安徽省六安市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理含解析

PAGE21-安徽省六安市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理（含解析）滿(mǎn)分：150分時(shí)間：120分鐘一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)意，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)位于（）．A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】設(shè)（a，b），可得其共軛復(fù)數(shù)為，然后代入條件列出式子，解出a，b即可作出推斷.【詳解】設(shè)（a，b），其共軛復(fù)數(shù)為：，由條件可得：即，所以，，所以，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查邏輯思維實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則的圖象大致是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求得導(dǎo)函數(shù)解析式，依據(jù)導(dǎo)函數(shù)的奇偶性可解除BD，再依據(jù)，可解除C，從而得到結(jié)果.【詳解】由題意得：為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可解除BD又當(dāng)時(shí)，，可解除C故選：A【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，考查對(duì)函數(shù)基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)的把握程度以及數(shù)形結(jié)合的思維實(shí)力，關(guān)鍵是能夠利用奇偶性和特別位置的符號(hào)來(lái)解除錯(cuò)誤選項(xiàng)，屬于中檔題．3.4片葉子由曲線(xiàn)與曲線(xiàn)圍成，則每片葉子的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先計(jì)算圖像交點(diǎn)，再利用定積分計(jì)算面積.詳解】如圖所示：由，解得，依據(jù)圖形的對(duì)稱(chēng)性，可得每片葉子的面積為.故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查定積分的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解實(shí)力4.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則的解集為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)，解一元二次不等式即可.【詳解】，即，且解得故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及解一元二次不等式，屬于基礎(chǔ)題.5.已知函數(shù)（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則的極大值為（）A.2e-1 B.C.1 D.2ln2【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)，求得f′（e）＝，代入導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性可得函數(shù)的極大值．【詳解】，則，解得f′（e）＝，，故，令＞0，解得：0＜x＜2e，則f（x）在（0，2e）上單調(diào)遞增，令＜0，解得：x＞2e，則f(x)在（2e，+∞）上單調(diào)遞減，∴x＝2e時(shí)，f（x）取得極大值2ln2，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.6.若函數(shù)有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，再對(duì)a的值進(jìn)行分類(lèi)探討，利用數(shù)形結(jié)合的方法即可求出a的取值范圍.【詳解】由題意知，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，依據(jù)與的圖象，設(shè)兩個(gè)函數(shù)在第一象限的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)極大值點(diǎn).故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)函數(shù)探討函數(shù)的極值，分類(lèi)探討的思想，屬于較難題.7.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過(guò)程中，由遞推到時(shí)，不等式左邊（）A.增加了一項(xiàng)B.增加了兩項(xiàng)，C.增加了A中的一項(xiàng)，但又削減了另一項(xiàng)D.增加了B中的兩項(xiàng)，但又削減了另一項(xiàng)【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意，分別寫(xiě)出和時(shí)，左邊對(duì)應(yīng)的式子，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，所以，由遞推到時(shí)，不等式左邊增加了，；削減了；故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，熟記數(shù)學(xué)歸納法，會(huì)求增量即可，屬于基礎(chǔ)題型.8.在“一帶一路”學(xué)問(wèn)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成果進(jìn)行預(yù)料．甲：我的成果比乙高．乙：丙的成果比我和甲的都高．丙：我的成果比乙高．成果公布后，三人成果互不相同且只有一個(gè)人預(yù)料正確，那么三人按成果由高到低次序?yàn)锳.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙【答案】A【解析】【分析】利用逐一驗(yàn)證的方法進(jìn)行求解.【詳解】若甲預(yù)料正確，則乙、丙預(yù)料錯(cuò)誤，則甲比乙成果高，丙比乙成果低，故3人成果由高到低依次為甲，乙，丙；若乙預(yù)料正確，則丙預(yù)料也正確，不符合題意；若丙預(yù)料正確，則甲必預(yù)料錯(cuò)誤，丙比乙的成果高，乙比甲成果高，即丙比甲，乙成果都高，即乙預(yù)料正確，不符合題意，故選A．【點(diǎn)睛】本題將數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)與時(shí)政結(jié)合，主要考查推理推斷實(shí)力．題目有肯定難度，留意了基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)、邏輯推理實(shí)力的考查．9.已知過(guò)點(diǎn)A（a，0）作曲線(xiàn)C：y＝x?ex的切線(xiàn)有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B.（0，+∞）C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）【答案】A【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到切點(diǎn)處的斜率，由點(diǎn)斜式得到切線(xiàn)方程，化簡(jiǎn)為，整理得到方程有兩個(gè)解即可，解出不等式即可.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，，則切線(xiàn)方程為：，切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)代入得：，，即方程有兩個(gè)解，則有或.故答案為:A.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的求法，以及過(guò)某一點(diǎn)的切線(xiàn)方程的求法，其中應(yīng)用到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，一般過(guò)某一點(diǎn)求切線(xiàn)方程的步驟為：一：設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)并且表示在切點(diǎn)處的斜率；二：依據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)切點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；三：將所過(guò)的點(diǎn)代入切線(xiàn)方程，求出切點(diǎn)坐標(biāo)；四：將切點(diǎn)代入切線(xiàn)方程，得到詳細(xì)的表達(dá)式.10.已知數(shù)列滿(mǎn)意，，現(xiàn)將該數(shù)列按下圖規(guī)律排成蛇形數(shù)陣（第行有個(gè)數(shù)，），從左至右第行第個(gè)數(shù)記為（且），則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由第行有個(gè)數(shù)得出前行共有個(gè)數(shù)，即.【詳解】由題意可知，第行有個(gè)數(shù)，則前行共有個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)為第行的最終一個(gè)數(shù)，即即故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了歸納推理的實(shí)力，涉及了等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，屬于中檔題.11.設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)?，且的圖象是連續(xù)不間斷，，有，若，則的取值范圍是（）．A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，先探討函數(shù)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，然后將轉(zhuǎn)化為，即，最終求出的取值范圍即可.【詳解】令，，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，則函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上是奇函數(shù)且單調(diào)遞減，又因?yàn)榈葍r(jià)于，即，所以，且，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在探討函數(shù)中的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是正確構(gòu)造函數(shù)，考查邏輯思維實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.12.若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令.利用導(dǎo)數(shù)，推斷的單調(diào)性，畫(huà)出的大致圖象.結(jié)合圖象，當(dāng)時(shí)，至多有一個(gè)整數(shù)解.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，只需，即求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，則.令，得或；，得，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，且.如圖所示當(dāng)時(shí)，至多有一個(gè)整數(shù)解.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，只需，即解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討不等式的解，屬于較難的題目.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.定積分的值是________．【答案】【解析】【分析】由定積分的幾何意義計(jì)算，由奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間的積分知為，即可得出結(jié)果.【詳解】由定積分的幾何意義，表示圓面積的一半，所以，又令，且有，所以為定義域上的奇函數(shù)，所以，故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了定積分的計(jì)算，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解實(shí)力.定積分的計(jì)算一般有三個(gè)方法：（1）利用微積分基本定理求原函數(shù)；（2）利用定積分的幾何意義，利用面積求定積分；（3）利用奇偶性對(duì)稱(chēng)求定積分，奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間的定積分值為0.14.歐拉公式把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，虛數(shù)單位，三角函數(shù)和聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的天橋”，若復(fù)數(shù)滿(mǎn)意，則________．【答案】1【解析】【分析】由新定義將化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，然后由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出后再求模．【詳解】由歐拉公式有：，由，所以所以.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的新定義，考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和求復(fù)數(shù)的模，解題關(guān)鍵是由新定義化為代數(shù)形式，然后求解.15.已知在上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】利用在上恒成立，等價(jià)于在上恒成立，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得出在的最小值，即可得出的范圍.【詳解】在上恒成立即在上恒成立，，則故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍，屬于中檔題.16.已知函數(shù).下列說(shuō)法正確的是___________.①有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；②有零點(diǎn)；③若微小值點(diǎn)為，則；④若微小值點(diǎn)為，則.【答案】①③【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的學(xué)問(wèn)選四個(gè)說(shuō)法逐一分析，由此確定正確說(shuō)法的序號(hào).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，，所以單調(diào)遞增，而，所以存在唯一零點(diǎn)，使，即，（*），兩邊取對(duì)數(shù)得（**），且時(shí)，時(shí)，所以是的微小值點(diǎn).，將（*）和（**）代入上式得，由于，所以在上遞減，，所以，所以，也即沒(méi)有零點(diǎn).綜上所述，①③正確.故答案為：①③【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)、單調(diào)性，屬于中檔題.三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.已知，，均為正實(shí)數(shù)．（Ⅰ）用分析法證明：≤；（Ⅱ）用綜合法證明：若＝1，則≥8．【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）見(jiàn)解析【解析】【分析】（Ⅰ）因?yàn)椋?，＞0，所以＞0，兩邊同時(shí)平方，依據(jù)分析法步驟證明，即可得證．（Ⅱ）利用基本不等式≥，≥，≥，代入即可得證．【詳解】（Ⅰ）證明：因?yàn)椋?，＞0，所以＞0．要證明≤，即證≤，即證≤，即證≥0，即證≥0．因?yàn)椴坏仁健?明顯成立，從而原不等式成立．（Ⅱ）因?yàn)?，，均為正?shí)數(shù)，則由基本不等式，得≥，≥，≥，所以≥，因?yàn)?，所以?．【點(diǎn)睛】本題考查分析法和綜合法證明不等式，考查基本不等式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)的理解水平和分析實(shí)力，屬基礎(chǔ)題．18.視察下列等式：……（1）依據(jù)給出等式的規(guī)律，歸納猜想出等式的一般結(jié)論；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)給出等式的規(guī)律，干脆寫(xiě)出一般結(jié)論；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的結(jié)論，遞推部分利用時(shí)的結(jié)論來(lái)推導(dǎo)證明當(dāng)時(shí)，等式仍舊成立.【詳解】（1）．（2）證明：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊∴當(dāng)時(shí)，等式成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即則當(dāng)時(shí)左邊右邊∴當(dāng)時(shí)，等式也成立由①②可知，對(duì)一切，等式都成立．【點(diǎn)睛】本題主要考查了歸納推理和數(shù)學(xué)歸納法，考查了學(xué)生邏輯推理與運(yùn)算求解實(shí)力.19.已知函數(shù)．（1）求在處的切線(xiàn)方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）比較與的大小.【答案】(1)y=x-1；(2)(0,e)單調(diào)遞增，（e,+）單調(diào)遞減；（3）【解析】【分析】（1）求出及，從而求得切線(xiàn)斜率，問(wèn)題得解．（2）對(duì)的正負(fù)分析，從而推斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（3）把與的大小轉(zhuǎn)化成與的大小，利用（2）的結(jié)論即可推斷．【詳解】（1）由題可得：，，所以，所以所求切線(xiàn)方程為：，即：（2），當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（3）因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，即：，整理得：，即，由在遞增可得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性及利用函數(shù)單調(diào)性推斷大小，還考查了轉(zhuǎn)化思想及對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)，計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題．20.“既要金山銀山，又要綠水青山”．某風(fēng)景區(qū)在一個(gè)直徑為米的半圓形花圓中設(shè)計(jì)一條觀(guān)光線(xiàn)路．準(zhǔn)備在半圓弧上任選一點(diǎn)（與不重合），沿修一條直線(xiàn)段小路，在路的兩側(cè)（留意是兩側(cè)）種植綠化帶；再沿弧修一條弧形小路，在小路的一側(cè)（留意是一側(cè)）種植綠化帶，小路與綠化帶的寬度忽視不計(jì)．（1）設(shè)（弧度），將綠化帶的總長(zhǎng)度表示為的函數(shù)；（2）求綠化帶的總長(zhǎng)度的最大值．【答案】（1），其中；（2）米【解析】【分析】(1)先設(shè)圓心為，連結(jié)，依據(jù)題意表示出與弧，即可得出；(2)依據(jù)(1)的結(jié)果，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)方法探討的單調(diào)性，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)圓心，連結(jié)．在直角中，，弧的長(zhǎng)；所以，其中．（2），，令，可得，所以．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以．所以綠化帶的總長(zhǎng)度的最大值為米．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，熟記導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)的單調(diào)性以及最值即可，屬于常考題型.21.已知函數(shù)．（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）對(duì)隨意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）．【解析】【分析】（1）分類(lèi)探討，兩種狀況，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）分類(lèi)參數(shù)得出在恒成立，利用導(dǎo)數(shù)得出的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）定義域?yàn)?，①若，則，在單調(diào)遞增②若，則，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減綜上知①，在單調(diào)遞增，②，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減（2）不等式恒成立，等價(jià)于在恒成立令，，則令，，．所以在單調(diào)遞增，而所以時(shí)，，即，單調(diào)遞減；時(shí)，，即，單調(diào)遞增所以在處取得最小值，所以即實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)探討不等式的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題.22.已知函數(shù)，．（1）若在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，求的值；（2）設(shè)函數(shù)，且函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，，求證：；（3）若對(duì)于，恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由題意可得，可求得m值.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意得方程的兩根分別為、，通過(guò)根與系數(shù)的關(guān)系可得m范圍，化簡(jiǎn)，結(jié)合m范圍即可得證.（3）原不等式可變?yōu)?，?gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)m進(jìn)行分類(lèi)探討，探討函數(shù)的單調(diào)性和最值，從而可得m范圍.【詳解】（1），則，直線(xiàn)