f(π,4)；對于圖3，陰影部分區(qū)域的面積為4－2×eq\f(1,2)＝3，所以概率為P3＝eq\f(3,4)；對于圖4，陰影部分區(qū)域的面積為eq\f(1,2)×2×2＝2，所以概率為P4＝eq\f(2,4)，故選D.第Ⅱ卷(非選擇題共100分)二、填空題(本大題共5個小題，每小題5分，共25分，將正確答案填在題中橫線上)11．口袋中裝有100個大小相同的紅球、白球、黑球，其中紅球45個，從口袋中摸出一個球，摸出白球的概率是0.23，則摸出黑球的概率是________．[答案]0.32[解析]白球個數(shù)為100×0.23＝23，黑球個數(shù)為100－45－23＝32，所以摸出黑球的概率為eq\f(32,100)＝0.32.12．同時拋擲兩個骰子，向上的點數(shù)之積為偶數(shù)的概率為________．[答案]eq\f(3,4)[解析]同時拋擲兩個骰子，有6×6＝36種不同結(jié)果，朝上一面的點數(shù)之積是奇數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)兩個骰子向上一面都是奇數(shù)的有3×3＝9個不同結(jié)果，∴“朝上一面點數(shù)的積為奇數(shù)”的概率P＝eq\f(9,36)＝eq\f(1,4)，其對立事件“朝上一面點數(shù)的積為偶數(shù)”的概率為1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).13．小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點，若此點到圓心的距離大于eq\f(1,2)，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于eq\f(1,4)，則去打籃球；否則，在家看書．則小波周末不在家看書的概率為________．[答案]eq\f(13,16)[解析]本題主要考查幾何概型．∵去看電影的概率P1＝eq\f(π×12－π×\f(1,2)2,π×12)＝eq\f(3,4)；∴去打籃球的概率P2＝eq\f(π×\f(1,4)2,π×12)＝eq\f(1,16).小波不在家看書的概率P＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,16)＝eq\f(13,16).14．從含有三件正品和一件次品的4件產(chǎn)品中不放回地任取兩件，則取出的兩件中恰有一件次品的概率是__________________．[答案]eq\f(1,2)[解析]從4件產(chǎn)品中不放回的任取兩件，共有基本事件總數(shù)為4×3÷2＝6.取出的兩件中恰有一件次品，則另一件為正品包括1×3＝3(種)可能結(jié)果，故恰有一件次品的概率為eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).15.如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝1，以A為圓心，1為半徑作四分之一個圓弧DE，在圓弧DE上任取一點P，則直線AP與線段BC有公共點的概率是________．[答案]eq\f(1,3)[解析]連接AC，則tan∠CAB＝eq\f(1,\r(3))，∠CAB＝eq\f(π,6)，由幾何概型的計算公式得P＝eq\f(\f(π,6),\f(π,2))＝eq\f(1,3).三、解答題(本大題共6個小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16．(本小題滿分12分)袋中有紅、黃2種顏色的球各1只，從中每次任取1只，有放回地抽取兩次．求：(1)兩次全是紅球的概率；(2)兩次顏色相同的概率；(3)兩次顏色不同的概率．[解析]因為是有放回地抽取兩次，所以每次取到的球可以都是紅球，也可以都是黃球．把第一次取到紅球，第二次取到紅球簡記為(紅，紅)，其他情況用類似記法，則有放回地抽取2次，所有的基本事件有4個，分別是：(紅，紅)，(紅，黃)，(黃，紅)，(黃，黃)．(1)兩次全是紅球的概率是P1＝eq\f(1,4).(2)“兩次顏色相同”包含“兩次都是紅球”與“兩次都是黃球”這兩個事件互斥，因此兩次顏色相同的概率是P2＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2).(3)“兩次顏色不同”與“兩次顏色相同”是對立事件，所以兩次顏色不同的概率是P3＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).點撥：可用枚舉的方法把所有基本事件列舉出來，解(2)、(3)可以考慮用互斥、對立事件求解．17．(本小題滿分12分)現(xiàn)從A，B，C，D，E五人中選取三人參加一個重要會議，五人被選中的機(jī)會均等．求：(1)A被選中的概率；(2)A和B同時被選中的概率；(3)A或B被選中的概率．[解析]基本事件有“ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，CDE，BCD，BCE，BDE，ADE”共10個．(1)事件A被選中包含6個基本事件，即ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE.∴P1＝eq\f(6,10)＝0.6.(2)事件A和B同時被選中包含3個基本事件，即ABC，ABD，ABE，∴P2＝eq\f(3,10)＝0.3.(3)A、B都不被選中只有事件CDE一種，所以事件A或B被選中包含9個基本事件，∴P3＝eq\f(9,10)＝0.90.18．(本小題滿分12分)(·陜西文，19)某保險公司利用簡單隨機(jī)抽樣方法，對投保車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下：賠付金額(元)0100030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120(1)若每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占20%，估計在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率．[分析](1)當(dāng)賠付金額為3000,4000元時大于投保金額，利用互斥事件求和．(2)分別求出樣本車主中為新司機(jī)人數(shù)及賠付金額為4000的車輛車主人數(shù)，問題易解．[解析](1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3000元”，B表示事件“賠付金額為4000元”以頻率估計概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對應(yīng)的情形是3000元和4000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機(jī)獲賠4000元”，由已知，樣本車輛中車主為新司機(jī)的有0.1×1000＝100輛，而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機(jī)的有0.2×120＝24輛．所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4000元的頻率為eq\f(24,100)＝0.24.由頻率估計概率得P(C)＝0.24.19．(本小題滿分12分)將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)投擲4次，出現(xiàn)“2次正面朝上，2次反面朝上”的概率是多少？[解析]用列舉法列舉所有可能的情況，如下圖所示：由此可知，所有可能的情況有n＝16種．其中出現(xiàn)兩正兩反的情況有①②③④⑤⑥共6種，因此出現(xiàn)兩正兩反的概率是P＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).20．(本小題滿分13分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.(1)若a，b是一枚骰子擲兩次所得到的點數(shù)，求方程有兩正根的概率；(2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求方程沒有實根的概率．[分析]分別利用古典概型與幾何概型的概率公式求解．[解析](1)易知基本事件(a，b)共有36個，方程有兩正根(借助根與系數(shù)的關(guān)系)等價于a－2>0,16－b2>0，Δ≥0，即a>2，－4<b<4，(a－2)2＋b2≥16，設(shè)“方程有兩個正根”為事件A，則事件A包含的基本事件為(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4個，故所求的概率為P(A)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).(2)試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域為{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，a，b∈N*}，其面積為16.設(shè)“方程無實根”為事件B，則構(gòu)成事件B的區(qū)域為{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)2＋b2<16}，其面積為eq\f(1,4)×π×42＝4π.故所求的概率為P(B)＝eq\f(4π,16)＝eq\f(π,4).2