模型36 圓-四點(diǎn)共圓模型-原卷版

圓模型（三十六）——四點(diǎn)共圓模型四點(diǎn)共圓：如果同一平面內(nèi)的四個點(diǎn)在同一圓上，則稱這四個點(diǎn)共圓知識點(diǎn)一：四點(diǎn)共圓的性質(zhì)◎結(jié)論1：如圖A、B、C、D四點(diǎn)共圓①同側(cè)共底的兩個三角形頂角相等（同弧所對的圓周角相等）∠ACB＝∠ADB，AB為底；∠BAC＝∠BDC，BC為底；∠CAD＝∠CBD，CD為底；∠ABD＝∠ACD，AD為底；②圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)∠ABC＋∠ADC＝180o；∠BCD＋∠BAD＝180o③圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角∠BCE為圓內(nèi)接四邊形的一個外角，則∠BCE＝∠A知識點(diǎn)二：四點(diǎn)共圓的判定①若四個點(diǎn)到一個點(diǎn)的距離相等，則這四個點(diǎn)在同一圓上（四點(diǎn)共圓）【證明】【共斜邊直角三角形】：取斜邊中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半AO＝BO＝CO＝DO，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓.②若四邊形的一組對角互補(bǔ)，則這個四邊形的四個點(diǎn)共圓.若∠A＋∠C＝180o,則A、B、C、D四點(diǎn)共圓【證明】（反證法）以B、C、D三點(diǎn)作⊙O，現(xiàn)證明A在⊙O上，假設(shè)點(diǎn)A不在圓上：①假設(shè)點(diǎn)A在⊙O內(nèi)，在A上方⊙O上取一點(diǎn)P，∵B,C,D,P四點(diǎn)共圓，∴∠P＋∠C＝180°，∵∠A＋∠C＝180°，∴∠A＝∠P而圖中∠A＝∠P＋∠PBA＋∠PDA，即∠A＞∠P與∠A＝∠P矛盾∴假設(shè)不成立，點(diǎn)A不在圓內(nèi)②假設(shè)點(diǎn)A在⊙O外，在A上方⊙O上取一點(diǎn)P，∵B,C,D,P四點(diǎn)共圓，∴∠P＋∠C＝180°，∵∠A＋∠C＝180°，∴∠A＝∠P而圖中∠A＝∠P＋∠PBA＋∠PDA，即∠A＞∠P與∠A＝∠P矛盾∴假設(shè)不成立，點(diǎn)A不在圓外。綜上：A只能在圓上，即A，B，C，D四點(diǎn)共圓。③若一個四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，則這個四邊形四點(diǎn)共圓若∠BCD＝∠A，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓【本質(zhì)：對角互補(bǔ)】④若兩個點(diǎn)在一條線段的同旁，且和這條線段的兩個端點(diǎn)連線所夾的角相等，那么這兩個點(diǎn)和這條線段的兩個端點(diǎn)四點(diǎn)共圓若∠BAC＝∠BDC，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓證明：以A.B.C作圓，在弧BC上取點(diǎn)P，則∠BAC＋∠P＝180°，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠P＋∠BDC＝180°，∴D.B.P.C四點(diǎn)共圓∵A.B.P.C四點(diǎn)共圓，B.P.C確定唯一圓∴A.B.C.D四點(diǎn)共圓.1．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，則∠CBD的度數(shù)是（）A．10° B．15° C．20° D．25°2．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在長方形中，，，垂足為，延長交于，表示面積，則給出的下列命題：①；②；③；④．其中正確命題的代號是________．3．（2020·黑龍江哈爾濱·九年級階段練習(xí)）如圖，等邊△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，連BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，則FT＝_____．1．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖1，在正方形中，點(diǎn)在邊上，過點(diǎn)作，且，連接、，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．（1）用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系：______；（2）將圖1中的繞點(diǎn)按逆時針旋轉(zhuǎn)，使的頂點(diǎn)恰好在正方形的對角線上，點(diǎn)仍是的中點(diǎn)，連接、．①在圖2中，依據(jù)題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系并證明．2．（2022·福建·廈門市松柏中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3．（1）求BC的長．（2）如圖，點(diǎn)D在CA的