2-2直線的方程解析版-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)新教材題型能力素養(yǎng)練人教A版2019選擇

2.2直線的方程一維練基礎(chǔ)一維練基礎(chǔ)題型一：直線的點(diǎn)斜式方程1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【點(diǎn)撥】根據(jù)傾斜角的定義確定直線的傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，且垂直與軸，所以直線的傾斜角為，故選：C.2．在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線不經(jīng)過(guò)（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【點(diǎn)撥】根據(jù)題意求直線的方程，由方程判斷直線不經(jīng)過(guò)第一象限，也可以直接作圖判斷．【詳解】∵直線的傾斜角為，則直線的斜率∴直線的方程：即直線不經(jīng)過(guò)第一象限．故選：A．3．過(guò)點(diǎn)且平行于直線的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【點(diǎn)撥】設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)即得解.【詳解】解：設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程得.所以所求的直線方程為.故選：A4．直線的傾斜角為（

）A． B．C． D．【答案】B【點(diǎn)撥】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】解：由題知直線的斜率為，由于直線的傾斜角為.故選：B5．方程表示的直線可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【點(diǎn)撥】直接判斷出直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，代入直線方程，可得，即．所以直線過(guò)點(diǎn)，故選：B．題型二：直線的兩點(diǎn)式方程1．若直線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，則該直線的方程為A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：（法一）因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，所以直線的方程為，整理得；（法二）因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，整理得；故選：A．2．經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【點(diǎn)撥】根據(jù)題目條件，選擇兩點(diǎn)式來(lái)求直線方程.【詳解】由兩點(diǎn)式直線方程可得：化簡(jiǎn)得：故選：C3．過(guò)兩點(diǎn)，的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【點(diǎn)撥】根據(jù)直線方程的兩點(diǎn)式,即可求得答案.【詳解】根據(jù)直線方程的兩點(diǎn)式將兩點(diǎn),代入可得:整理可得:過(guò)兩點(diǎn),的直線方程為:故選:A.4．已知，則△的邊上的中線所在的直線方程為A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意邊的中點(diǎn)為，∴中線方程為，整理得．故選：C．5．過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線的兩點(diǎn)式方程是A． B． C． D．【答案】B【點(diǎn)撥】設(shè)，，當(dāng)，時(shí)，直線的兩點(diǎn)式方程為，將點(diǎn)和點(diǎn)代入即可得解.【詳解】解：因?yàn)樗笾本€過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程可得：所求直線方程為.故選B.題型三：直線的截距式方程1．過(guò)點(diǎn)，且橫、縱截距的絕對(duì)值相等的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【點(diǎn)撥】分類討論，截距相等且不過(guò)原點(diǎn)有一條，截距相反有一條，過(guò)原點(diǎn)有一條.【詳解】當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，橫、縱截距都為0，符合題意，當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為.由題意得解得或綜上，符合題意的直線共有3條.故選：C．2．若直線過(guò)第一?三?四象限，則（

）A． B． C． D．【答案】B【點(diǎn)撥】根據(jù)直線截距式，結(jié)合直線所過(guò)的象限，判斷坐標(biāo)軸截距的符號(hào)即可.【詳解】∵直線過(guò)點(diǎn)第一?三?四象限，∴它在軸上的截距為正，在軸上的截距為負(fù)，即.故選：B3．直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和是（

）A．5 B．6 C． D．【答案】D【點(diǎn)撥】本題先直接求兩坐標(biāo)軸上的截距，再求截距之和即可解題.【詳解】解：由，令可得，令可得，故在兩坐標(biāo)軸上的截距之和是.故選：D.4．直線在x軸，y軸上的截距分別為()A．2,3 B．－2,3 C．－2，－3 D．2，－3【答案】D【點(diǎn)撥】分別令等于0，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，即在軸上的截距為；當(dāng)時(shí)，，即在軸上的截距為；故選D5．一束光線從點(diǎn)處射到y(tǒng)軸上一點(diǎn)后被y軸反射，則反射光線所在直線的方程是A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題得點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)在反射光線所在的直線上，再根據(jù)點(diǎn)也在反射光線所在的直線上，由截距式求得反射光線所在直線的方程為，即，故選B.題型四：直線的一般式方程1．如果且，那么直線不經(jīng)過(guò)（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【點(diǎn)撥】通過(guò)直線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)來(lái)判斷象限.【詳解】由且，可得同號(hào)，異號(hào)，所以也是異號(hào)；令，得；令，得；所以直線不經(jīng)過(guò)第三象限.故選：C.2．直線的斜率為，在y軸上的截距為b，則有（）A． B．C． D．【答案】A【點(diǎn)撥】將直線方程化為斜截式，由此求得正確答案.【詳解】，所以.故選：A3．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的斜率是（

）A． B． C． D．【答案】A【點(diǎn)撥】將直線轉(zhuǎn)化成斜截式方程，即得得出斜率.【詳解】解：由題得，原式可化為，斜率.故選：A.4．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】B【點(diǎn)撥】根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系求解.【詳解】由已知得，故直線斜率由于傾斜的范圍是，則傾斜角為.故選：B.5．直線的傾斜角為（

）A．150° B．120° C．60° D．30°【答案】A【點(diǎn)撥】根據(jù)直線的一般式求得直線的斜率，再由直線的斜率與直線的傾斜角的關(guān)系可得選項(xiàng).【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由，又，所以．故選：A.二維練能力二維練能力1．若方程表示定直線l，為不在l上的定點(diǎn)，則方程一定是（

）A．過(guò)點(diǎn)M且與直線l相交的直線 B．過(guò)點(diǎn)M且與直線l平行的直線C．過(guò)點(diǎn)M且與直線l垂直的直線 D．以上均不對(duì)【答案】B【點(diǎn)撥】根據(jù)兩直線的方程即得.【詳解】因?yàn)闉椴辉趌上的定點(diǎn)，∴，又，方程表示定直線l，所以方程一定是過(guò)點(diǎn)M且與直線l平行的直線.故選：B.2．已知的三個(gè)頂點(diǎn)，則的高CD所在的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【點(diǎn)撥】先求出，進(jìn)而得到，再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程即可.【詳解】由題意知：，則，故CD所在的直線方程為，即.故選：D.3．已知直線：和直線：互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【點(diǎn)撥】利用兩直線垂直的充要條件即得.【詳解】∵直線：和直線：互相垂直，∴，即.故選：B.4．已知直線l過(guò)點(diǎn)，傾斜角，下列方程可以表示直線l的是（

）A． B．C． D．【答案】D【點(diǎn)撥】分傾斜角和兩種情況討論，利用點(diǎn)斜式即可求解.【詳解】解：當(dāng)傾斜角時(shí)，因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)，所以直線l的方程為，此時(shí)選項(xiàng)A，B，C沒(méi)有意義，選項(xiàng)D符合題意；當(dāng)傾斜角時(shí)，直線l的斜率為，所以由點(diǎn)斜式有直線l的方程為，即；綜上，直線l的方程為，故選：D.5．直線過(guò)點(diǎn)且與點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)，那么的方程為_(kāi)_____．【答案】【點(diǎn)撥】當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B到直線l距離最遠(yuǎn)，求得l的斜率，利用點(diǎn)斜式表達(dá)l即可.【詳解】直線過(guò)點(diǎn)且與點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)，則直線與直線AB垂直，直線的斜率為：，直線的方程為，即．故答案為：.6．若直線過(guò)點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，則這樣的直線有______條.【答案】【點(diǎn)撥】設(shè)直線的截距式為，即可得到，解得即可.【詳解】解：依題意直線在坐標(biāo)軸上的截距均不為，設(shè)直線的截距式為，∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，∴，解得，或，或，所以直線的條數(shù)為條．故答案為：7．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為60°的直線的點(diǎn)斜式方程是______．【答案】【點(diǎn)撥】由點(diǎn)斜式求得方程，化為一般式即可.【詳解】由題知，直線斜率為，則直線點(diǎn)斜式方程為：故答案為：8．已知直線l被兩條直線和截得的線段的中點(diǎn)為，則直線l的一般式方程為_(kāi)_____．【答案】【點(diǎn)撥】通過(guò)解方程組求出直線l與兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)直線l的斜率為，因?yàn)橹本€l過(guò)，所以直線方程為，由，由，由題意可知：是截得的線段的中點(diǎn)，所以，即，故答案為：9．根據(jù)所給條件求直線方程.(1)直線過(guò)點(diǎn)，傾斜角的正弦值為；(2)直線過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為；(3)直線過(guò)點(diǎn)，.【答案】(1)或(2)或(3)【點(diǎn)撥】（1）利用點(diǎn)斜式方程可得答案；（2）利用截距式方程可得答案；（3）先求出斜率再用點(diǎn)斜式方程可得答案.【詳解】(1)，，則直線方程為，即或.(2)依題意得，直線的橫截距、縱截距均不為，可設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)，可得，解得或，所以所求直線方程為或，即所求直線方程為或.(3)直線斜率，則所求直線方程為，整理得.10．已知直線的方程為：．(1)求證：不論為何值，直線必過(guò)定點(diǎn)；(2)過(guò)點(diǎn)引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【點(diǎn)撥】（1）列出方程，分別令，可求出定點(diǎn)；（2）令令，表達(dá)出三角形面積后，利用基本不等式求解即可.【詳解】(1)證明：原方程整理得：．由，可得，不論為何值，直線必過(guò)定點(diǎn)(2)解：設(shè)直線的方程為．令令．．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，三角形面積最?。畡t的方程為．三維練素養(yǎng)三維練素養(yǎng)1．過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作直線：的垂線，垂足為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【點(diǎn)撥】根據(jù)給定條件，將表示成a的函數(shù)，求出函數(shù)的值域的作答.【詳解】依題意，，直線l的方向向量，則有，解得，因此，，因當(dāng)時(shí)，取最小值，則有，所以的取值范圍是.故選：D2．直線：與直線：（實(shí)數(shù)a為參數(shù)）的位置關(guān)系是（

）A．與相交 B．與平行C．與重合 D．與的位置關(guān)系與a的取值有關(guān)【答案】B【點(diǎn)撥】根據(jù)直線平行的充要條件判定即可.【詳解】由：，可得，因?yàn)榍遥耘c平行故選：B3．已知直線過(guò)點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)A?B，若的面積為24，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【點(diǎn)撥】根據(jù)題意直線的斜率存在，且不過(guò)原點(diǎn)，進(jìn)而設(shè)方程為，，再根據(jù)題意得，解方程即可得答案.【詳解】解：由題知直線的斜率存在，且不過(guò)原點(diǎn)，所以設(shè)直線方程為，，所以直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為所以面積為，即，所以或,解方程，即，解得，解方程，即，解得所以這樣的直線有3條.故選：C4．（多選題）已知直線，動(dòng)直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．不存在，使得的傾斜角為90° B．對(duì)任意的，直線恒過(guò)定點(diǎn)C．對(duì)任意的，與都不重合 D．對(duì)任意的，與都有公共點(diǎn)【答案】BD【點(diǎn)撥】對(duì)A，令即可判斷正誤；對(duì)B，化簡(jiǎn)直線方程，根據(jù)定點(diǎn)滿足的系數(shù)為0，且滿足方程即可；對(duì)C，令即可判斷正誤；對(duì)D，根據(jù)B可得過(guò)定點(diǎn)判斷即可【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，符合傾斜角為90°，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，解可得，故過(guò)定點(diǎn)，故B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，顯然與重合，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，過(guò)定點(diǎn)，而也在上，故對(duì)任意的，與都有公共點(diǎn)，故D正確；故選：BD5．已知直線，則（

）A．恒過(guò)點(diǎn) B．若，則C．若，則 D．當(dāng)時(shí)，不經(jīng)過(guò)第三象限【答案】BD【點(diǎn)撥】對(duì)于選項(xiàng)A，將直線的方程化為，再由可求得定點(diǎn)；對(duì)于選項(xiàng)B，通過(guò)斜率相等可以求解；對(duì)于選項(xiàng)C，通過(guò)斜率之積等于可以求解；對(duì)于選項(xiàng)D，將直線化為斜截式，再根據(jù)斜率和截距建立不等式可以求解.【詳解】直線，則，由，得，所以恒過(guò)定點(diǎn)，所以A錯(cuò)誤；由可得：，所以，B正確；由可得：，，所以C錯(cuò)誤；由，當(dāng)時(shí)，，不過(guò)第三象限；當(dāng)時(shí)，，不過(guò)第三象限，只需要，解得，所以的取值范圍為，所以D正確；故選：BD.6．下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線一定經(jīng)過(guò)第一象限B．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為C．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線方程為D．截距相等的直線都可以用方程表示【答案】AC【點(diǎn)撥】求出直線過(guò)的定點(diǎn)可判斷A；當(dāng)時(shí)可判斷B；由直線的點(diǎn)斜式方程以及斜率公式可判斷C；當(dāng)橫縱截距都等于時(shí)可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：由可得，由可得，所以該直線恒過(guò)定點(diǎn)，該直線一定經(jīng)過(guò)第一象限，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，所以不能寫(xiě)成的形式，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)的直線斜率為，所以直線的方程為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：當(dāng)直線的橫縱截距都等于時(shí)，直線的方程為，不可以用方程表示，故選項(xiàng)D不正確；故選：AC.7．一條直線經(jīng)過(guò)，并且傾斜角是直線的傾斜角的2倍，則直線的方程為_(kāi)_________．【答案】【點(diǎn)撥】先求出直線的傾斜角，從而可求得直線的傾斜角，則可求出直線的斜率，進(jìn)而可求出直線的方程【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的傾斜角為，所以直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)，所以直線的方程為，即，故答案為：8．直線分別交軸?軸的正半軸于?兩點(diǎn)，當(dāng)面積最小時(shí)，直線的方程為_(kāi)__________.【答案】【點(diǎn)撥】由題可得直線恒過(guò)定點(diǎn)，可設(shè)方程為，則，利用基本不等式可得，即求.【詳解】∵直線，∴，由，得，∴直線恒過(guò)定點(diǎn)，可設(shè)直線方程為，則，，又，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，當(dāng)面積最小時(shí)，直線的方程為，即.故答案為：.9．已知直線均過(guò)點(diǎn)P(1，2).(1)若直線過(guò)點(diǎn)A(-1，3)，且求直線的方程；(2)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線的斜率為k，其中，且與y軸交于點(diǎn)N，直線過(guò)點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)M，求直線與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形PNOM面積的最小值.【答案】(1)(2)【點(diǎn)撥】（1）易得，由，得到，寫(xiě)出直線的方程；（2）由直線的方程，分別令，，得到直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，同理得到直線與x的交點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為三角形面積求解.【詳解】(1)解：因?yàn)橹本€均過(guò)點(diǎn)P(1，2)，且直線又過(guò)點(diǎn)A(-1，3)，所以，因?yàn)椋?，則直線的方程，即；(2)如圖所示：由題意得：直