模型23 勾股定理-趙爽弦圖模型-解析版

第六講勾股定理模型（二十三）——趙爽弦圖模型◎結(jié)論1：在正方形ABCD的四邊AB，BC，CD，DA上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，使得BE＝CF＝GD＝AH，則四邊形EHGF是正方形【證明】在正方形中，BE=CF=GD=AH，∴AE=BF=CG=HD,又∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴Rt△BEF≌Rt△CFG≌Rt△DGH≌Rt△AHE，∴EF＝FG＝GH＝HE,∠AHE＝∠BEF，∵∠AEH＋∠AHE＝90°∴∠AEH十∠BEF＝90°∴∠FEH＝90°∴四邊形EHGF是正方形.◎結(jié)論2：如圖所示，在正方形ABCD的四邊AB，BC，CD，DA上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H,使得BE=CF=GD=AH,此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，F(xiàn)R∥AB，則四邊形ORQP是正方形【證明】∵EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，F(xiàn)R∥AB，且∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∴四邊形AHPE、四邊形EBFQ、四邊形FCGP、四邊形HOGD均為長方形，∴△AEH≌△PHE≌△BFE≌△QEF≌△CGF≌△RFG≌△DHG≌△OGH,∴HP=EQ=FR=GO,EP=FQ=GR=HO,∴OP=PQ=QR=RO，且∠ROP=180°-∠HOG＝90°，∴四邊形ORQP為正方形.◎結(jié)論3：如圖所示，在正方形ABCD的四邊AB，BC，CD，DA上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，使得BE=CF=GD=AH，此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，F(xiàn)R∥AB，則（1）S正方形=4S十S正方形;（2）S正方形=4S十S正方形;（3）S正方形－S正方形＝S正方形－S正方形.（4）2S正方形=S正方形十S正方形注：常見的勾股數(shù)組合①3,4,5；②5,12,13；③6,8,10；④8,15,17；⑤9,12,15;1．（2022·福建·廈門雙十中學(xué)思明分校八年級(jí)期中）如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列結(jié)論：①；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①③【答案】C【分析】由題意知，①﹣②可得2xy＝45記為③，①+③得到，由此即可判斷．【詳解】解：由題意知，①﹣②可得2xy＝45記為③，①+③得到，∴，∴．∵x＞y，由②可得x-y=2由③得2xy+4＝49∴結(jié)論①②③正確，④錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理中弦圖的有關(guān)計(jì)算，準(zhǔn)確找出圖中的線段關(guān)系，并利用完全平方公式求出各個(gè)式子的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2022·遼寧·丹東市第五中學(xué)七年級(jí)期末）如圖是“趙爽弦圖”，由個(gè)全等的直角三角形拼成的圖形，若大正方形的面積是，小正方形的面積是，設(shè)直角三角形較長直角邊為，較短直角邊為，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理可以求得等于大正方形的面積，然后求四個(gè)直角三角形的面積，即可得到ab的值，然后根據(jù)即可求解．【詳解】解：因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e是，小正方形的面積是，所以一個(gè)小三角形的面積是，三角形的斜邊為，所以，，所以，所以．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，以及完全平方式，正確根據(jù)圖形的關(guān)系求得和ab的值是關(guān)鍵．3．（2022·河南·鄭州經(jīng)開區(qū)外國語女子中學(xué)八年級(jí)期末）用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，就是平面圖形的鑲嵌．如圖是由四個(gè)完全相同的直角三角形和一個(gè)小正方形進(jìn)行的鑲嵌，其中直角三角形的一個(gè)角等于，若小正方形的邊長為，則大正方形的邊長為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)BF=x，利用含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系可得AB=2x，AF=x，再根據(jù)EF=1，列出方程，從而解決問題．【詳解】解：設(shè)，，，，，，，解得，，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，勾股定理，含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，熟練掌握含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．小試牛刀小試牛刀1．（2022·北京十一晉元中學(xué)八年級(jí)期中）用四個(gè)全等的直角三角形鑲嵌而成的正方形如圖所示，已知大正方形的面積為49，小正方形的面積為4，若x，y表示直角三角形的兩直角邊長（x＞y），給出下列四個(gè)結(jié)論正確的是_____．（填序號(hào)即可）①x﹣y＝2；②；③2xy＝45；④x+y＝9．【答案】①②③【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、直角三角形面積的計(jì)算公式及勾股定理解答．【詳解】解：如圖，∴，故①正確，∵△ABC為直角三角形，∴根據(jù)勾股定理：，故②正確，由圖可知，四個(gè)直角三角形的面積與小正方形的面積之和為大正方形的面積，可得：4××xy+4=49，即2xy=45；故③正確；由2xy=45①，又∵②，∴①+②得，，整理得，，x+y=≠9，故④錯(cuò)誤，∴正確結(jié)論有①②③．故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及正方形和三角形的邊的關(guān)系，完全平方公式，算術(shù)平方根的應(yīng)用，熟悉勾股定理并認(rèn)清圖中的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2022·河南南陽·八年級(jí)期末）把圖①中的菱形沿對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形，將這四個(gè)直角三角形分別拼成如圖②，③所示的正方形（圖②中大正方形邊長為5，圖③中中間小正方形邊長為1），則圖①中菱形的面積為________．【答案】12【分析】設(shè)菱形較長對(duì)角線長為2a，較短對(duì)角線長為2b，根據(jù)兩種拼圖得到，計(jì)算a，b的值，后根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，計(jì)算即可．【詳解】設(shè)菱形較長對(duì)角線長為2a，較短對(duì)角線長為2b，根據(jù)兩種拼圖得到，解得，所以菱形的面積為：=12，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，方程組，熟練掌握菱形的性質(zhì)，方程組是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山西呂梁·八年級(jí)期末）如圖是一幅趙爽弦圖，利用此圖可以證明勾股定理．現(xiàn)連接BE，發(fā)現(xiàn)AB＝BE，若DE＝1，則正方形ABCD的面積為________．【答案】5【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖：由題意得，，，，，，正方形的面積，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．4．（2022·河南安陽·八年級(jí)期末）中國古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展．下圖是3世紀(jì)我國漢代的數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的圖案，人們稱它為“趙爽弦圖”．此圖中四個(gè)全等的直角三角形可以圍成一個(gè)大正方形，中空的部分是一個(gè)小正方形．如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則的值是____________．【答案】49【分析】根據(jù)題意和圖形，可以得到，，然后變形即可得到ab的值，再將展開，將a2+b2和ab的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：由圖可得，，，∴，∵小正方形的面積是1，∴，∴，∴，∴===25+24=49；故答案為：49．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、完全平方公式，解答本題的關(guān)鍵是求出ab的值，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．1．（2022·四川宜賓·中考真題）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3，小正方形的面積為49，則大正方形的面積為______．【答案】289【分析】設(shè)直角三角形的三邊分別為，較長的直角邊為較短的直角邊為為斜邊，由切線長定理可得，直角三角形的內(nèi)切圓的半徑等于，即，根據(jù)小正方的面積為49，可得，進(jìn)而計(jì)算即即可求解．【詳解】解：設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的三邊分別為，較長的直角邊為較短的直角邊為為斜邊，直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3，小正方形的面積為49，，①，②，，③，，解得或（舍去），大正方形的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程組，掌握直角三角形的內(nèi)切圓的半徑等于是解題的關(guān)鍵．2．（2020·湖南婁底·中考真題）由4個(gè)直角邊長分別為a，b的直角三角形圍成的“趙爽弦圖”如圖所示，根據(jù)大正方形的面積等于小正方形的面積與4個(gè)直角三角形的面積的和證明了勾股定